introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-68

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178 ❍ CAPÍTULO 4 PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
4.117 Lotería de Pennsylvania La probabilidad 
desempeñó un papel en el manipuleo fraudulento de la 
lotería del estado de Pennsylvania, del 24 de abril de 
1980. Para determinar cada dígito del número ganador 
de tres dígitos, cada uno de los números 0, 1, 2, . . . , 
9 se escribe en una pelota de ping-pong, las 10 pelotas 
son sopladas hacia un compartimento y el número 
seleccionado para el dígito es uno de la pelota que 
fl ota a la parte superior de la máquina. Para alterar la 
probabilidad, los conspiradores inyectaron un líquido en 
todas las pelotas empleadas en el juego excepto en las 
numeradas 4 y 6, haciendo casi seguro que las pelotas 
más ligeras serían seleccionadas para determinar los 
dígitos del número ganador. Entonces procedieron a 
comprar billetes de lotería con los potenciales números 
ganadores. ¿Cuántos números ganadores potenciales 
hubo (666 fue el número ganador)?
*4.118 Lotería, continúa Consulte el ejercicio 
4.117. Horas después que el manipuleo fraudulento de 
la lotería del estado de Pennsylvania fuera anunciado el 
19 de septiembre de 1980, ofi ciales de la lotería del 
estado de Connecticut quedaron asombrados de saber 
que el número ganador de ellos para el día fue el 666.
a. Toda evidencia indica que la selección de Connecticut 
fue pura casualidad. ¿Cuál es la probabilidad de que 
el 666 sea sacado en Connecticut, dado que el 666 se 
había seleccionado el 24 de abril de 1980 en la lotería 
de Pennsylvania?
b. ¿Cuál es la probabilidad de sacar el 666 en la lotería 
del 24 de abril de 1980 en Pennsylvania (recuerde, 
este saque fue fraudulento) y además un 666 el 19 de 
septiembre de 1980 en la lotería de Connecticut?
*4.119 Desgarres de la ACL/MCL The American 
Journal of Sports Medicine publicó un estudio de 810 
jugadoras universitarias de rugby que tienen historias 
clínicas de lesiones en rodillas. Para estas atletas, 
las dos lesiones de rodilla comunes investigadas 
fueron torceduras del ligamento cruzado medio (MCL) 
y desgarres del ligamento cruzado anterior (ACL).8 
Para las jugadoras de las posiciones de defensas, 
se encontró que 39% tenían torceduras del MCL y 
61% tenían desgarres del ACL. Para las jugadoras de 
posiciones delanteras, se encontró que 33% de ellas 
tenían torceduras del MCL y 67% tenían torceduras del 
ACL. Como un equipo de rugby está formado por ocho 
delanteras y siete defensas, se puede suponer que 47% de 
las jugadoras con lesiones en rodillas son defensas y 53% 
son delanteras.
a. Encuentre la probabilidad incondicional de que una 
jugadora de rugby seleccionada al azar de entre este 
grupo haya experimentado una torcedura del MCL.
b. Dado que se ha seleccionado una jugadora que tiene 
una torcedura del MCL, ¿cuál es la probabilidad de 
que la jugadora sea delantera?
c. Dado que se ha seleccionado una jugadora que tiene 
un desgarre del ACL, ¿cuál es la probabilidad de que 
la jugadora sea defensa?
4.120 MRI Las resonancias magnéticas (MRI) son 
exámenes aceptados no invasivos para evaluar cambios en 
el cartílago de articulaciones. Un artículo de The American 
Journal of Sports Medicine comparó los resultados de 
una evaluación de MRI, contra una evaluación de cirugía 
artroscópica de desgarres de cartílago, en dos sitios en las 
rodillas de 35 pacientes. Los exámenes de 2 � 35 � 70 
produjeron las clasifi caciones que se muestran en la tabla 
siguiente.9 Los desgarres reales fueron confi rmados por 
examen de cirugía artroscópica.
 Desgarres No desgarres Total
MRI positiva 27 0 27
MRI negativa 4 39 43
Total 31 39 70
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un sitio seleccionado 
al azar tenga un desgarre y haya sido identifi cado 
como desgarre por la MRI?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un sitio seleccionado 
al azar no tenga desgarre y haya sido identifi cado 
como que sí lo tiene?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que un sitio seleccionado 
al azar tenga desgarre y no haya sido identifi cado por 
la MRI?
d. ¿Cuál es la probabilidad de una MRI negativa, dado 
que hay desgarre?
e. ¿Cuál es la probabilidad de un falso negativo, es decir, 
una MRI negativa, dado que hay desgarre?
