introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-161

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11.5 EL ANÁLISIS DE VARIANZA PARA UN DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO ❍ 457
obstante, si hay un interés especial en una media particular o par de medias, se pueden 
construir intervalos de confi anza usando los procedimientos de muestra pequeña del 
capítulo 10, con base en la distribución t de Student. Para una sola media poblacional, 
mi, el intervalo de confi anza es
x�i 	 ta/2� s ____ �__ ni �
donde x�i es la media muestral para el i-ésimo tratamiento. Del mismo modo, para una 
comparación de dos medias poblacionales, por ejemplo mi y mj, el intervalo de confi anza 
es
(x�i � x�j) 	 ta/2 �
__________
 s2� 1 __ ni � 1 __ nj � 
Antes de que se puedan usar estos intervalos de confi anza, sin embargo, persisten dos 
preguntas:
• ¿Cómo se calcula s o s2, la mejor estimación de la varianza común s2?
• ¿Cuántos grados de libertad se usan para el valor crítico de t?
Para contestar estas preguntas, recuerde que en un análisis de varianza, el cuadrático 
medio de error, MSE, siempre da un estimador insesgado de s2 y usa información de 
todo el conjunto de mediciones. En consecuencia, es el mejor estimador de s2, cual-
quiera que sea el procedimiento de estimación que se use. Siempre se debe usar
s2 � MSE con df � (n � k)
para estimar s2. Se puede hallar la raíz cuadrada positiva de este estimador, s � �
_____
 MSE, 
en el último renglón de la fi gura 11.3 marcado “Pooled StDev”.
DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO: 
INTERVALOS DE CONFIANZA (1 � aa)100% PARA 
UNA SOLA MEDIA DE TRATAMIENTO Y LA 
DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS DE TRATAMIENTO
Una sola media de tratamiento:
x�i 	 ta/2� s ____ �__ ni �
Diferencia entre dos medias de tratamiento:
(x�i � x�j) 	 ta/2 �
__________
 s2� 1 __ ni � 1 __ nj � 
con
s � �
__
 s2 � �
_____
 MSE � �
______
 SSE ______ 
 n � k
 
donde n � n1 � n2 � 
 
 
 � nk y ta/2 está basada en (n � k) df.
El investigador del ejemplo 11.4 cree que los estudiantes que no toman desayuno ten-
drán intervalos de atención signifi cativamente más cortos, pero que puede no haber dife-
rencia entre aquellos que toman un desayuno ligero o un desayuno completo. Encuentre 
un intervalo de confi anza de 95% para el promedio de intervalo de atención para estu-
diantes que no toman desayuno, así como un intervalo de confi anza para la diferencia en 
los intervalos de atención promedio para quienes toman desayuno ligero contra los de 
desayuno completo.
Los grados de libertad para 
intervalos de confi anza son 
los df de error.
CONSEJOMIMI
E J E M P L O 11.6
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458 ❍ CAPÍTULO 11 EL ANÁLISIS DE VARIANZA
Solución Para s2 � MSE � 5.9333 para que s � �
______
 5.9333 � 2.436 con df � 
(n � k) � 12, se pueden calcular los dos intervalos de confi anza:
• Para los de no desayuno:
 x�1 	 ta/2� s ____ �__ n1 �
 9.4 	 2.179� 2.436 _____ �__ 5 �
 9.4 	 2.37
 o sea, entre 7.03 y 11.77 minutos.
• Para los de desayuno ligero contra desayuno completo:
 (x�2 � x�3) 	 ta/2 �
__________
 s2� 1 __ n2 � 1 __ n3 � 
 (14 � 13) 	 2.179 �
_____________
 5.9333� 1 __ 5 � 1 __ 5 � 
 1 	 3.36
 una diferencia de entre �2.36 y 4.36 minutos.
Se puede ver que el segundo intervalo de confi anza no indica una diferencia en el pro-
medio de intervalos de atención, para estudiantes que tomaron desayuno ligero contra 
los de desayuno completo, como sospechaba el investigador. Si el investigador, antes de 
creencias previas, desea probar los otros posibles pares de medias, es decir no desayuno 
contra desayuno ligero y no desayuno contra desayuno completo, los métodos dados en 
la sección 11.6 deben usarse para probar los tres pares.
Algunos programas de computadora tienen opciones de gráfi cas que dan una exce-
lente descripción visual de datos y las k medias de tratamiento. Una de estas opciones en 
el programa MINITAB se ve en la fi gura 11.7. Las medias de tratamiento están indicadas 
por el símbolo � y están conectadas con rectas. Observe que la media “no desayuno” 
parece ser un poco diferente de las otras dos medias, como sospechaba el investigador, 
aun cuando hay un pequeño traslape en las gráfi cas de caja. En la siguiente sección, pre-
sentamos un procedimiento formal para probar la signifi cancia de las diferencias entre 
todos los pares de medias de tratamiento.
18
16
14
12
10
8
6
 1 2 3
Meal
Boxplot of Span by Meal
Sp
an
FIGURA 11.7
Gráfi cas de caja para el 
ejemplo 11.6
●
Probabilidad_Mendenhall_11.indd 458Probabilidad_Mendenhall_11.indd 458 5/14/10 8:36:03 AM5/14/10 8:36:03 AM
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 11.5 EL ANÁLISIS DE VARIANZA PARA UN DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO ❍ 459
¿Cómo sé si mis cálculos son precisos?
Las siguientes sugerencias aplican a todos los análisis de varianza de este capítulo:
1. Cuando calcule sumas de cuadrados, asegúrese de llevar al menos seis cifras 
signifi cativas antes de hacer restas.
2. Recuerde, las sumas de cuadrados nunca pueden ser negativas. Si obtiene una 
suma de cuadrados negativa, ha cometido un error aritmético.
3. Siempre verifi que su análisis de tabla de varianza para comprobar que los grados 
de libertad ascienden al total de grados de libertad (n � 1) y que las sumas de 
cuadrados ascienden al Total SS.
ENTRENADOR PERSONALMIMI
TÉCNICAS BÁSICAS
11.1 Suponga que se desea comparar las medias 
de seis poblaciones basadas en muestras aleatorias 
independientes, cada una de las cuales contiene 10 
observaciones. Inserte, en una tabla ANOVA, las fuentes 
de variación y sus respectivos grados de libertad.
11.2 Los valores de SS Total y SSE para el experimento 
del ejercicio 11.1 son SS Total � 21.4 y SSE � 16.2.
a. Complete la tabla ANOVA para el ejercicio 11.1.
b. ¿Cuántos grados de libertad están asociados con la 
estadística F para probar H0 : m1 � m2 � 
 
