S6 s2- TDL derivada-integral

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CÁLCULO PARA LA TOMA 
DE DECISIONES
UNIDAD: 03
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA DERIVADA E INTEGRAL 
Y TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Semana 06 Sesión 02
TEMA: Transformada de Laplace de la derivada e 
integral y Transformada inversa de Laplace:
Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante reconoce y 
calcula la transformada de Laplace de la derivada e integral y 
será capaz de calcular la Transformada inversa de Laplace.
Logro de la Sesión
Contenido general
Transformada de Laplace de la derivada
Transformada de Laplace de la integral
Transformada Inversa de Laplace
Ejercicios resueltos y propuestos
Datos/Observaciones
UTILIDAD :
La transformada directa e inversa de Laplace se puede
usar En un sistema de control automático
Datos/Observaciones
Transformada de Laplace de la Derivada
Si : ℒ {𝑓(𝑡)} = F(s) , entonces:
ℒ 𝑓(𝑛) 𝑡 = 𝑠𝑛𝐹 𝑠 − 𝑠𝑛−1𝑓 0 − 𝑠𝑛−2𝑓 , 0 … .−𝑓(𝑛−1)
Es decir:
ℒ 𝑓′ 𝑡 = sF s − f 0
ℒ 𝑓′′ 𝑡 = 𝑠2𝐹 𝑠 −sf(0) - 𝑓′ 0
ℒ 𝑓′′′ 𝑡 = 𝑠3𝐹 𝑠 − 𝑠2f(0) -s 𝑓′ 0 - 𝑓′′ 0
Sea f(t) una función continua por tramos y de orden exponencial
Datos/Observaciones
EJEMPLO 1: CALCULE ℒ {𝑓(𝑡)} , SI:
𝑓′(𝑡)+ 3f(t) =13sen(2t) ; f(0) = 6
Aplicando TDL a cada termino, tenemos:
ℒ 𝑓′ 𝑡 + 3 ℒ (f(t)) = 13ℒ (𝑠𝑒𝑛(2𝑡))
sF(s) – f(0)+3𝐹 𝑠 = 13(
2
𝑠2+4
)
(s + 3)F(s)= 
26
𝑠2+4
+ 6 , Luego: (s +3)F(s) =
6𝑠2+50
𝑠2+4
Por lo tanto: ℒ {𝑓(𝑡)} = F(s)= 
6𝑠2+50
(𝑠2+4)(𝑠+3)
Datos/Observaciones
EJEMPLO 2: CALCULE ℒ {𝑓(𝑡)} , SI:
𝑓′′(𝑡)-3𝑓′(𝑡)-4f(t) = 𝑒2𝑡 ; f(0) = 𝑓′(0) = 0
Aplicando TDL a cada termino, tenemos:
ℒ( 𝑓′′(𝑡))-3 ℒ (𝑓′ 𝑡 )-4 ℒ (f(t)) = ℒ (𝑒2𝑡)
𝑠2𝐹 𝑠 − 𝑠𝑓 0 − 𝑓′ 0 − 3 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓 0 − 4𝐹 𝑠 =
1
𝑠 − 2
(𝑠2-3s-4)F(s)=
1
𝑠−2
, Luego: (s-4)(s +1)F(s) = 
1
𝑠−2
Por lo tanto: ℒ {𝑓(𝑡)} = F(s)= 
1
(𝑠−2)(𝑠−4)(𝑠+1)
Datos/Observaciones
