introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-221

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¿Cuándo se puede usar la prueba de la suma de rango de Wilcoxon en preferencia a 
la prueba t no pareada de dos muestras? La prueba t de dos muestras funciona bien si los 
datos están normalmente distribuidos con varianzas iguales. Si hay duda respecto a estas 
suposiciones, puede usarse una gráfica de probabilidad normal para evaluar el grado de 
no normalidad y se puede usar una prueba F de dos muestras de varianzas muestrales 
para verificar la igualdad de varianzas. Si estos procedimientos indican ya sea no nor-
malidad o desigualdad de varianza, entonces es apropiada la prueba de la suma de rango 
de Wilcoxon.
 EJERCICIOS15.2
TÉCNICAS BÁSICAS
15.1 Supongamos que se desea usar la prueba de la suma 
de rangos de Wilcoxon, para detectar un corrimiento en la 
distribución 1 a la derecha de la distribución 2, con base 
en muestras de tamaño n1 � 6 y n2 � 8.
a. ¿Se debe usar T1 o T
*
1 como el estadístico de prueba?
b. ¿Cuál es la región de rechazo para la prueba si a � .05?
c. ¿Cuál es la región de rechazo para la prueba si a � .01?
15.2 Consulte el ejercicio 15.1. Suponga que la 
hipótesis alternativa es que la distribución 1 se corre ya 
sea a la izquierda o a la derecha de la distribución 2.
a. ¿Se debe usar T1 o T
*
1 como el estadístico de prueba?
b. ¿Cuál es la región de rechazo para la prueba 
si a � .05?
c. ¿Cuál es la región de rechazo para la prueba 
si a � .01?
15.3 Observaciones de dos muestras aleatorias e 
independientes, tomadas de las poblaciones 1 y 2, se dan 
aquí. Use la prueba de la suma de rango de Wilcoxon 
para determinar si la población 1 está corrida a la 
izquierda de la población 2.
Muestra 1 1 3 2 3 5
Muestra 2 4 7 6 8 6
a. Exprese la hipótesis nula y alternativa a probar.
b. Ordene la muestra combinada de menor a mayor. 
Calcule T1 y T
*
1.
c. ¿Cuál es la región de rechazo para a � .05?
d. ¿Los datos dan suficiente evidencia para indicar que 
la población 1 está corrida a la izquierda de la 
población 2?
15.4 Muestras aleatorias independientes de tamaño 
n1 � 20 y n2 � 25 se toman de las poblaciones 1 y 2 
no normales. La muestra combinada está ordenada y 
T1 � 252. Use la aproximación de muestra grande a la 
prueba de la suma de rango de Wilcoxon para determinar 
si hay una diferencia en las dos distribuciones de 
población. Calcule el valor p para la prueba.
15.5 Supongamos que se desea detectar un corrimiento 
en la distribución 1 a la derecha de la distribución 2, 
con base en tamaños muestrales n1 � 12 y n2 � 14. 
Si T1 �193, ¿qué se concluye? Use a � .05.
APLICACIONES
15.6 Enfermedad de Alzheimer En algunas pruebas 
de salud en ancianos, un nuevo medicamento ha restaurado 
su memoria casi como la de jóvenes. Pronto se probará 
en pacientes con enfermedad de Alzheimer, esa fatal 
enfermedad del cerebro que destruye la mente. Según el 
Dr. Gary Lynch, de la Universidad de California en Irvine, 
el medicamento, llamado ampakina CX-516, acelera 
señales entre células cerebrales que parecen agudizar 
significativamente la memoria.2 En una prueba preliminar 
en estudiantes de poco más de 20 años y en hombres 
de entre 65 y 70 años de edad, los resultados fueron 
particularmente sorprendentes. Después de recibir dosis 
moderadas de este medicamento, las personas de entre 65 y 
70 años de edad calificaron casi tan alto como los jóvenes. 
Los datos siguientes son los números de sílabas sin sentido 
recordadas después de 5 minutos, para 10 hombres de 
poco más de 20 años de edad y 10 señores de entre 65 y 70 
años. Use la prueba de la suma de rango de Wilcoxon para 
determinar si las distribuciones para el número de sílabas 
sin sentido recordadas son iguales para estos dos grupos.
20s 3 6 4 8 7 1 1 2 7 8
65-70s 1 0 4 1 2 5 0 2 2 3
15.7 Alzheimer, continúa Consulte el ejercicio 15.6. 
Suponga que dos grupos más de 10 hombres cada uno 
son probados sobre el número de sílabas sin sentido que 
podían recordar después de 5 minutos. No obstante, a los 
señores de entre 65 y 70 se les da una dosis moderada de 
ampakina CX-516. ¿Los datos dan suficiente evidencia 
para concluir que este medicamento mejora la memoria 
en pacientes de entre 65 y 70 años en comparación con 
los de poco más de 20 años? Use un nivel apropiado de a.
