S6 s1-Propiedades de TDL

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CÁLCULO PARA LA TOMA 
DE DECISIONES
UNIDAD: 03
Propiedades de La transformada de Laplace
Semana 06 Sesión 01
TEMA: Propiedades de La transformada de Laplace:
Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante reconoce e 
interpreta las propiedades de la Transformada de Laplace y será 
capaz de aplicarla a ejercicios.
Logro de la Sesión
Contenido general
Primera propiedad de traslación
Multiplicación por t
Transformada de Laplace de la función escalón unitario
Ejercicios resueltos y propuestos
Segunda propiedad de traslación
Datos/Observaciones
UTILIDAD:
Datos/Observaciones
Datos/Observaciones
Primera propiedad de Traslación
Si : ℒ {𝑓(𝑡)} = F(s) , entonces: ℒ 𝑒𝑎𝑡𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠 − 𝑎)
Ejemplo 1 : Calcule : ℒ 𝑒2𝑡𝑠𝑒𝑛 3𝑡
Como: ℒ 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 =
3
𝑠2+9
=F(s), entonces: ℒ 𝑒2𝑡𝑠𝑒𝑛 3𝑡 = 𝐹 𝑠 − 2
Luego:ℒ 𝑒2𝑡𝑠𝑒𝑛 3𝑡 =
3
(𝑠−2)2+9
Ejemplo 2 : Calcule : ℒ 𝑒−4𝑡𝑡3
Como: ℒ 𝑡3 =
3!
𝑠4
=
6
𝑠4
=F(s), entonces: ℒ 𝑒−4𝑡𝑡3 = 𝐹 𝑠 + 4
Luego:ℒ 𝑒−4𝑡𝑡3 =
6
(𝑠+4)4
Datos/Observaciones
Ejemplo 3 : Calcule : ℒ 𝑒−2𝑡𝑠𝑒𝑛ℎ 4𝑡
Ejemplo 4 : Calcule : ℒ 𝑒5𝑡6
Datos/Observaciones
Datos/Observaciones
Propiedad de Multiplicación por t
Si : ℒ {𝑓(𝑡)} = F(s) , entonces: ℒ 𝑡𝑓 𝑡 = −𝐹,(𝑠)
Ejemplo 1 : Calcule : ℒ 𝑡𝑐𝑜𝑠 2𝑡
Como: ℒ 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 =
𝑠
𝑠2+4
=F(s), entonces: ℒ 𝑡𝑐𝑜𝑠 2𝑡 = −
𝑑
𝑑𝑠
(
𝑠
𝑠2+4
)
Luego:ℒ 𝑡𝑐𝑜𝑠 2𝑡 = −
1 𝑠2+4 −𝑠 2𝑠
(𝑠2+4)2
=
𝑠2−4
(𝑠2+4)2
Ejemplo 2 : Calcule : ℒ 𝑡𝑠𝑒𝑛ℎ 3𝑡
Como: ℒ 𝑠𝑒𝑛ℎ 3𝑡 =
3
𝑠2−9
=F(s), entonces: ℒ 𝑡𝑠𝑒𝑛ℎ 3𝑡 = −
𝑑
𝑑𝑠
(
3
𝑠2−9
)
Luego:ℒ 𝑡𝑠𝑒𝑛ℎ 3𝑡 = −
0 𝑠2−9 −3 2𝑠
(𝑠2−9)2
=
6𝑠
(𝑠2−9)2
Datos/Observaciones
Ejemplo 3 : Calcule : ℒ 𝑡𝑐𝑜𝑠ℎ 3𝑡
Ejemplo 4 : Calcule : ℒ 𝑡𝑒−2𝑡
Datos/Observaciones
En General :
Ejemplo : Calcule : ℒ 𝑡2𝑐𝑜𝑠ℎ 2𝑡
Como: ℒ 𝑐𝑜𝑠ℎ 2𝑡 =
𝑠
𝑠2−4
, entonces :
𝑡2𝑐𝑜𝑠ℎ 2𝑡 = (−1)2
𝑑2
𝑑𝑡2
(
𝑠
𝑠2−4
) = 
𝑑
𝑑𝑡
−𝑠2−4
(𝑠2−4)2
=
2𝑠(𝑠2+12)
(𝑠2−4)3
Si : ℒ {𝑓(𝑡)} = F(s) , entonces: ℒ 𝑡𝑛𝑓 𝑡 = (−1)𝑛𝐹(𝑛) (𝑠)
Datos/Observaciones
Transformada de Laplace de la 
función escalón unitario
Función escalón unitario: La función escalón unitario se 
denota y define como :
f(t) = u(t-a) =𝑢𝑎(𝑡) =ቊ
1 , 𝑡 ≥ 𝑎
0 , 𝑡 < 𝑎
Transformada de Laplace:
Datos/Observaciones
Ejemplo: Exprese la función
𝑓 𝑡 = ቐ
4 0 ≤ 𝑡 < 2
7 2 ≤ 𝑡 < 3
12 3 ≤ 𝑡
Como combinación de funciones escalón unitario y halle su T.L..
