S01 s1 - DOMINIO RANGO Y GRÁFICA

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FUNCIONES DE VARIAS 
VARIABLES: DOMINIO, RANGO Y 
GRÁFICA.
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante conoce e interpreta la 
representación gráfica y simbólica del dominio y rango de funciones de dos 
variables, para así modelar problemas de las Ciencias Básicas.”
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
FUNCIONES 
DE VARIAS 
VARIABLES.
DOMINIO, RANGO Y 
GRÁFICA.
Funciones reales de dos 
variables.
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
La gráfica de 𝑓 representa una superficie, en este caso 
podemos escribir 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) donde 𝑥, 𝑦 son variables 
independientes. 
Una función de dos variables 𝑓 es una regla que asigna a cada 
par ordenado de números reales (𝑥, 𝑦) de un conjunto 𝐷, un 
único número 𝑓 𝑥, 𝑦 .
DOMINIO Y RANGO
¿Cuál es su utilidad?
Las funciones de varias variables se utilizan en:
✓ Potencial eléctrico.
✓ Funciones producción.
✓ Sistemas de fiabilidad.
✓ Optimización lineal y no lineal.
Entre otros.
1Dominio de 𝒇.
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES.
• Sea 𝑓 una función de dos variables, entonces 
definimos el dominio de la función como el 
conjunto.
• Notemos que 𝐷 es un subconjunto 
de 𝐷𝑜𝑚(𝑓). 
Ejemplo 1. Hallar el dominio de la siguiente función 
𝑓 𝑥, 𝑦 = 16 − 4𝑥2 − 𝑦2.
Solución.
EJEMPLO: DOMINIO DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES.
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2: 16 − 4𝑥2 − 𝑦2 ≥ 0
= 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2: 16 ≥ 4𝑥2 + 𝑦2
= 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2:
𝑥2
4
+
𝑦2
16
≤ 1
Notemos que es una raíz cuadrada, por tanto: 
Por lo tanto, el dominio de la función es el interior 
de una elipse de semiejes 2 y 4.
RANGO DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES.
2 Rango de 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 y gráfico de 𝒇.
• El rango de la función 𝑓 es el conjunto de 
valores que toma 𝑓 𝑥, 𝑦 . Esto es: 
• Si 𝐷 = 𝐷𝑜𝑚(𝑓), entonces la gráfica de 𝑓 es 
una superficie contenida en ℝ3 definida por:
Ejemplo 2. Hallar el rango y grafico de la siguiente función.
𝑓 𝑥, 𝑦 = 16 − 4𝑥2 − 𝑦2
Solución.
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE ORDEN SUPERIOR
𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑓 = {𝑧 ∈ ℝ: 0 ≤ 𝑧 ≤ 4}
• Como la función esta dentro de una raíz, entonces la imagen va a ser
mayor o igual a cero. Por otro lado, como 16 ≥ 4𝑥2 + 𝑦2 ≥ 0 ,
entonces el máximo valor que puede tomar 𝑓 es 4. Así:
• Recordemos: 𝐺𝑟𝑎𝑓 𝑓 = 𝑥, 𝑦, 16 − 4𝑥2 − 𝑦2 :
𝑥2
4
+
𝑦2
16
≤ 1 .
Como 𝑧 ≥ 0 se tiene: 𝑧2 = 16 − 4𝑥2 − 𝑦2; luego tenemos que:
1 =
𝑥2
4
+
𝑦2
16
+
𝑧2
16
; z ≥ 0.
Por tanto, concluimos que el grafico es la parte superior de un elipsoide.
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1. Saber identificar las 
restricciones de la 
función para hallar 
el dominio.
2.Identificar la imagen 
de la función y 
recordar que es un 
subconjunto de ℝ.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia en la vida 
cotidiana de las 
ecuaciones 
diferenciales.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Dada la función 𝑓 definida por:
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑙𝑛(1 − 𝑥 + 𝑦)
1 − 𝑥2 − 𝑦2
Calcule analíticamente, y grafique el dominio de la función 𝑓.
Solución.
DOMINIO Y RANGO: EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ𝟐: 𝟏 − 𝒙 + 𝒚 > 𝟎 ∧ 𝟏 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 > 𝟎
= 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ𝟐: 𝒙 < 𝒚 + 𝟏 ∧ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 < 𝟏
Analizamos la función, recordemos que la función 𝑙𝑛 esta definida 
para valores mayores que cero. Por otro lado, la raíz cuadrada 
esta definida para valores positivos incluido el cero, pero como la 
raíz esta en el denominador entonces esta definida para valores 
mayores que cero.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
2. Dada la función definida por:
Calcule analíticamente el dominio de 𝑓. Grafique el dominio.
Solución.
DOMINIO Y RANGO: EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
𝑓 𝑥, 𝑦 = 2 − 𝑥 +
4
4𝑦 − 𝑦2 − 3 + ln(𝑥2 + 𝑦2 + 5)
• 2 − 𝑥 ≥ 0
2 ≥ 𝑥
−2 ≤ 𝑥 ≤ 2
• 4𝑦 − 𝑦2 − 3 ≥ 0
𝑦2 − 4𝑦 + 3 ≤ 0
𝑦 − 1 𝑦 − 3 ≤ 0
• 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 0
𝑥2 + 𝑦2 > − 5
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2: −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 ∧ 𝑦2 − 4𝑦 + 3 ≤ 0
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
Calcule y grafique el dominio de la siguiente función.
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥2 + 𝑦2 − 4
𝑦 − 4
−
𝑥2 + 2𝑦
36 − 4𝑥2 − 9𝑦2
EJERCICIO RETO.
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones