PROBABILIDAD Y ESTADISTICA BASICA PARA INGENIEROS-35

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5.3.5 EJERCICIOS 
 
1) La variable aleatoria X tiene distribución discreta uniforme para x=1, 2, 3, . . . , 50 
a) Determine la media y varianza de X 
b) Calcule P(5<X≤10) 
c) Calcule la media y varianza de la variable aleatoria Y=5X 
 
2) La variable aleatoria X tiene distribución binomial con n=8, p=0.4. 
a) Defina la función de distribución de probabilidad de X 
b) Grafique la función de distribución de probabilidad 
c) Grafique la función de distribución de probabilidad acumulada 
d) Cuales son los valores de X mas factibles que ocurran 
e) Cuales son los valores de X menos factibles 
f) Calcule P(X=5) 
g) Calcule P(X≤2) 
 
3) Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica, 
inspecciona una muestra al azar de tres motores de la producción. Se sabe que 15% de los 
motores salen defectuosos. Calcule la probabilidad que en la muestra 
a) Ninguno sea defectuoso, 
b) Uno sea defectuosos, 
c) Al menos dos sean defectuosos? 
d) Obtenga la media y la varianza de la variable aleatoria del problema 
 
4) La probabilidad de que disco compacto dure al menos un año sin que falle es de 0.95. 
Calcule la probabilidad de que en 15 de estos aparatos elegidos al azar, 
a) 12 duren menos de un año, 
b) A lo más 5 duren menos de un año, 
c) Al menos 2 duren menos de un año. 
d) Obtenga la media y la varianza de la variable aleatoria del problema 
 
5) Un examen de opciones múltiples tiene 20 preguntas y cada pregunta tiene cuatro posibles 
respuestas entre las cuales se debe elegir la correcta. Un estudiante decide usar una moneda 
para contestar el examen de la siguiente manera: 
 
Para cada pregunta lanza dos veces la moneda. 
Si el resultado es (cara, cara) marca la primera opción 
Si el resultado es (cara, sello) marca la segunda opción 
Si el resultado es (sello, cara) marca la tercera opción 
Si el resultado es (sello, sello) marca la cuarta opción 
Para aprobar el examen se necesita marcar al menos 60% de las respuestas correctas. 
 
Calcule la probabilidad que este estudiante (?) apruebe el examen 
http://www.monografias.com/trabajos11/conge/conge.shtml�
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MATLAB 
 
Probabilidad con la distribución binomial 
 
>> f = binopdf(0, 20, 0.05) Probabilidad con la distribución binomial: x=0, n=20, p=0.05 
 f = 
 0.3585 
>> f = binopdf(1, 20, 0.05) Probabilidad con la distribución binomial: x=1, n=20, p=0.05 
 f = 
 0.3774 
>> f = binocdf(3, 10, 0.2) Probabilidad con la distribución binomial acumulada 
 f = P(X≤3), n = 10, p = 0.2 
 0.8791 
 
>> x = 0:10; Valores para evaluar la distribución binomial, x=0, 1, 2, . . ., 10 
>> f = binopdf(x, 10, 0.65) Distribución binomial, x=0, 1, 2, . . ., 10; n=10, p=0.65 
 f = 
 0.0000 0.0005 0.0043 0.0212 0.0689 0.1536 0.2377 0.2522 0.1757 0.0725 0.0135 
 
>> bar(f, 1, 'b'), grid on Gráfico de la distribución de probabilidad en color azul 
 
 
 
>> f = binocdf(x, 10, 0.65); Distribución binomial acumulada, x=0, 1, 2, . . ., 10 
 f = n=10, p=0.65 
 0.0000 0.0005 0.0048 0.0260 0.0949 0.2485 0.4862 0.7384 0.9140 0.9865 1.0000 
 
>> plot(x, f, 'ob') Gráfico de los puntos de la distribución acumulada, en azul 
>> hold on 
>> plot(x,f,’k’), grid on Gráfico superpuesto de la distribución acumulada, en negro 
 
 
 
 
 
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5.4 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA 
Este modelo de probabilidad tienen características similares al modelo binomial: los ensayos 
son independientes, cada ensayo tiene únicamente dos resultados posibles, y la probabilidad 
que cada ensayo tenga un resultado favorable es constante. Pero, en este modelo la variable 
aleatoria es diferente: 
 
 
En la Distribución Binomial Negativa, la variable de interés es la cantidad de ensayos que se 
realizan hasta obtener un número requerido de éxitos, k 
 
Definición: Distribución Binomial Negativa 
 
Sea X: Variable aleatoria discreta con Distribución Binomial Negativa 
 (cantidad de ensayos realizados hasta obtener k “éxitos”) 
 p: Probabilidad de “éxito”. Es un valor constante en cada ensayo 
 x = k, k+1, k+2, ... (valores que puede tomar la variable X) 
Entonces la distribución de probabilidad de X es: 
 P(X=x) = f(x) = 





−
−
1k
1x
pk(1–p)x-k , x = k, k+1, k+2, . . . 
 
Demostración 
 
Cada “éxito” ocurre con probabilidad p y cada “fracaso” con probabilidad 1 – p. 
 
En algún ensayo x se tendrán finalmente k éxitos. Por lo tanto siendo ensayos independientes 
la probabilidad de obtener los k ”éxitos” y los x – k “fracasos” es el producto: pk (1 – p)x-k 
 
Pero, antes de obtener el k-ésimo “éxito” se realizaron x–1 ensayos con los previos k – 1 
“éxitos”. Esto puede ocurrir en 





−
−
1k
1x
 formas diferentes, por lo que este número es un factor 
para la fórmula. Esto se completa la demostración 
 
Está claro que la cantidad de ensayos que deben realizarse es al menos k. 
 
 
Ejemplo. 
Suponiendo que la probabilidad de que una persona contraiga cierta enfermedad a la que está 
expuesta es 30%, calcule la probabilidad que la décima persona expuesta a la enfermedad sea 
la cuarta en contraerla. 
 
Respuesta 
Cada persona expuesta a la enfermedad constituye un ensayo. Estos ensayos son 
independientes y la probabilidad de “éxito” es constante: 0.3. (Note que “éxito” no siempre tiene 
una connotación favorable) 
 
Por la pregunta concluimos que la variable de interés X tiene Distribución Binomial Negativa 
con k=4, p=0.3. 
 
Sean X: Cantidad de ensayos realizados hasta obtener k “éxitos” (variable aleatoria discreta) 
 x = 4, 5, 6, . . . 
 P(X=x) = f(x) = 
x 1
4 1
− 
 − 
0.34(1– 0.3)x-4 , x=4, 5, 6, ... 
Por lo tanto 
 P(X=10) = f(10) = 
10 1
4 1
− 
 − 
0.34 0.710-4 = 0.08 
	5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
	5.4 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA