introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-196

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562 ❍ CAPÍTULO 13 ANÁLISIS DE REGRESIÓN MÚLTIPLE
con valor p � .001. En consecuencia, el ajuste total del modelo es altamente significa-
tivo. La regresión cuadrática es R2 � 87.9% de la variación en y [R2(adj) � 84.5%].
De las pruebas t para las variables individuales del modelo, se puede ver que b1 y b2 
son altamente significativas, con valores p iguales a .000. Observe de la sección de suma 
secuencial de cuadrados que la suma de cuadrados para regresión lineal es .8003, con 
una suma de cuadrados adicional de 2.3986 cuando se agregue el término cuadrado. 
Es evidente que el modelo de regresión lineal simple es inadecuado para describir los 
datos.
Una última mirada a las gráficas residuales generadas por MINITAB en la figura 13.10 
asegura que las suposiciones de regresión sean válidas. Observe el aspecto relativamente 
lineal de la gráfica normal y la relativa dispersión de los residuales contra los ajustes. El 
modelo cuadrático da predicciones precisas para valores de x que se encuentren dentro 
del rango de los valores muestreados de x.
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
 �0.50 �0.25 0.00 0.25 0.50
Residual
P
or
ce
nt
aj
e
0.3
0.2
0.1
0.0
�0.1
�0.2
�0.3
�0.4
 10 15 20 25 30
Valor ajustado
R
es
id
ua
l
 EJERCICIOS13.4
TÉCNICAS BÁSICAS
13.1 Suponga que E(y) está relacionada a dos variables 
predictoras, x1 y x2, por la ecuación
E(y) � 3 � x1 � 2x2
a. Grafique la relación entre E(y) y x1 cuando x2 � 2. 
Repita para x2 � 1 y para x2 � 0.
b. ¿Qué relación tienen entre sí las rectas del 
inciso a)?
13.2 Consulte el ejercicio 13.1.
a. Grafique la relación entre E(y) y x2 cuando x1 � 0. 
Repita para x1 � 1 para x1 � 2.
FIGURA 13.10
Gráfi cas MINITAB 
de diagnóstico para 
el ejemplo 13.4
●
Probabilidad_Mendenhall_13.indd 562Probabilidad_Mendenhall_13.indd 562 5/14/10 8:20:36 AM5/14/10 8:20:36 AM
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b. ¿Qué relación tienen entre sí las líneas del inciso a)?
c. Suponga, en una situación práctica, que se desea 
modelar la relación entre E(y) y dos variables 
predictoras x1 y x2. ¿Cuál es la implicación de 
usar el modelo de primer orden E(y) � b0 � b1x1 
� b2x2?
13.3 Suponga que se ajusta el modelo
E(y) � b0 � b1x1 � b2x2 � b3x3
a 15 puntos de datos y se encuentra que F es igual a 
57.44.
a. ¿Los datos dan suficiente evidencia para indicar 
que el modelo aporta información para la predicción 
de y? Pruebe usando un nivel de significancia de 5%.
b. Use el valor de F para calcular R2. Interprete 
su valor.
13.4 La salida impresa de computadora para el análisis 
de regresión múltiple para el ejercicio 13.3 da esta 
información:
b0 � 1.04 b1 � 1.29
 SE(b1) � .42
 b2 � 2.72 b3 � .41
SE(b2) � .65 SE(b3) � .17
a. ¿Cuál, si hay alguna, de las variables independientes 
x1, x2 y x3 aportan información para la predicción 
de y?
b. Dé la ecuación de predicción de mínimos cuadrados.
c. En la misma hoja de papel, grafique y contra x1 
cuando x2 � 1 y x3 � 0 y cuando x2 � 1 y x3 � .5. 
¿Qué relación tienen entre sí las dos rectas?
d. ¿Cuál es la interpretación práctica del parámetro b1?
13.5 Suponga que se ajusta el modelo
E(y) � b0 � b1x � b2x
2
a 20 puntos de datos y se obtiene la salida impresa 
MINITAB siguiente:
Salida impresa MINITAB para el ejercicio 13.5
a. ¿Qué tipo de modelo se ha escogido para ajustar los 
datos?
b. ¿Qué tan bien ajusta los datos el modelo? Explique.
c. ¿Los datos dan suficiente evidencia para indicar que 
el modelo aporta información para la predicción de y? 
Use el método del valor p.
13.6 Consulte el ejercicio 13.5.
a. ¿Cuál es la ecuación de predicción?
b. Grafique la ecuación de predicción sobre el intervalo 
0 � x � 6.
13.7 Consulte el ejercicio 13.5.
a. ¿Cuál es su estimación del valor promedio de y 
cuando x � 0?
b. ¿Los datos dan suficiente evidencia para indicar que el 
valor promedio de y difiere de 0 cuando x � 0?
13.8 Consulte el ejercicio 13.5.
a. Suponga que la relación entre E(y) y x es una recta. 
¿Qué se sabría acerca del valor de b2?
b. ¿Los datos dan suficiente evidencia para indicar 
curvatura en la relación entre y y x?
13.9 Consulte el ejercicio 13.5. Suponga que y es la 
utilidad para algún negocio y x es la cantidad de capital 
invertido, y se sabe que la tasa de aumento en utilidad 
para un aumento unitario en capital invertido sólo puede 
disminuir cuando x aumenta. Se desea saber si los datos 
dan sufi ciente evidencia para indicar una tasa decrecien-
te de aumento en utilidad cuando la cantidad de capital 
invertido aumenta.
a. Las circunstancias descritas implican una prueba 
estadística de una cola? ¿Por qué?
b. Realice la prueba al nivel de significancia de 1%. 
Exprese sus conclusiones.
