introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-99

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7.5 LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA MUESTRAL ❍ 271
Para evitar difi cultades con la Comisión Federal de Comercio de EE.UU. o con ofi cinas 
locales y estatales de protección al consumidor, un embotellador de refrescos debe estar 
razonablemente seguro de que sus botellas de 12 onzas en realidad contengan 12 onzas 
de líquido. Para determinar si una máquina está funcionando de manera satisfactoria, 
un embotellador muestrea al azar 10 botellas por hora y mide la cantidad de líquido de 
cada botella. La media x� de las 10 medidas llenas se usa para determinar si se reajusta 
la cantidad de líquido introducido en la botella por la máquina llenadora. Si los registros 
muestran que la cantidad de líquido por botella está normalmente distribuida, con una 
desviación estándar de .2 onzas y si la máquina embotelladora está ajustada para produ-
cir un llenado medio por botella de 12.1 onzas, ¿cuál es la probabilidad aproximada de 
que la media muestral x� de las 10 botellas sea menor a 12 onzas?
Solución La media de la distribución muestral de la media muestral x� es idéntica a la 
media de la población de llenados de botella, es decir, m � 12.1 onzas y el error estándar 
(SE) de x� es
SE � s___ 
 �
__
 n 
 � .2 ____ 
 �
___
 10 
 � .063
(NOTA: s es la desviación estándar de la población de llenados de botella y n es el número 
de botellas de la muestra.) Como la cantidad de llenado está distribuida normalmente, 
x� también está distribuida normalmente, como se ve en la fi gura 7.11.
Para hallar la probabilidad de que x� sea menor a 12 onzas, exprese el valor x� � 12 en 
unidades de desviación estándar:
z � 
 x� � m______ 
s/ �
__
 n 
 � 12 � 12.1 _________ .063
 � �1.59
Entonces
P(x� � 12) � P(z � �1.59) � .0559 � .056
E J E M P L O 7.5
FIGURA 7.10
Applet Normal 
Probabilities for Means
●
Probabilidad_Mendenhall_07.indd 271Probabilidad_Mendenhall_07.indd 271 5/14/10 8:43:31 AM5/14/10 8:43:31 AM
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272 ❍ CAPÍTULO 7 DISTRIBUCIONES MUESTRALES
Entonces, si la máquina está ajustada para producir un llenado promedio de 12.1 onzas, 
el llenado medio x� de una muestra de 10 botellas será menor a 12 onzas con una proba-
bilidad igual a .056. Cuando se presenta esta señal de riesgo (x� es menor a 12), el embo-
tellador toma una muestra más grande para volver a verifi car el ajuste de la máquina 
llenadora.
x
f(x)
12 μ = 12.1 
z
–1.59 
FIGURA 7.11
Distribución de 
probabilidad de x�, la media 
de los n � 10 llenados de 
botellas, para el ejemplo 
7.5
●
REPERTORIO DE EJERCICIOS 
(LLENE LOS ESPACIOS EN BLANCO)
Estos ejercicios se refi eren a la sección Mi entrenador personal de la página 268.
7.15 Se toma una muestra aleatoria de tamaño n � 49 de una distribución con media de 
m � 53 y s � 21. La distribución muestral de x� será aproximadamente con una 
media de y una desviación estándar (o error estándar) de .
7.16 Consulte el ejercicio 7.15. Para hallar la probabilidad de que la media muestral sea 
mayor a 55, anote el evento de interés. Cuando x� � 55,
z � 
 x� � m______ 
s/ �
__
 n 
 � 
Encuentre la probabilidad:
P(x� � ) � P(z � ) � 1 � � 
7.17 Se toma una muestra aleatoria de tamaño n � 40 de una distribución con media 
m � 100 y s � 20. La distribución muestral de x� será aproximadamente con una 
media de y una desviación estándar (o error estándar) de .
7.18 Consulte el ejercicio 7.17. Para hallar la probabilidad de que la media muestral sea 
entre 105 y 110, anote el evento de interés. Cuando x� � 105 y x� � 110,
z � 
 x� � m______ 
s/ �
__
 n 
 � y z � 
 x� � m______ 
s/ �
__
 n 
 � 
Encuentre la probabilidad:
P( � x� � ) � P( � z � )
� � � 
 EJERCICIOS7.5
Probabilidad_Mendenhall_07.indd 272Probabilidad_Mendenhall_07.indd 272 5/27/10 5:00:45 PM5/27/10 5:00:45 PM
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 7.5 LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA MUESTRAL ❍ 273
TÉCNICAS BÁSICAS
7.19 Muestras aleatorias de tamaño n se seleccionaron 
de poblaciones con las medias y varianzas dadas 
aquí. Encuentre la media y desviación estándar de la 
distribución muestral de la media muestral en cada 
caso: 
a. n � 36, m � 10, s 2 � 9
b. n � 100, m � 5, s 2 � 4
c. n � 8, m � 120, s 2 � 1
7.20 Consulte el ejercicio 7.19.
a. Si las poblaciones muestreadas son normales, ¿cuál es 
la distribución muestral de x� para los incisos a), 
b) y c)?
b. De acuerdo con el teorema del límite central, si las 
poblaciones muestreadas no son normales, ¿qué se 
puede decir acerca de la distribución muestral de 
x� para los incisos a), b) y c)?
