introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-163

Vista previa del material en texto

11.6 CLASIFICACIÓN DE MEDIAS POBLACIONALES ❍ 463
Una opción podría ser ordenar las medias muestrales de menor a mayor y a conti-
nuación efectuar pruebas t para medias adyacentes en el ordenamiento. Si dos medias 
difi eren en más de
 ta/2 �
__________
 s2� 1 __ n1 � 1 __ n2 � 
se concluye que el par de medias poblacionales difi ere. El problema con este procedi-
miento es que la probabilidad de hacer un error tipo I, es decir, concluir que dos me-
dias difi eren cuando en realidad son iguales, es a para cada prueba. Si se compara un 
gran número de pares de medias, la probabilidad de detectar al menos una diferencia en 
medias, cuando en realidad ninguna existe, es bastante grande.
Una forma sencilla de evitar el alto riesgo de declarar diferencias cuando no existen 
es usar el rango de Student, que es la diferencia entre la más pequeña y la más grande 
en un conjunto de k medias muestrales, como la medida para determinar si hay una 
diferencia en un par de medias poblacionales. Este método, a veces método de Tukey 
para comparaciones apareadas, hace que sea igual a a la probabilidad de declarar 
que existe una diferencia entre al menos un par en un conjunto de k medias de trata-
miento, cuando no existe diferencia.
El método de Tukey para hacer comparaciones apareadas está basado en el análisis 
usual de suposiciones de varianza. Además, supone que las medias muestrales son 
independientes y están basadas en muestras de igual tamaño. La medida que deter-
mina si existe una diferencia entre un par de medias de tratamiento es la cantidad v 
(omega minúscula), que se presenta a continuación.
MEDIDA PARA HACER COMPARACIONES 
APAREADAS
v � qa(k, df )� s ____ �__ nt �
donde
 k � Número de tratamientos
 s2 � MSE � Estimador de la varianza común s2 y s � �
__
 s2 
 df � Número de grados de libertad para s2
 nt � Tamaño muestral común, es decir, el número de observaciones en cada 
una de las k medias de tratamiento
 qa(k,df) � Valor tabulado de las tablas 11a) y 11b) del apéndice I, para a � .05 y 
.01, respectivamente y para varias combinaciones de k y df
Regla: Dos medias poblacionales se juzga que difi eren si las medias muestrales 
correspondientes difi eren en v o más.
Las tablas 11a) y 11b) del apéndice I contienen los valores de qa(k, df) para a � .05 
y .01, respectivamente. Para ilustrar el uso de las tablas, consulte la parte de la tabla 11a) 
reproducida en la tabla 11.2. Suponga que se desea hacer comparaciones por pares de 
k � 5 medias con a � .05 para un análisis de varianza, donde s2 posee 9 df. El valor tabu-
lado para k � 5, df � 9 y a � .05, sombreados en la tabla 11.2, es q.05(5, 9) � 4.76.
Probabilidad_Mendenhall_11.indd 463Probabilidad_Mendenhall_11.indd 463 5/14/10 8:36:04 AM5/14/10 8:36:04 AM
 www.FreeLibros.me
464 ❍ CAPÍTULO 11 EL ANÁLISIS DE VARIANZA
Consulte el ejemplo 11.4, en el que se comparó el promedio de intervalos de atención 
para estudiantes a los que se dieron diferentes tratamientos de “comida” en la mañana: 
no desayuno, un desayuno ligero o un desayuno completo. La prueba F de ANOVA 
del ejemplo 11.5 indicó una diferencia signifi cativa en las medias poblacionales. Use el 
método de Tukey para comparaciones apareadas, para determinar cuál de las tres medias 
poblacionales difi ere de las otras.
Solución Para este ejemplo, hay k � medias de tratamiento, con s � �
_____
 MSE � 
2.436. El método de Tukey se puede usar, con cada una de las tres muestras conteniendo 
nt � 5 mediciones y (n � k) � 12 grados de libertad. Consulte la tabla 11 en el apéndice 
I para hallar q.05(k, df ) � q.05(3, 12) � 3.77 y calcule la “regla” como
v � q.05(3, 12)� s ____ �__ nt � � 3.77� 2.436 _____ �__ 5 � � 4.11
Las tres medias de tratamiento están dispuestas en orden de la más pequeña, 9.4, a la 
máxima, 14.0, en la fi gura 11.8. El siguiente paso es comprobar la diferencia entre cada 
par de medias. La única diferencia que excede de v � 4.11 es la diferencia entre no 
desayuno y un desayuno ligero. Estos dos tratamientos se declaran así signifi cativamente 
diferentes. No se puede declarar una diferencia entre los otros dos pares de tratamientos. 
Para indicar este hecho visualmente, la fi gura 11.8 muestra una línea bajo los pares de 
medias que no son signifi cativamente diferentes.
TABLA 11.2
 