4.121 El juego en pares Cada uno de dos hombres 
tiran al aire una moneda. Obtienen un “match” si ambas 
monedas son caras o sin ambas son cruces. Suponga que 
el tiro se repite tres veces.
a. ¿Cuál es la probabilidad de tres pares?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que los seis tiros (tres para 
cada hombre) resulten en cruces?
c. El tiro de monedas al aire da un modelo para muchos 
experimentos prácticos. Suponga que los tiros de 
monedas representan las respuestas dadas por dos 
estudiantes a tres preguntas específi cas de verdadero o 
falso en un examen. Si los dos estudiantes dieron tres 
pares por respuestas, ¿la probabilidad baja hallada en 
el inciso a) sugiere una confabulación?
4.122 Negociaciones de contrato La experiencia 
ha demostrado que, 50% del tiempo, una negociación 
particular entre empresa y sindicato llevó a un acuerdo 
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 EJERCICIOS SUPLEMENTARIOS ❍ 179
antes de transcurridas dos semanas, 60% del tiempo el 
fondo de huelga del sindicato era adecuado para apoyar 
una huelga y 30% del tiempo ambas condiciones quedaron 
satisfechas. ¿Cuál es la probabilidad de un acuerdo de 
contrato dado que el fondo sindical para huelga es adecuado 
para soportar una huelga? El acuerdo de un contrato antes 
de transcurridas dos semanas ¿depende de si el fondo 
sindical de huelga es adecuado para soportar una huelga?
4.123 Permanencia en un trabajo Suponga que 
la probabilidad de permanecer 10 años o más con una 
compañía particular es 1/6. Un hombre y una mujer 
empiezan a trabajar en la compañía el mismo día.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el hombre trabaje ahí 
menos de 10 años?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el hombre y la mujer 
trabajen ahí menos de 10 años? (Suponga que no 
tienen parentesco y sus tiempos de servicio son 
independientes entre sí.)
c. ¿Cuál es la probabilidad de que uno u otro o ambos 
trabajen 10 años o más?
4.124 Seguro de accidentes Los registros de 
accidentes, recabados por una compañía de seguros de 
automóviles, dan la siguiente información: la probabilidad 
de que un automovilista asegurado tenga un accidente de 
auto es .15; si ha ocurrido un accidente, el daño al vehículo 
asciende a 20% de su valor de mercado con probabilidad 
.80, 60% de su valor de mercado con probabilidad .12 y 
pérdida total con probabilidad .08. ¿Qué prima debe cobrar 
la compañía sobre un auto de $22 000 de modo que la 
ganancia esperada por la compañía sea cero?
4.125 Tiempos de espera Suponga que en un 
supermercado particular la probabilidad de esperar 5 
minutos o más en la fi la para pagar es .2. En un día 
determinado, un hombre y su esposa deciden hacer 
compras individualmente en el mercado, cada uno 
saliendo en diferentes cajas de pago. Ambos llegan al 
mostrador al mismo tiempo.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el hombre espere 
menos de 5 minutos para salir?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el hombre y su 
esposa salgan en menos de 5 minutos? (Suponga 
que los tiempo de salida para los dos son eventos 
independientes.)
c. ¿Cuál es la probabilidad de que uno o el otro o ambos 
esperen 5 minutos o más?
4.126 Control de calidad Un plan de control de 
calidad exige aceptar un lote grande de cojinetes para 
cigüeñal si se saca una muestra de siete y ninguno 
es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar el 
lote si ninguno del lote es defectuoso? ¿Y si 1/10 son 
defectuosos? ¿Y si 1/2 son defectuosos?
4.127 Transporte colectivo Sólo 40% de todas las 
personas de una comunidad está a favor de desarrollar un 
sistema de transporte colectivo. Si al azar se seleccionan 
cuatro ciudadanos de entre la comunidad, ¿cuál es la 
probabilidad de que los cuatro estén a favor del sistemade transporte colectivo? ¿Y de que ninguno esté a 
favor de él?
4.128 Mediciones de presión sanguínea Un médico 
investigador comparó la efectividad de dos medicamentos 
A y B para la presión sanguínea, administrando los 
dos a cada uno de cuatro pares de gemelos idénticos. 
El medicamento A se dio a un miembro de un par; el 
medicamento B se dio al otro. Si, de hecho, no hay 
diferencia en los efectos de los medicamentos, ¿cuál es 
la probabilidad de que la caída en la lectura de presión 
sanguínea para el medicamento A exceda de la caída 
correspondiente en la lectura del medicamento B, para los 
cuatro pares de gemelos? Suponga que el medicamento 
B creó una caída más grande en la presión sanguínea que 
el medicamento A, para cada uno de los cuatro pares de 
gemelos. ¿Piensa usted que esto es sufi ciente evidencia 
para indicar que el medicamento B es más efi caz para 
bajar la presión sanguínea que el medicamento A?