APLICACIONES
13.10 Libros de texto universitarios Un 
editor de libros de texto universitarios realizó 
un estudio para relacionar la utilidad por texto y, con el 
costo de ventas x, en un periodo de 6 años cuando su 
fuerza de ventas (y costos de ventas) estaban creciendo 
rápidamente. Se recolectaron estos datos de infl ación 
ajustada (en miles de dólares):
Utilidad por texto, y 16.5 22.4 24.9 28.8 31.5 35.8
Costo de ventas
por texto, x 5.0 5.6 6.1 6.8 7.4 8.6
Esperando que la utilidad por libro subiera y luego se 
nivelara, el editor ajustó el modelo E(y) � b0 � b1x � 
b2x
2 a los datos.
Análisis de regresión: y contra x, x-sq
The regression equation is
y = 10.6 + 4.44 x - 0.648 x-sq
Predictor Coef SE Coef T P
Constant 10.5638 0.6951 15.20 0.000
x 4.4366 0.5150 8.61 0.000
x-sq -0.64754 0.07988 -8.11 0.000
S = 1.191 R-Sq = 81.5% R-Sq(adj) = 79.3%
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P
Regression 2 106.072 53.036 37.37 0.000
Residual Error 17 24.128 1.419
Total 19 130.200
DATOSMISMIS
EX1310
 13.4 UN MODELO DE REGRESIÓN POLINOMIAL ❍ 563
Probabilidad_Mendenhall_13.indd 563Probabilidad_Mendenhall_13.indd 563 5/14/10 8:20:37 AM5/14/10 8:20:37 AM
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564 ❍ CAPÍTULO 13 ANÁLISIS DE REGRESIÓN MÚLTIPLE
Salida impresa MINITAB para el ejercicio 13.10
13.11 Libros de texto universitarios II Consulte el 
ejercicio 13.10.
a. Use los valores de la SSR y SS Total para calcular 
R2. Compare este valor con el valor dado en la salida 
impresa.
b. Calcule R2(adj). ¿Cuándo sería apropiado usar 
este valor en lugar de R2 para evaluar el ajuste del 
modelo?
c. El valor de R2(adj) fue de 95.7% cuando un modelo 
lineal simple se ajustó a los datos. ¿El modelo lineal 
o el cuadrático ajustan mejor?
13.12 Hamburguesas de verduras Una 
persona tiene una parrilla caliente y un 
panecillo de hamburguesa vacío, pero ha jurado dejar las 
hamburguesas grasientas. ¿Es buena una hamburguesa 
sin carne? Los datos de la tabla siguiente dan puntuación 
de sabor y textura (entre 0 y 100) para 12 marcas de 
hamburguesas sin carne junto con el precio, número de 
calorías, cantidad de grasa y una cantidad de sodio por 
hamburguesa.2 Algunas de estas marcas tratan de imitar 
el sabor de la carne, no así otras. La salida impresa 
MINITAB muestra la regresión de la puntuación de sabor y 
en las cuatro variables predictoras: precio, calorías, grasa 
y sodio.
Marca Puntos, y Precio, x1 Calorías, x2 Grasa, x3 Sodio, x4
 1 70 91 110 4 310
 2 45 68 90 0 420
 3 43 92 80 1 280
 4 41 75 120 5 370
 5 39 88 90 0 410
 6 30 67 140 4 440
 7 68 73 120 4 430
 8 56 92 170 6 520
 9 40 71 130 4 180
10 34 67 110 2 180
11 30 92 100 1 330
12 26 95 130 2 340
Análisis de regresión: y contra x, s-sq
The regression equation is
y = - 44.2 + 16.3 x - 0.820 x-sq
Predictor Coef SE Coef T P
Constant -44.192 8.287 -5.33 0.013
x 16.334 2.490 6.56 0.007
x-sq -0.8198 0.1824 -4.49 0.021
S = 0.594379 R-Sq = 99.6% R-Sq(adj) = 99.3%
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P
Regression 2 234.96 117.48 332.530.000
Residual Error 3 1.06 0.35
Total 5 236.02
Source DF Seq SS
x 1 227.82
x-sq 1 7.14
a. Grafique los puntos de datos. ¿Le parece que el 
modelo cuadrático es necesario?
b. Encuentre s en la salida impresa. Confirme que
s � �
_________
 SSE _________ 
n � k � 1
 
c. ¿Los datos dan suficiente evidencia para indicar que 
el modelo contribuye con información para la 
predicción de y? ¿Cuál es el valor p para esta prueba 
y qué significa?
d. ¿Cuánto de la suma de cuadrados de regresión es 
tomado en cuenta por el término cuadrático? 
¿El término lineal?
e. ¿Qué signo se esperaría que tenga el valor real de b2? 
Encuentre el valor de b2 en la salida impresa. ¿Este 
valor confirma las expectativas?
f. ¿Los datos indican una curvatura significativa en la 
relación entre y y x? Pruebe al nivel de significancia 
de 5%.
g. ¿Qué conclusiones se pueden sacar de las gráficas 
residuales siguientes?
Gráfi cas MINITAB para el ejercicio 13.10
1.00
0.75
0.50
0.25
0.00
�0.25
�0.50
 15 20 25 30 35
Valor ajustado
Valores residuales contra ajustados
(la respuesta es y)
R
es
id
ua
l
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
 �1.0 �0.5 0.0 0.5 1.0
Residual
Gráfica normal de probabilidad de los residuales
(la respuesta es y)
P
or
ce
nt
aj
e
DATOSMISMIS
EX1312
Probabilidad_Mendenhall_13.indd 564Probabilidad_Mendenhall_13.indd 564 5/14/10 8:20:37 AM5/14/10 8:20:37 AM
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	13.4 Un modelo de regresión polinomial
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