Transformada de Laplace de la Integral
Si : ℒ {𝑓(𝑡)} = F(s) , entonces:ℒ 0׬
𝑡
𝑓 𝑢 𝑑𝑢 =
𝐹(𝑠)
𝑠
Sea f(t) una función continua por tramos y de orden exponencial
EJEMPLO 1 : Calcule : ℒ 0׬
𝑡
𝑒𝑢𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢
Como: ℒ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 =
1
𝑠2+1
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: ℒ 𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑡 = 
1
(𝑠−1)2+1
Luego: ℒ 0׬
𝑡
𝑒𝑢𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = 
1
(𝑠−1)2+1
𝑠
= 
1
𝑠((𝑠−1)2+1)
Datos/Observaciones
EJEMPLO 2 : Calcule : ℒ 0׬
𝑡
𝑒𝑢𝑢𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢
Como: ℒ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 =
𝑠
𝑠2+1
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: ℒ 𝑡𝑐𝑜𝑠 𝑡 = -
𝑑
𝑑𝑠
(
𝑠
𝑠2+1
)
= 
𝑠2−1
(𝑠2+1)2
, entonces : ℒ 𝑒𝑡𝑡𝑐𝑜𝑠 𝑡 = 
(𝑠−1)2−1
((𝑠−1)2+1)2
Luego: ℒ 0׬
𝑡
𝑒𝑢𝑢𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢 = 
(𝑠−1)2−1
((𝑠−1)2+1)2
𝑠
=
(𝑠−1)2−1
𝑠( 𝑠−1 2+1))2
Datos/Observaciones
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Sea la función f(t) tal que: ℒ {𝑓(𝑡)} = F(s) , entonces la transformada
Inversa de Laplace se define como:
ℒ−1 {𝐹(𝑠)} = f(t)
EJEMPLOS :
1)como : ℒ 1 =
1
𝑠
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶ ℒ−1 {
1
𝑠
} = 1 
2)como : ℒ 𝑒2𝑡 =
1
𝑠−2
,entonces : ℒ−1 {
1
𝑠−2
} = 𝑒2𝑡
3)como : ℒ 𝑠𝑒𝑛(3𝑡) =
1
𝑠2+9
,entonces : ℒ−1 {
1
𝑠2+9
} = 𝑠𝑒𝑛(3𝑡)
Datos/Observaciones
ALGUNAS TRANSFORMADA INVERSA 
DE LAPLACE
1) Si: ℒ 𝑡𝑛 =
𝑛!
𝑠𝑛+1
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶ ℒ−1 {
1
𝑠𝑛+1
} = 
1
𝑛!
(𝑡𝑛)
2) Si: ℒ 𝑒𝑎𝑡 =
1
𝑠−𝑎
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶ ℒ−1 {
1
𝑠−𝑎
} =𝑒𝑎𝑡
3) Si: ℒ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) =
𝑎
𝑠2+𝑎2
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶ ℒ−1 {
1
𝑠2+𝑎2
} =
1
𝑎
𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)
