S03 s1-Ecuacion diferencial de orden superior

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CÁLCULO PARA LA TOMA 
DE DECISIONES
Ecuaciones diferenciales de orden superior
Semana 03 Sesión 01 
TEMA: Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas 
de orden superior con coeficientes constantes
Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante resuelve las 
ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden 
superior con coeficientes constantes.
Logro de la Sesión
Un cuerpo de masa 𝑚 se une al techo
mediante un resorte de constante k y a un
amortiguador de constante b. La masa se
suelta desde 𝑦0 por encima de la posición
de equilibrio y con una velocidad
descendente 𝑣0 . Halle la ecuación del
movimiento para el cuerpo.
Utilidad
Por la segunda ley de Newton: 
la suma de fuerzas que actúan sobre el 
cuerpo de masa m es dada por la ecuación 
de segundo orden.
m𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑘𝑦 = 0
𝑦 0 = 𝑦0 ; 𝑦′ 0 = 𝑣0
Contenido general
Ecuación diferencial lineal homogénea de orden superior
Con coeficientes constantes 
Ecuación característica o auxiliar
Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior
𝑎𝑛 𝑥 𝑦
𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑦
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 𝑥 𝑦
′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 0
Ecuaciones Homogéneas
WRONSKIANO
Una ED de la forma
.es llamada ED lineal homogénea de orden n 
Sean 𝑓1 𝑥 ; 𝑓2 𝑥 ;… ; 𝑓𝑛(𝑥) funciones derivables n-1 veces.
El determinante:
Se denomina Wronskiano de las funciones 
𝑎𝑛 𝑥 𝑦
𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑦
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 𝑥 𝑦
′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Datos/Observaciones
Sean 𝑦1 𝑥 ; 𝑦2 𝑥 ;… ; 𝑦𝑛(𝑥) soluciones de la ED 
𝑎𝑛 𝑥 𝑦
𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑦
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 𝑥 𝑦
′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 0
El conjunto de soluciones es linealmente independiente si
Soluciones linealmente independientes
Ejemplo: Verifique que el conjunto de funciones 𝑒3𝑥; 𝑒5𝑥 es un conjunto 
de soluciones linealmente independientes de 𝑦′′ − 8𝑦′ + 15𝑦 = 0. 
Solución
𝑊 𝑒3𝑥; 𝑒5𝑥 = 𝑒
3𝑥 𝑒5𝑥
3𝑒3𝑥 5𝑒5𝑥
= 5𝑒8𝑥 − 3𝑒8𝑥 = 2𝑒8𝑥 𝑊 𝑒3𝑥; 𝑒5𝑥 ≠ 0
Conjunto fundamental de soluciones
Un conjunto 𝑦1 𝑥 ; 𝑦2 𝑥 ;… ; 𝑦𝑛(𝑥) de n soluciones linealmente independientes de la 
ED homogénea de n-esimo orden es un conjunto fundamental de soluciones
Sean 𝑦1 𝑥 ; 𝑦2 𝑥 ;… ; 𝑦𝑛(𝑥) un conjunto fundamental de soluciones de la ED 
𝑎𝑛 𝑥 𝑦
𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑦
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 𝑥 𝑦
′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 0
Entonces 𝑦 = 𝑐1𝑦1(𝑥) + 𝑐2𝑦2(𝑥) + ⋯+ 𝑐𝑛𝑦𝑛 𝑥 es la solución general de la ED, donde 
𝑐1; 𝑐2; … ; 𝑐𝑛 son constantes arbitrarias.