 
 � m6?
c. Dé la región de rechazo para la prueba del inciso b) 
para a � .05.
d. ¿Los datos dan sufi ciente evidencia para indicar 
diferencias entre las medias poblacionales?
e. Estime el valor p para la prueba. ¿Este valor confi rma 
sus conclusiones del inciso d)?
11.3 Las medias muestrales correspondientes a las 
poblaciones 1 y 2 del ejercicio 11.1 son x�1 � 3.07 y
x�2 � 2.52.
a. Encuentre un intervalo de confi anza de 95% para m1.
b. Encuentre un intervalo de confi anza de 95% para la 
diferencia (m1 � m2).
11.4 Supongamos que se desea comparar las medias 
de cuatro poblaciones basadas en muestras aleatorias 
independientes, cada una de las cuales contiene seis 
observaciones. Inserte, en una tabla ANOVA, las fuentes 
de variación y sus respectivos grados de libertad.
11.5 Los valores de SS Total y SST para el experimento 
del ejercicio 11.4 son SS Total � 473.2 y SST � 339.8.
a. Complete la tabla ANOVA para el ejercicio 11.4.
 EJERCICIOS11.5
b. ¿Cuántos grados de libertad están asociados con la 
estadística F para probar H0 : m1 � m2 � m3 � m4?
c. Dé la región de rechazo para la prueba del inciso b) 
para a � .05.
d. ¿Los datos dan sufi ciente evidencia para indicar 
diferencias entre las medias poblacionales?
e. Aproxime el valor p para la prueba. ¿Esto confi rma 
sus conclusiones del inciso d)?
11.6 Las medias muestrales correspondientes a las 
poblaciones 1 y 2 del ejercicio 11.4 son x�1 � 88.0 y x�2 � 
83.9.
a. Encuentre un intervalo de confi anza de 90% para m1.
b. Encuentre un intervalo de confi anza de 95% para la 
diferencia (m1 � m2).
11.7 Estos datos son observaciones recolectadas 
usando un diseño completamente aleatorizado:
Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3
3 4 2
2 3 0
4 5 2
3 2 1
2 5
a. Calcule CM y SS Total.
b. Calcule SST y MST.
c. Calcule SSE y MSE.
d. Construya una tabla ANOVA para los datos.
e. Exprese la hipótesis nula y alternativa para un análisis 
de prueba F de varianza.
f. Use el método del valor p para determinar si hay una 
diferencia en las tres medias poblacionales.
DATOSMISMIS
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