introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-137

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CASO PRÁCTICO ❍ 385
cebo de aspirina y b-caroteno y 4) placebo de aspirina y placebo de b-caroteno. En esta 
forma, la mitad fueron asignados para recibir aspirina y la mitad a recibir b-caroteno.
El estudio fue realizado como de “doble ciego”, en el que ninguno de los participantes 
ni los investigadores responsables de seguir a los participantes sabía a cuál grupo perte-
necía un participante. Los resultados del estudio estadounidense relacionado con infartos 
al miocardio (nombre técnico de ataques al corazón) se dan en la tabla siguiente:
 Estudio estadounidense
 Aspirina (n � 11 037) Placebo (n � 11 034)
Infarto al miocardio
 Fatal 5 18
 No fatal 99 171
Total 104 189
El objetivo del estudio inglés era determinar si 500 mg de aspirina tomada diariamente 
reduciría la incidencia y la mortalidad por enfermedad cardiovascular. En 1978, todos los 
médicos del Reino Unido fueron invitados a participar. Después de las exclusiones acos-
tumbradas, 5139 médicos se asignaron de manera aleatoria para tomar aspirina, a menos 
que surgiera algún problema y un tercio fueron asignados al azar para evitar la aspirina. 
No se utilizaron pastillas de placebo, de modo que el estudio no era ciego. Los resultados 
del estudio inglés se dan aquí:
 Estudio inglés
 Aspirina (n � 3429) Control (n � 1710)
Infarto al miocardio
 Fatal 89 (47.3) 47 (49.6)
 No fatal 80 (42.5) 41 (43.3)
Total 169 (89.8) 88 (92.9)
Para compensar los números desiguales, el estudio inglés publicó porcentajes por 10 mil 
personas-año vivas (dados en paréntesis).
1. Pruebe si el estudio estadounidense indica en efecto que el porcentaje de ataques al 
corazón, para médicos que toman 325 mg de aspirina un día sí y uno no, es signifi cati-
vamente diferente del porcentaje de los de placebo. ¿Se justifi ca lo dicho por el estudio 
estadounidense?
2. Repita el análisis usando los datos del estudio inglés en el que un grupo tomó 500 mg 
de aspirina al día y el grupo de control que no tomó nada. Con base en sus datos, ¿se 
justifi ca lo dicho por el estudio inglés?
3. ¿Puede usted considerar algunas razones posibles por las que los resultados de estos 
dos estudios, que fueron semejantes en algunos aspectos, produjeran conclusiones tan 
distintas?
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ENTRENADOR PERSONALMIMI
¿Le gustaría una semana 
de cuatro días de trabajo?
¿Un horario fl exible de semana de trabajo re-
sulta en benefi cios positivos para empleador y 
empleado? Cuatro benefi cios obvios son (1) me-
nos tiempo de viaje de posiciones de campo a la 
ofi cina, (2) menos empleados estacionados en el 
estacionamiento, (3) reducidos gastos de viaje y 
(4) permiso a empleados para tener otro día libre. 
Pero, ¿la semana de trabajo fl exible hace que los 
empleados sean más efi cientes y les hace tomar 
menos días por enfermedad o motivos persona-
les? Las respuestas a algunas de estas preguntas 
se plantean en el caso práctico al fi nal de este ca-
pítulo.
Inferencia 
a partir de 
muestras 
pequeñas
OBJETIVOS GENERALES
Los conceptos básicos de estimación estadística de 
muestra grande y prueba de hipótesis, para situaciones 
prácticas que involucran medias y proporciones pobla-
cionales, se introdujeron en los capítulos 8 y 9. Como 
todas estas técnicas se apoyan en el teorema del límite 
central para justifi car la normalidad de los estimadores y 
estadísticas de prueba, aplican sólo cuando las muestras 
son grandes. Este capítulo complementa las técnicas 
de muestra grande al presentar pruebas de muestra 
pequeña e intervalos de confi anza para medias y varianzas 