20s 11 7 6 8 6 9 2 10 3 6
65-70s 1 9 6 8 7 8 5 7 10 3
 15.2 LA PRUEBA DE SUMA DE RANGO DE WILCOXON: MUESTRAS ALEATORIAS INDEPENDIENTES ❍ 637
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638 ❍ CAPÍTULO 15 ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS
15.8 Contenido de oxígeno disuelto Las observa-
ciones de la tabla son el contenido de oxígeno disuelto 
en agua. Cuanto más alto el contenido de oxígeno 
disuelto, mayor es la capacidad de un río, lago o arroyo 
para sostener fauna acuática. En este experimento, un 
inspector de control de contaminación sospechaba que 
una comunidad ribereña estaba descargando aguas negras 
tratadas sólo en parte hacia un río. Para comprobar esta 
teoría, cinco especímenes de agua de río, tomados al azar, 
se seleccionaron en un lugar aguas arriba del pueblo y, 
otras cinco, aguas abajo. Éstas son las lecturas de oxígeno 
disuelto (en partes por millón):
Aguas arriba 4.8 5.2 5.0 4.9 5.1
Aguas abajo 5.0 4.7 4.9 4.8 4.9
a. Use una prueba de suma de rango de Wilcoxon de una 
cola con a � .05 para confirmar o refutar la teoría.
b. Use una prueba t de Student (con a � .05) para 
analizar los datos. Compare la conclusión alcanzada 
en el inciso a).
15.9 Movimiento de ojos En una 
investigación del comportamiento de 
exploración visual de niños sordos, se tomaron medidas 
del movimiento de ojos en nueve niños sordos y nueve 
que sí escuchaban. La tabla siguiente da la rapidez de 
movimiento de ojos y sus rangos (en paréntesis). 
¿Le parece que difieren las distribuciones de la rapidez 
de movimiento de ojos de niños sordos y de niños que sí 
escuchan?
 Niños sordos Niños que sí escuchan
 2.75 (15) .89 (1)
 2.14 (11) 1.43 (7)
 3.23 (18) 1.06 (4)
 2.07 (10) 1.01 (3)
 2.49 (14) .94 (2)
 2.18 (12) 1.79 (8)
 3.16 (17) 1.12 (5.5)
 2.93 (16) 2.01 (9)
 2.20 (13) 1.12 (5.5)
Suma de rango 126 45
15.10 Televisores a color La tabla siguiente es una 
lista de la vida útil (en meses) de servicio antes de fallar, 
en una tarjeta de circuitos de televisión a color, para 
ocho aparatos de la firma A y 10 de la firma B. Use la 
prueba de suma de rango de Wilcoxon para analizar los 
datos y pruebe para ver si la vida de servicio antes de 
falla de las tarjetas de circuitos difiere para las tarjetas de 
circuitos producidas por los dos fabricantes.
Firma Duración de tarjeta de circuitos (meses)
A 32 25 40 31 35 29 37 39
B 41 39 36 47 45 34 48 44 43 33
15.11 Pesos de tortugas Los pesos de 
tortugas capturadas en dos lagos diferentes se 
midieron para comparar los efectos de los ambientes de 
los dos lagos en el crecimiento de las tortugas. Todas las 
tortugas eran de la misma edad y fueron marcadas antes 
de soltarlas en los lagos. A continuación veamos los 
pesos para n1 � 10 tortugas marcadas y capturadas en el 
lago 1 y n2 � 8 capturadas en el lago 2:
Lago Pesos (onzas)
1 14.1 15.2 13.9 14.5 14.7 13.8 14.0 16.1 12.7 15.3
2 12.2 13.0 14.1 13.6 12.4 11.9 12.5 13.8
¿Los datos dan suficiente evidencia para indicar una 
diferencia en las distribuciones de peso para las tortugas 
marcadas, expuestas a los ambientes de los dos lagos? 
Use la prueba de la suma de rango de Wilcoxon con 
a � .05 para contestar la pregunta.
15.12 Quimioterapia El tratamiento 
de cáncer por medios químicos, llamado 
quimioterapia, mata células cancerosas y células 
normales. En algunos casos, la toxicidad del medicamento 
para el cáncer, es decir, su efecto sobre células normales, 
puede reducirse con la inyección simultánea de un 
segundo medicamento. Se realizó un estudio para 
determinar si la inyección de un medicamento 
en particular reducía los efectos dañinos de un tratamiento 
de quimioterapia en el tiempo de sobrevivencia de ratas. 