7.21 Una población está formada por N � 5 
números: 1, 3, 5, 6 y 7. Se puede demostrar que 
la media y desviación estándar para esta población son 
m � 4.4 y s � 2.15, respectivamente.
a. Construya un histograma de probabilidad para esta 
población.
b. Use la tabla de números aleatorios, tabla 10 del 
apéndice I, para seleccionar una muestra aleatoria de 
tamaño n � 10 con remplazo de la población. Calcule 
la media muestral, x�. Repita este procedimiento, 
calculando la media muestral x� para su segunda 
muestra. (SUGERENCIA: Asigne los dígitos aleatorios 0 y 
1 a la medición x � 1; asigne dígitos 2 
y 3 a la medición x � 3 y así sucesivamente.)
c. Para simular la distribución muestral de x�, hemos 
seleccionado 50 muestras más de tamaño n � 10 con 
restitución y hemos calculado las correspondientes 
medias muestrales. Construya un histograma de 
frecuencia relativa para estos 50 valores de x�. ¿Cuál 
es la forma de esta distribución? 
4.8 4.2 4.2 4.5 4.3 4.3 5.0 4.0 3.3 4.7
3.0 5.9 5.7 4.2 4.4 4.8 5.0 5.1 4.8 4.2
4.6 4.1 3.4 4.9 4.1 4.0 3.7 4.3 4.3 4.5
5.0 4.6 4.1 5.1 3.4 5.9 5.0 4.3 4.5 3.9
4.4 4.2 4.2 5.2 5.4 4.8 3.6 5.0 4.5 4.9
7.22 Consulte el ejercicio 7.21.
a. Use el método de entrada de datos de su calculadora 
para hallar la media y desviación estándar de los 50 
valores de x� dados en el ejercicio 7.21, inciso c).
b. Compare los valores calculados en el inciso a) contra 
la media teórica m y la desviación estándar teórica s/ 
�
__
 n para la distribución muestral de x�. ¿Qué tanto se 
acercan los valores calculados de las 50 mediciones a 
los valores teóricos?
7.23 Una muestra aleatoria de n observaciones se 
selecciona de una población con desviación estándar 
s � 1. Calcule el error estándar de la media (SE) para 
estos valores de n: 
a. n � 1 b. n � 2 c. n � 4
d. n � 9 e. n � 16 f. n � 25
g. n � 100
7.24 Consulte el ejercicio 7.23. Grafi que el error 
estándar de la media (SE) contra el tamaño muestral n 
y enlace los puntos con una curva suave. ¿Cuál es el 
efecto de aumentar el tamaño muestral sobre el error 
estándar?
7.25 Suponga que se selecciona una muestra aleatoria 
de n � 25 observaciones de entre una población que 
está distribuida normalmente, con media igual a 106 y 
desviación estándar igual a 12.
a. Dé la media y desviación estándar de la distribución 
muestral de la media muestral x�.
b. Encuentre la probabilidad de que x� exceda de 110.
c. Encuentre la probabilidad de que la media muestral 
se desvíe de la media poblacional m � 106 en no más 
de 4.
APLICACIONES
7.26 Salarios de profesorado Suponga que el 
profesorado de una universidad, con el rango de profesor 
en dos instituciones de dos años, ganan un promedio 
de $64 571 por año7 con una desviación estándar de 
$4 000. En un intento por verifi car este nivel de salario, 
se seleccionó una muestra de 60 profesores de entre una 
base de datos del personal para todas las instituciones de 
dos años en Estados Unidos.
a. Describa la distribución muestral de la media 
muestral x�.
b. ¿Dentro de qué límites se esperaría que esté el 
promedio muestral, con probabilidad .95?
c. Calcule la probabilidad de que la media muestral x� sea 
mayor a $66 000.
d. Si su muestra aleatoria en realidad produjo una media 
muestral de $66 000, ¿consideraría usted que esto es 
poco común? ¿Qué conclusión podría sacar?
7.27 Error de medición Cuando químicos 
investigadores realizanexperimentos, pueden obtener 
resultados ligeramente diferentes en repeticiones 
diferentes, aunque el experimento sea realizado de 
DATOSMISMIS
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	7.5 La distribución muestral de la media muestral
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