poblacionales. A diferencia de sus similares de muestras 
grandes, estas técnicas de muestra pequeña requieren 
que las poblaciones muestreadas sean normales o que 
aproximadamente lo sean.
ÍNDICE DEL CAPÍTULO
● Comparación de dos varianzas poblacionales (10.7)
● Inferencias respecto a varianza poblacional (10.6)
● Prueba de diferencia pareada: muestras dependientes 
(10.5)
● Suposiciones de muestra pequeña (10.8)
● Inferencias de muestra pequeña respecto a la diferen-
cia en dos medias: muestras aleatorias independien-
tes (10.4)
● Inferencias de muestra pequeña respecto a una media 
poblacional (10.3)
● Distribución t de Student (10.2)
¿Cómo decido cuál prueba usar?
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 10.2 DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT ❍ 387
INTRODUCCIÓN
Supongamos que usted necesita correr un experimento para estimar una media pobla-
cional o la diferencia entre dos medias. El proceso de recolectar los datos puede ser muy 
costoso o lento. Si no se puede recolectar una muestra grande, los procedimientos de 
estimación y prueba de los capítulos 8 y 9 no sirven.
Este capítulo introduce algunos procedimientos estadísticos equivalentes que se pue-
den usar cuando el tamaño muestral es pequeño. Los procedimientos de estimación y 
prueba comprenden estos parámetros ya conocidos:
• Una sola media poblacional, m
• La diferencia entre dos medias poblacionales, (m1 � m2)
• Una sola varianza poblacional, s 2
• La comparación de dos varianzas poblacionales, s 21 y s
2
2
Las pruebas e intervalos de confianza de muestra pequeña para proporciones binomiales 
se omitirán para nuestro análisis.†
DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT
Al efectuar un experimento para evaluar un proceso nuevo pero muy costoso para 
producir diamantes sintéticos, usted puede estudiar sólo seis diamantes generados por 
el proceso. ¿Cómo puede usar estas seis mediciones para hacer inferencias acerca del 
peso promedio m de diamantes a partir de este proceso?
Al estudiar la distribución muestral de x� en el capítulo 7, hicimos estos puntos:
• Cuando la población original muestreada sea normal, x� y z � (x� � m)/(s/ �
__
 n ) 
tienen distribuciones normales, para cualquier tamaño muestral.
• Cuando la población muestreada no sea normal, x�, z � (x� � m)/(s/ �
__
 n ), y z � 
( x� � m)/(s/ �
__
 n ) tienen distribuciones aproximadamente iguales, si el tamaño 
muestral es grande.
Desafortunadamente, cuando el tamaño muestral n sea pequeño, el estadístico (x� � m)/
(s/ �
__
 n ) no tiene una distribución normal. Por tanto, todos los valores críticos de z que 
utilizamos en los capítulos 8 y 9 ya no son correctos. Por ejemplo, no se puede decir 
que x� se encontrará a no más de 1.96 errores estándar de m 95% del tiempo.
Este problema no es nuevo; fue estudiado por expertos en estadística y experimen-
tadores a principios del siglo xx. Para hallar la distribución muestral de esta estadística, 
hay dos formas de proceder:
• Use un método empírico. Saque repetidas muestras y calcule (x� � m)/(s/ �
__
 n ) 
para cada muestra. La distribución relativa de frecuencia que usted construya 
usando estos valores aproximarán la forma y ubicación de la distribución 
muestral.
• Use un método matemático para deducir la función real de densidad o curva que 
describa la distribución muestral.
10.1
10.2
Cuando n � 30, el teorema 
del límite central no garantiza 
que 
 
 x� � m______ 
s/ �
__
 n 
 
sea aproximadamente normal.
CONSEJOMIMI
†
Una prueba de muestra pequeña para el parámetro binomial p se presentará en el capítulo 15.
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	10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
	10.1 Introducción
	10.2 Distribución t de Student