Solución general de una ED lineal homogénea 
de orden superior
Ejemplo: La solución general de la ED lineal homogénea de orden 4 y de 
coeficientes constantes 𝑎𝑦(4) + 𝑏𝑦′′′ + 𝑐𝑦′′ + 𝑑𝑦′ + 𝑒𝑦 = 0 es de la forma: 
𝑦 = 𝑐1𝑦1 𝑥 + 𝑐2𝑦2 𝑥 + 𝑐3𝑦3 𝑥 + 𝑐4𝑦4 𝑥
Donde 𝑦1 𝑥 ; 𝑦2 𝑥 ; 𝑦3(𝑥); 𝑦4(𝑥) son linealmente independientes
Resolución de la ED lineal homogénea de orden 2
𝑎𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 0
Suponemos que las soluciones de esta ecuación son de la forma 𝑦 = 𝑒𝑚𝑥, luego al 
sustituir en la ED se obtiene la ecuación auxiliar de la ED:
𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚 + 𝑐 = 0 De donde:
Resolver : 2𝑦′′ − 5𝑦′ − 3𝑦 = 0
Solución :
EJERCICIO EXPLICATIVO 1:
Resolver : 𝑦′′ + 2𝑦′ − 8𝑦 = 0
Solución :
∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐
Resolver la ED : 𝑦′′ − 10𝑦′ + 25𝑦 = 0
Solución :
EJERCICIO EXPLICATIVO 2:
Resolver la ED : 𝑦′′ + 14𝑦′ + 49𝑦 = 0
Solución :
Resolver la ED : 𝑦′′+9𝑦 = 0
Solución :
Resolver la ED : 𝑦′′ + 𝑦′ + 𝑦 = 0
Solución :
EJERCICIO EXPLICATIVO 3:
∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐
𝑚1;2 =
−𝑏 ± ∆
2𝑎
Resolución de la ED lineal homogénea de orden n
Suponga que las soluciones de la ED son de la forma 𝑦 = 𝑒𝑚𝑥, luego al sustituir en 
la ED se obtiene la ecuación auxiliar 𝑎𝑛𝑚
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑚
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑚 + 𝑎0 = 0
EJERCICIO EXPLICATIVO 4:
Resolver : 𝑦′′′ + 𝑦′′ − 4𝑦′ − 4𝑦 = 0
Solución :
EC. Caract 𝑚3 +𝑚2 − 4𝑚 − 4 = 0 C. F= 𝑒− 𝑥; 𝑒2𝑥; 𝑒−2𝑥)
solución general es : 
y = 𝑐1𝑒
− 𝑥 + 𝑐2 𝑒
2𝑥 + 𝑐3 𝑒
−2𝑥
𝑚1 = −1 ; 𝑚2 = 2 ; 𝑚3 = −2
𝑚2(𝑚 + 1) + −4(𝑚 + 1) = 0
(𝑚 + 1)(𝑚2 − 4) = 0
EJERCICIO EXPLICATIVO 5:
Resolver la ED : 𝑦′′′ + 3𝑦′′ − 4𝑦 = 0
Solución :
EJERCICIO EXPLICATIVO 6:
Resolver la ED : 𝑦(4) + 2𝑦′′ + 𝑦 = 0
Solución :
Datos/Observaciones
EJERCICIO RETO
Resolver la ED: 𝑦′′′ + 𝑦′′ + 3𝑦′ − 5𝑦 = 0 Y(0) = 1 ; Y’(0)= 3 ; Y’’(0)= 5
Solución
EJERCICIOS PROPUESTOS
10.- Resolver la ED: 𝑦′′′ + 𝑦′ − 10𝑦 = 0 Y(0) = 2 ; Y’(0)= 1 ; Y’’(0)= 4
9.- Resolver la ED: 4𝑦′′ + 4𝑦′ + 17𝑦 = 0 ; Y(0) = -1 ; Y’(0)= 2
.r= -1/2 + 2 i 
1.- Resolver la ED: 𝑦′′ + 9𝑦 = 0 2.- Resolver la ED: 𝑦
′′ + 9𝑦 = 0
3.- Resolver la ED: 
𝑦′′ − 6𝑦′ + 10𝑦 = 0
4.- Resolver la ED:
𝑦′′ − 10𝑦′ + 26𝑦 = 0
5.- Resolver la ED: 
𝑦′′ + 4𝑦′ + 6𝑦 = 0
6.- Resolver la ED:
𝑦′′ − 4𝑦′ + 7𝑦 = 0
7.- Resolver la ED: 
4𝑦′′ − 4𝑦′ + 26𝑦 = 0
8.- Resolver la ED:
4𝑦′′ + 4𝑦′ + 6𝑦 = 0
CONCLUSIONES:
1.- Las ecuaciones diferenciales de orden superior modelan problemas de 
sistemas masa resorte amortiguador.
2.- La solución general de las ecuaciones diferenciales lineales de orden 
superior y de coeficientes constantes esta formado por una combinación 
lineal de soluciones linealmente independientes 
3.- El método de la ecuación característica se aplica solo a ecuaciones 
diferenciales lineales de orden superior y de coeficientes constantes : … 
Ecuación diferencial lineal de primer orden