introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-85

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Solución
1. Como la variable aleatoria normal estándar z mide la distancia desde la media en 
unidades de desviaciones estándar, es necesario hallar
P(�1 � z � 1) � .8413 � .1587 � .6826
 Recuerde que usted calcula el área entre dos valores z al restar las entradas tabu-
ladas para los dos valores.
2. Al igual que en la parte 1, P(�2 � z � 2) � .9772 � .0228 � .9544.
Estas probabilidades concuerdan con valores aproximados de 68% y 95% en la Regla 
empírica del capítulo 2.
Encuentre el valor de z, llámelo z0, tal que .95 del área se encuentre a no más de �z0 
desviaciones estándar de la media.
Solución El área sombreada de la figura 6.12 es el área que se encuentra a no más 
de �z0 desviaciones estándar de la media, que necesita ser igual a .95. Las “áreas de 
cola” bajo la curva no están sombreadas y tienen un área combinada de 1 � .95 � .05. 
Debido a la simetría de la curva normal, estas dos áreas de cola tienen la misma área, de 
modo que A1 � .05/2 � .025 en la figura 6.12. Entonces, toda el área acumulativa a la 
izquierda de z0 para igualar A1 
 A2 � .95 + .025 � .9750. Esta área se encuentra en el 
interior de la tabla 3 del apéndice I en el renglón correspondiente a z � 1.9 y la columna 
.06. En consecuencia, z0 � 1.96. Observe que este resultado es muy cercano al valor 
aproximado, z � 2, que se usa en la Regla empírica.
E J E M P L O 6.7
Conocemos el área. Trabaje 
de adentro hacia afuera de 
la tabla.
CONSEJOMIMI
FIGURA 6.12
Área bajo la curva normal 
estándar para el ejemplo 
6.7
●
Cálculo de probabilidades para una variable 
aleatoria normal general
Casi todo el tiempo, las probabilidades en las que estamos interesados contienen x, una 
variable aleatoria normal con media m y desviación estándar s. Entonces se debe estan-
darizar el intervalo de interés, escribiéndolo como el intervalo equivalente en términos 
de z, la variable aleatoria normal estándar. Una vez hecho esto, la probabilidad de interés 
es el área que se encuentra usando la distribución estándar normal de probabilidad.
Sea x una variable aleatoria normalmente distribuida con una media de 10 y una desvia-
ción estándar de 2. Encuentre la probabilidad de que x se encuentre entre 11 y 13.6.
E J E M P L O 6.8
 6.3 ÁREAS TABULADAS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD ❍ 229
z
f(z)
0 z0–z0
A1 = .025 .95 = A2
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230 ❍ CAPÍTULO 6 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD
Solución El intervalo de x � 11 a x � 13.6 debe ser estandarizado usando la fórmula 
para z. Cuando x � 11,
z � 
x �
s
 m
 � 
11 �
2
 10
 � .5
y cuando x � 13.6,
z � 
x �
s
 m
 � 
13.6 
2
� 10
 � 1.8
La probabilidad deseada es, por tanto, P(.5 � z � 1.8), el área que está entre z � .5 y 
z � 1.8, como se muestra en la figura 6.13. De la tabla 3 del apéndice I, se encuentra que 
el área a la izquierda de z � .5 es .6915, y el área a la izquierda de z � 1.8 es .9641. La 
probabilidad deseada es la diferencia entre estas dos probabilidades, es decir,
P(.5 � z � 1.8) � .9641 � .6915 � .2726
Siempre trace una fi gura; 
¡ayuda!
CONSEJOMIMI
FIGURA 6.13
Área bajo la curva normal 
estándar para el ejemplo 
6.8
●
x
f(z)
10 13.611
A1 A2
z
0 1.8.5
APPLETMIMI
El applet Java llamada Normal Distribution Probabilities (Probabilidades nor-
males de distribución) permite calcular áreas bajo una distribución normal para 
cualesquier valores de m y s que usted seleccione. Simplemente escriba la media y 
desviación estándar apropiadas en las cajas en la parte superior del applet, teclee el 
intervalo de interés en las cajas en la parte inferior del applet y presione “Enter” en 
cada paso para registrar sus cambios. (La tecla “Tab” moverá su cursor de una caja 
a otra.) El área necesaria estará sombreada en rojo en su monitor (azul claro en la 
figura 6.14) y la probabilidad está dada a la izquierda en la curva.
• Si usted necesita un área bajo la distribución normal estándar, use m � 0 y 
s � 1.
• En el ejemplo 6.8, necesitamos un área bajo una distribución normal con 
m � 10 y s � 2. Observe los valores de x y z ubicados a lo largo del eje 
horizontal. Encuentre la probabilidad, P(11 � x � 13.6) � P(0.5 � z � 1.8) 
� .2726, en la figura 6.14.
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FIGURA 6.14
Applet Normal 
Distribution Probabilities
●
FIGURA 6.15
Área bajo la curva normal 
estándar para el ejemplo 
6.9
●
x
f(x)
25.5 30
1 – A1 = .1587A1
z
0 1
Estudios realizados demuestran que el uso de gasolina para autos compactos vendi-
dos en Estados Unidos está normalmente distribuido, con una media de 25.5 millas 
por galón (mpg) y una desviación estándar de 4.5 mpg. ¿Qué porcentaje de compactos 
recorre 30 mpg o más?
Solución La proporción de compactos que recorren 30 mpg o más está dada por el 
área sombreada en la figura 6.15. Para resolver este problema, primero se debe hallar 
el valor z correspondiente a x � 30. Sustituyendo en la fórmula para z, resulta
z � 
x �
s
 m
 � 
30 �
4.
 
5
25.5
 � 1.0
El área A1 a la izquierda de z � 1.0, es .8413 (de la tabla 3 del apéndice I). Entonces la 
proporción de compactos que recorren 30 mpg o más es igual a
P(x � 30) � 1 � P(z � 1) � 1 � .8413 � .1587
El porcentaje que rebasa los 30 mpg es
100(.1587) � 15.87%
E J E M P L O 6.9
 6.3 ÁREAS TABULADAS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD ❍ 231
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	6 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD
	6.3 Áreas tabuladas de la distribución normal de probabilidad
	Cálculo de probabilidades para una variable aleatoria normal general