4) Si: ℒ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡) =
𝑠
𝑠2+𝑎2
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶ ℒ−1 {
𝑠
𝑠2+𝑎2
} =cos(𝑎𝑡)
5) Si: ℒ 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡) =
𝑎
𝑠2−𝑎2
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶ ℒ−1 {
1
𝑠2−𝑎2
} =
1
𝑎
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)
6) Si: ℒ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡) =
𝑠
𝑠2−𝑎2
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶ ℒ−1 {
𝑠
𝑠2−𝑎2
} =cosℎ(𝑎𝑡)
Datos/Observaciones
PROPIEDAD DE LINEALIDAD
Sean : ℒ−1 {𝐹(𝑠)} = f(t) y ℒ−1 {𝐺(𝑠)} = g(t) ,entonces:
1) ℒ−1 𝑘𝐹 𝑠 = kℒ−1 {𝐹(𝑠)} =kf(t) , k:constante real
2) ℒ−1 𝐹 𝑠 + 𝐺 𝑠 = ℒ−1 {𝐹(𝑠)} +ℒ−1 {𝐺(𝑠)} =f(t) +g(t)
EJEMPLO 1: Calcule: ℒ−1 {
3
𝑠
+
2
𝑠−4
−
𝑠
𝑠2+16
}
= 3ℒ−1 {
1
𝑠
} + 2ℒ−1
1
𝑠−4
− ℒ−1 {
𝑠
𝑠2+16
}
= 3(1)+2𝑒4𝑡 − cos(4𝑡)
Ejemplo 2 : Calcule :ℒ−1 {
5
𝑠2
+
3
𝑠+2
−
𝑠
𝑠2−3
}
Datos/Observaciones
EJEMPLO 3: Calcule: ℒ−1
𝑠−5
𝑠2+9
ℒ−1 {
𝑠−5
𝑠2+9
} =ℒ−1
𝑠
𝑠2+9
− 5ℒ−1
1
𝑠2+9
=
= cos(3t) -
5
3
𝑠𝑒𝑛(3𝑡)
EJEMPLO 4: Calcule: ℒ−1
𝑠2+𝑠+3
(𝑠2+4)(𝑠−1)
ℒ−1
𝑠2+𝑠+3
(𝑠2+4)(𝑠−1)
= ℒ−1
(𝑠2+4)+(𝑠−1)
(𝑠2+4)(𝑠−1)
=
ℒ−1
(𝑠2+4)
(𝑠2+4)(𝑠−1)
+ ℒ−1
(𝑠−1)
(𝑠2+4)(𝑠−1)
=
ℒ−1
1
(𝑠−1)
+ ℒ−1
1
(𝑠2+4)
= 𝑒𝑡 +
1
2
𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
Datos/Observaciones
5.- Calcular usando propiedades :
b) ℒ−1{
𝑠+1
𝑠2−2𝑠+5
}
a) ℒ−1{
3𝑠+1
(𝑠−4)6
} b) ℒ−1{ln(
2𝑠−8
𝑠2+9
)}
ℒ 𝑡 𝑓(𝑡) = −𝐹′(𝑠)
ℒ −1 𝐹(𝑠) =
−1
𝑡
ℒ −1{𝐹′ 𝑠 }
ℒ 𝑒𝑎𝑡𝑓(𝑡) = 𝐹(𝑠 − 𝑎) ;
ℒ−1 𝐹(𝑠 − 𝑎) = 𝑒𝑎𝑡ℒ−1{𝐹 𝑠 }
Datos/Observaciones
6.- Halle la Transformada inversa 
de la función : F 𝑠 =
8𝑠 𝑒−𝜋𝑠
(𝑠2+16)2
ℒ−1
8𝑠 𝑒−𝜋𝑠
(𝑠2+16)2
=[ℒ −1
8𝑠
𝑠2+16 2
]𝑡→𝑡−𝜋𝑢 𝑡 − 𝜋
Traslación en “t”: 
ℒ 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝑢(𝑡 − 𝑎) = 𝐹 𝑠 𝑒−𝑎𝑠
ℒ−1 𝐹 𝑠 𝑒−𝑎𝑠 = 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝑢(𝑡 − 𝑎)
solución :
= 𝑡𝑠𝑒𝑛 4𝑡 𝑡→𝑡−𝜋𝑢 𝑡 − 𝜋
= 𝑡 − 𝜋 𝑠𝑒𝑛 4 𝑡 − 𝜋 𝑢 𝑡 − 𝜋
1) Calcule : ℒ 0׬
𝑡
2𝑒𝑢𝑐𝑜𝑠2
𝑢
2