●
 Reproducción parcial de la tabla 11a) del apéndice I; puntos 
de 5% superiores
df 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 17.97 26.98 32.82 37.08 40.41 43.12 45.40 47.36 49.07 50.59 51.96
2 6.08 8.33 9.80 10.88 11.74 12.44 13.03 13.54 13.99 14.39 14.75
3 4.50 5.91 6.82 7.50 8.04 8.48 8.85 9.18 9.46 9.72 9.95
4 3.93 5.04 5.76 6.29 6.71 7.05 7.35 7.60 7.83 8.03 8.21
5 3.64 4.60 5.22 5.67 6.03 6.33 6.58 6.80 6.99 7.17 7.32
6 3.46 4.34 4.90 5.30 5.63 5.90 6.12 6.32 6.49 6.65 6.79
7 3.34 4.16 4.68 5.06 5.36 5.61 5.82 6.00 6.16 6.30 6.43
8 3.26 4.04 4.53 4.89 5.17 5.40 5.60 5.77 5.92 6.05 6.18
9 3.20 3.95 4.41 4.76 5.02 5.24 5.43 5.59 5.74 5.87 5.98
10 3.15 3.88 4.33 4.65 4.91 5.12 5.30 5.46 5.60 5.72 5.83
11 3.11 3.82 4.26 4.57 4.82 5.03 5.20 5.35 5.49 5.61 5.71
12 3.08 3.77 4.20 4.51 4.75 4.95 5.12 5.27 5.39 5.51 5.61
E J E M P L O 11.7
Ninguno Completo Ligero
9.4 13.0 14.0
FIGURA 11.8
Medias clasifi cadas para el 
ejemplo 11.7
●
Estos resultados pueden parecer confusos, pero por lo general ayuda considerar la 
clasifi cación de las medias e interpretar diferencias no signifi cativas como nuestra inca-
pacidad de clasifi car de manera distintiva las medias subrayadas por la misma línea. Para 
este ejemplo, el desayuno ligero defi nitivamente clasifi có más alto que no desayuno, 
pero el desayuno completo no pudo ser clasifi cado más alto que el no desayuno, o más 
abajo que el desayuno ligero. La probabilidad de que cometimos al menos un error entre 
las tres comparaciones es al menos a � .05.
Probabilidad_Mendenhall_11.indd 464Probabilidad_Mendenhall_11.indd 464 5/14/10 8:36:04 AM5/14/10 8:36:04 AM
 www.FreeLibros.me
 11.6 CLASIFICACIÓN DE MEDIAS POBLACIONALES ❍ 465
Casi todos los programas de computadora dan una opción para realizar comparacio-
nes apareadas, incluyendo el método de Tukey. La salida impresa del MINITAB de la 
fi gura 11.9 muestra su forma de la prueba de Tukey, que difi ere ligeramente del método 
que hemos presentado. Los tres intervalos que se ven en la salida impresa marcada 
“Inferior” y “Superior” representan la diferencia en las dos medias muestrales más o 
menos la regla v. Si el intervalo contiene el valor 0, las dos medias se juzgan como no 
signifi cativamente diferentes. Se puede ver que las únicas medias 1 y 2 (no desayuno 
contra desayuno ligero) muestra una diferencia signifi cativa.
Si cero no está en el 
intervalo, hay evidencia 
de una diferencia entre 
los dos métodos.
CONSEJOMIMI
Tukey's 95% Simultaneous Confidence Intervals
All Pairwise Comparisons among Levels of Meal
Individual confidence level = 97.94%
Meal = 1 subtracted from:
Meal Lower Center Upper -----+---------+---------+---------+----
2 0.493 4.600 8.707 (-----------*-----------)
3 -0.507 3.600 7.707 (----------*-----------)
 -----+---------+---------+---------+----
 -3.5 0.0 3.5 7.0
Meal = 2 subtracted from:
Meal Lower Center Upper -----+---------+---------+---------+----
3 -5.107 -1.000 3.107 (-----------*-----------)
 -----+---------+---------+---------+----
 -3.5 0.0 3.5 7.0
FIGURA 11.9
Salida impresa MINITAB 
para el ejemplo 11.7
●
Cuando usted estudie dos diseños experimentales más en las siguientes secciones de 
este capítulo, recuerde que, una vez que haya encontrado que un factor es signifi cativo, 
debe usar el método de Tukey u otro método de comparaciones apareadas para averiguar 
exactamente dónde están las diferencias.
TÉCNICAS BÁSICAS
11.19 Supongamos que usted desea usar el método de 
Tukey de comparacionesapareadas para clasifi car un 
conjunto de medias poblacionales. Además del análisis 
de suposiciones de varianza, ¿qué otra propiedad deben 
satisfacer las medias de tratamiento?
11.20 Consulte las tabla 11a) y 11b) del apéndice I y 
encuentre los valores de qa(k, df) para estos casos:
a. a � .05, k � 5, df � 7
b. a � .05, k � 3, df � 10
c. a � .01, k � 4, df � 8
d. a � .01, k � 7, df � 5
11.21 Si el tamaño muestral para cada tratamiento es nt 
y si s2 está basada en 12 df, encuentre v en estos casos:
a. a � .05, k � 4, nt � 5
b. a � .01, k � 6, nt � 8
11.22 Un diseño de muestreo aleatorio independiente 
se utilizó para comparar las medias de seis tratamientos 
 EJERCICIOS11.6
basados en muestras de cuatro observaciones por 
tratamiento. El estimador agrupado de s2 es 9.12, y las 
medias muestrales siguen:
x�1 � 101.6 x�2 � 98.4 x�3 � 112.3
x�4 � 92.9 x�5 � 104.2 x�6 � 113.8
a. Dé el valor de v que usaría para hacer comparaciones 
por pares de las medias de tratamiento para a � .05.
b. Ordene las medias de tratamiento usando 
comparaciones por pares.
APLICACIONES
11.23 Sitios pantanosos, otra vez Consulte el 
ejercicio 11.13 y el conjunto de datos EX1113. Ordene el 
crecimiento medio de hojas para los cuatro lugares. Use 
a � .01.
11.24 Calcio Consulte el ejercicio 11.15 y el conjunto 
de datos EX1115. La opción de comparaciones pareadas 
en MINITAB generó la salida impresa siguiente. ¿Qué 
indican estos resultados acerca de las diferencias en las
Probabilidad_Mendenhall_11.indd 465Probabilidad_Mendenhall_11.indd 465 5/14/10 8:36:04 AM5/14/10 8:36:04 AM
 www.FreeLibros.me
	11 EL ANÁLISIS DE VARIANZA
	11.6 Clasificación de medias poblacionales
	Ejercicios