4.129 Exámenes de sangre Para reducir el costo de 
detectar una enfermedad, los exámenes de sangre 
se realizan en una muestra agrupada de sangre tomada de 
un grupo de n personas. Si no hay indicio de la enfermedad 
presente en la muestra sanguínea de grupo (como por lo 
general es el caso), ninguno tiene la enfermedad. Si el 
análisis de la muestra sanguínea de grupo indica que la 
enfermedad está presente, cada individuo debe someterse 
a un examen de sangre. Los exámenes individuales son 
realizados en secuencia. Si, entre un grupo de cinco 
personas, una de ellas tiene la enfermedad, ¿cuál es la 
probabilidad de que seis exámenes de sangre (incluyendo 
el examen de grupo) se requieran para detectar a la 
persona enferma? Si dos personas tienen la enfermedad, 
¿cuál es la probabilidad de que se requieran seis 
exámenes para localizar a ambas personas enfermas?
4.130 Tiro de una moneda ¿Cuántas veces debe ser 
lanzada al aire una moneda para obtener una probabilidad 
igual o mayor a .9 de observar al menos una cara?
4.131 Horario fl exible El número de compañías 
que ofrecen horarios de trabajo fl exibles ha aumentado 
a medida que ellas tratan de ayudar a sus empleados 
a habérselas con su casa y su trabajo. Un horario de 
trabajo fl exible es trabajar cuatro turnos de 10 horas. No 
obstante, un gran obstáculo para los horarios de trabajo 
fl exibles para trabajadores a quienes se paga por hora es 
la legislación estatal por tiempo extra. Un estudio dio la 
siguiente información para 220 empresas localizadas en 
dos ciudades de California.
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180 ❍ CAPÍTULO 4 PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
 Horario fl exible
Ciudad Disponible No disponible Total
 A 39 75 114
 B 25 81 106
Totales 64 156 220
Se selecciona una compañía al azar de entre este grupo de 
220 compañías.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía esté 
ubicada en la ciudad A?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía esté 
ubicada en la ciudad B y ofrezca horarios fl exibles de 
trabajo?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía no tenga 
horarios fl exibles?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía esté 
ubicada en la ciudad B, dado que la compañía tiene 
horarios fl exibles?
4.132 Experimento para reconocer colores Se 
realiza un experimento como sigue: los colores 
rojo, amarillo y azul se proyectan en una pantalla 
durante un corto periodo. Una persona ve los 
colores y se le pide escoger el que piense que duró 
más tiempo. El experimento se repite tres veces con la 
misma persona.
a. Si todos los colores se proyectaron durante el mismo 
tiempo, encuentre la distribución de probabilidad 
para x, el número de veces que la persona escogió 
como color rojo. Suponga que sus tres selecciones son 
independientes.
b. Construya el histograma de probabilidad para la 
variable aleatoria x.
4.133 ¿Pepsi™ o Coca™? Se realiza un experimento 
para probar el gusto en un supermercado local, donde 
a compradores que pasan por ahí se les pide probar dos 
muestras de bebida gaseosa, una Pepsi y una Coca, y que 
digan su preferencia. Suponga que cuatro compradores se 
escogen al azar y se les pide participar en el experimento 
y que en realidad no hay diferencia en el gusto de las dos 
marcas.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro 
compradores escojan Pepsi?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno 
de los cuatro compradores escoja Pepsi?
4.134 Virus Cierto virus afectó a familias en tres 
casas adyacentes en una fi la de 12 casas. Si tres casas 
se escogieron al azar de una fi la de 12 casas, ¿cuál es la 
probabilidad de que las tres casas fueran adyacentes? 
¿Hay razón para creer que este virus es contagioso?
4.135 Política en una orquesta El consejo de 
directores de una orquesta sinfónica principal ha votado 
por crear una comisión de músicos con el fi n de manejar 
quejas de empleados. El consejo estará formado por el 
presidente y vicepresidente del consejo sinfónico y dos 
representantes de la orquesta. Los dos representantes de 
la orquesta serán seleccionados al azar de una lista de seis 
voluntarios, formada por cuatro hombres y dos mujeres.
a. Encuentre la distribución de probabilidad para x, el 
número de mujeres escogidas como representantes de 
la orquesta.
b. Encuentre la media y varianza para la variable 
aleatoria x.
c. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos representantes 
de la orquesta sean mujeres?
APPLETMIMI Ejercicios
4.136 Dos dados imparciales se tiran. Use el applet 
Tossing Dice (Lanzamiento de dados) para contestar las 
siguientes preguntas.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma del número de 
puntos de las caras superiores sea igual a 7? ¿Y a 11?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que se tiren “dobles”, esto 
es, ambos dados tienen el mismo número en su cara 
superior?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos dados muestren 
un número impar? 
4.137 Si se tira un par de dados, la suma T del número 
de puntos que aparece en las caras superiores de los 
dados puede tomar el valor de un entero del intervalo 
2 
 T 
 12.
a. Use el applet Tossing Dice (Lanzamiento de dados) 
para hallar la distribución de probabilidad para T. 
Presente esta distribución de probabilidad en una 
tabla.
b. Construya un histograma de probabilidad para p(T). 
¿Cómo se describiría la forma de esta distribución?
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