𝑑𝑢
Como: ℒ 2𝑐𝑜𝑠2(
𝑡
2
) = ℒ 1 + cos(𝑡) = 
1
𝑠
+
𝑠
𝑠2+1
Entonces: ℒ 2𝑒𝑢𝑐𝑜𝑠2
𝑢
2
= 
1
𝑠−1
+
𝑠−1
(𝑠−1)2+1
Luego: ℒ 0׬
𝑡
2𝑒𝑢𝑐𝑜𝑠2
𝑢
2
𝑑𝑢 = 
1
𝑠(𝑠−1)
+
𝑠−1
𝑠((𝑠−1)2+1)
EJERCICIOS RESUELTOS
2) Calcule : ℒ 𝑓(𝑡) , 𝑠𝑖:
𝑓′′(𝑡)-4𝑓′(𝑡) + 3f(t) = 𝑒3𝑡sen(2t) ; f(0) = 𝑓′(0) = 0
Aplicando TDL a cada termino, tenemos:
ℒ( 𝑓′′(𝑡))-4 ℒ (𝑓′ 𝑡 ) +3 ℒ (f(t)) = ℒ (𝑒3𝑡𝑠𝑒𝑛(2𝑡))
𝑠2𝐹 𝑠 − 𝑠𝑓 0 − 𝑓′ 0 − 4 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓 0 + 3𝐹 𝑠 =
2
(𝑠 − 3)2+4
(𝑠2-4s + 3)F(s)=
2
(𝑠−3)2+4
, Luego: (s-3)(s −1)F(s) =
2
(𝑠−3)2+4
Por lo tanto: ℒ {𝑓(𝑡)} = F(s)= 
1
(𝑠−3)(𝑠−1)((𝑠−3)2+4)
3) Calcule: ℒ−1
𝑠2+3𝑠+4
(𝑠2−5)(𝑠+3)
ℒ−1
𝑠2+3𝑠+4
(𝑠2−5)(𝑠+3)
= ℒ−1
(𝑠2−5)+3(𝑠+3)
(𝑠2−5)(𝑠+3)
=
ℒ−1
(𝑠2−5)
(𝑠2−5)(𝑠+3)
+ 3ℒ−1
(𝑠+3)
(𝑠2−5)(𝑠+3)
=
ℒ−1
1
(𝑠+3)
+ 3ℒ−1
1
(𝑠2−5)
= 𝑒−3𝑡 +
3
5
𝑠𝑒𝑛ℎ( 5𝑡)
4) Calcule: ℒ−1
𝑠2+7𝑠+12
(𝑠2−16)(𝑠+3)
ℒ−1
𝑠2+7𝑠+12
(𝑠2−16)(𝑠+3)
= ℒ−1
(𝑠+3)(𝑠+4)
(𝑠2−16)(𝑠+3)
=
ℒ−1
(𝑠+4)(𝑠+3)
(𝑠−4)(𝑠+4)(𝑠+3)
= ℒ−1
1
(𝑠−4)
=𝑒4𝑡
5) Calcule: ℒ−1
𝑠2+2𝑠
(𝑠2−4)(𝑠−3)
ℒ−1
𝑠2+2𝑠
(𝑠2−4)(𝑠−3)
= ℒ−1
𝑠(𝑠+2)
(𝑠+2)(𝑠−2)(𝑠−3)
=
ℒ−1
𝑠
(𝑠−2)(𝑠−3)
= ℒ−1
3
𝑠−3
−
2
𝑠−2
=
3ℒ−1
1
𝑠−3
− 2ℒ−1
1
𝑠−2
=3𝑒3𝑡 − 2𝑒2𝑡
Datos/Observaciones
EJERCICIO RETO
Calcule la transformada inversa de Laplace para la 
función :
F(s) = 
𝑠2−5𝑠+7
𝑠3−25𝑠
.
EJERCICIOS PROPUESTOS
.r= -1/2 + 2 i 
1) Calcular :ℒ {𝑓(𝑡)} , SI:𝑓′′(𝑡)-5𝑓′(𝑡)-6f(t) = 𝑒3𝑡 ; f(0) = 𝑓′(0) = 0
2) Calcular: ℒ 0׬
𝑡
𝑒𝑢𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢
3) Calcular: ℒ−1 {
5
𝑠3
+
3
𝑠−6
−
𝑠
𝑠2−5
}
4) Calcular: ℒ−1
𝑠2+5𝑠+6
(𝑠2−9)(𝑠+2)
5) Calcule :ℒ−1
𝑠2−2𝑠+1
(𝑠2−9)(𝑠−1)
6)ℒ−1{arctan(
𝑠
2
)}
CONCLUSIONES:
1.- La transformada de Laplace de una función derivable n veces se calcula
mediante: …………………..
2.- La transformada de Laplace de una función integrable se calcula
mediante a:……… …………
3.- La transformada inversa de Laplace es una transformación lineal debido 
a …………………...
4.-La transformada inversa de Laplace es:……………………..
Transformada de Laplace