Dos gruposde 12 ratas seleccionados al azar se emplearon 
en un experimento en el que ambos grupos, llamémoslos 
A y B, recibieron la droga tóxica en una dosis lo 
suficientemente grande para causarles la muerte, pero, 
además, el grupo B recibió la antitoxina que iba a reducir 
el efecto tóxico de la quimioterapia en células normales. 
La prueba finalizó al término de 20 días, o sea, 480 
horas. Los tiempos de sobrevivencia para los dos grupos 
de ratas, a las 4 horas más cercanas, se muestran en la 
tabla siguiente. ¿Los datos dan suficiente evidencia para 
indicar que las ratas que recibieron la antitoxina tienden 
a sobrevivir más después de la quimioterapia que las que 
no recibieron la antitoxina? Use la prueba de la suma de 
rango de Wilcoxon con a � .05.
Sólo quimioterapia Quimioterapia más droga 
 A B
 84 140
 128 184
 168 368
 92 96
 184 480
 92 188
 76 480
 104 244
 72 440
 180 380
 144 480
 120 196
DATOSMISMIS
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DATOSMISMIS
EX1511
DATOSMISMIS
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LA PRUEBA DEL SIGNO PARA 
UN EXPERIMENTO PAREADO
La prueba del signo es un procedimiento relativamente sencillo que se puede usar para 
comparar dos poblaciones cuando las muestras consisten en observaciones pareadas. 
Este tipo de diseño experimental se denomina diseño de diferencia pareada o pares 
comparados, que en la sección 10.5 se usaron para comparar el promedio de desgaste 
para dos tipos de llantas. En general, para cada par, se mide si la primera respuesta, por 
ejemplo A, excede a la segunda respuesta, por ejemplo a B. El estadístico de prueba es 
x, el número de veces que A excede a B en los n pares de observaciones.
Cuando las dos distribuciones poblacionales son idénticas, la probabilidad de que A 
exceda a B es igual a p � .5, y x, el número de veces que A excede a B, tiene una distri-
bución binomial. Sólo pares sin empates se incluyen en la prueba. En consecuencia, se 
puede probar la hipótesis de distribuciones poblacionales idénticas al probar H0 : p � .5 
contra una alternativa ya sea de una o dos colas. Los valores críticos para la región de 
rechazo o valores p exactos se pueden hallar usando las tablas binomiales acumulativas 
del apéndice I.
LA PRUEBA DEL SIGNO PARA COMPARAR 
DOS POBLACIONES
1. Hipótesis nula: H0 : Las dos distribuciones poblacionales son idénticas y 
P(A excede a B) � p � .5
2. Hipótesis alternativa:
a. Ha : Las distribuciones poblacionales no son idénticas y p 	 .5
b. Ha : La población de A mediciones se corre a la derecha de la población de B 
mediciones y p � .5
c. Ha : La población de A mediciones se corre a la izquierda de la población de B 
mediciones y p � .5
3. Estadístico de prueba: Para n, el número de pares sin empates, use x, el número 
de veces que (A � B) es positivo.
4. Región de rechazo:
a. Para la prueba de dos colas Ha : p 	 .5, rechazar H0 si x � xL o x � xU, donde 
P(x � xL) � a/2 y P(x � xU) � a/2 para x que tenga una distribución binomial 
con p � .5.
b. Para Ha : p � .5, rechazar H0 si x � xU con P(x � xU) � a.
c. Para Ha : p � .5, rechazar H0 si x � xL con P(x � xL) � a.
O calcule el valor p y rechace H0 si el valor p � a.
Un problema que puede ocurrir cuando se está realizando una prueba del signo es 
que las mediciones asociadas con uno o más pares pueden ser iguales y, por tanto, resul-
tan en observaciones empatadas. Cuando esto ocurra, elimine los pares empatados y 
reduzca n, el número total de pares. El ejemplo siguiente le ayudará a entender cómo se 
construye y utiliza la prueba del signo.
Los números de fusibles eléctricos defectuosos producidos por dos líneas de producción, 
A y B, se registraron a diario durante un periodo de 10 días, con los resultados mostrados 
en la tabla 15.6. La variable de respuesta, el número de fusibles defectuosos, tiene una 
distribución binomial exacta con un gran número de fusibles producidos por día. Aun 
cuando esta variable tendrá aproximadamente una distribución normal, el supervisor de 
15.3
E J E M P L O 15.3
 15.3 LA PRUEBA DEL SIGNO PARA UN EXPERIMENTO PAREADO ❍ 639
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	15 ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS
	15.2 La prueba de suma de rango de Wilcoxon: muestras aleatorias independientes
	Ejercicios
	15.3 La prueba del signo para un experimento pareado