Datos/Observaciones
Ejemplo 1:Calcular : 𝓛 {𝒖 𝒕 − 𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝒕 − 𝟐)}
Como : ℒ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 =
𝑠
𝑠2+1
,
entonces tenemos :ℒ {𝑢 𝑡 − 2 𝑐𝑜𝑠(𝑡 − 2)} =𝑒−2𝑠(
𝑠
𝑠2+1
)
Si : ℒ {𝑓(𝑡)} = F(s) , entonces :ℒ {𝑢(𝑡 − 𝑎) 𝑓(𝑡 − 𝑎)} =𝑒−𝑎𝑠F(s)
Segunda Propiedad de Traslación:
Ը 𝑔(𝑡)𝑢 𝑡 − 𝑎 = 𝑒−𝑎𝑠Ը{𝑔(𝑡 + 𝑎)}
Datos/Observaciones
Ejemplo 2:Calcular : 𝓛 {𝒖 𝒕 − 𝟏 (𝒕 − 𝟏)𝟑)}
Como : ℒ (𝑡)3 =
3!
𝑠4
=
6
𝑠4
entonces tenemos :ℒ {𝑢 𝑡 − 1 (𝒕 − 𝟏)𝟑} =𝑒−𝑠(
6
𝑠4
)
Ejemplo 3:Calcular : 𝓛 {𝒖 𝒕 − 𝝅 𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒕 − 𝝅)}
Como : ℒ 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑡) = 1
𝑠2−1
entonces :ℒ {𝑢 𝑡 − 𝜋 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑡 − 𝜋)} =𝑒−𝜋𝑠(
1
𝑠2−1
)
Datos/Observaciones
Ejemplo 4:Calcular : 𝓛 {𝒖 𝒕 − 𝟑 𝒕𝟐}
Acomodando :
ℒ {𝑢 𝑡 − 3 𝑡2} =ℒ 𝑢(𝑡 − 3)( 𝑡 − 3 2 + 6 𝑡 − 3 + 9 =
𝓛 𝒖 𝒕 − 𝟑 𝒕𝟐 +𝟔𝓛 𝒖 𝒕 − 𝟑 𝒕 − 𝟑 +9 𝓛 {𝒖 𝒕 − 𝟑 } =
= 𝑒−3𝑠(
2
𝑠3
)+6𝑒−3𝑠
1
𝑠2
+ 9𝑒−3𝑠(
1
𝑠
)
EJERCICIOS RESUELTOS:
1.- Calcule : ℒ 𝑒4𝑡𝑡𝑠𝑒𝑛 2𝑡
Como: ℒ 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 =
2
𝑠2+4
= F(s), entonces: 
ℒ 𝑡𝑠𝑒𝑛 2𝑡 = −
𝑑
𝑑𝑠
(
2
𝑠2+4
) =−
0 𝑠2+4 −2 2𝑠
(𝑠2+4)2
=
4𝑠
(𝑠2+4)2
Luego:
ℒ 𝑒4𝑡𝑡𝑠𝑒𝑛 2𝑡 =
4(𝑠 − 4)
((𝑠 − 4)2+4)2
2.- Calcule : ℒ 𝑒−3𝑡𝑡𝑠𝑒𝑛ℎ 5𝑡
Como: ℒ 𝑠𝑒𝑛ℎ 5𝑡 =
5
𝑠2−25
= F(s), entonces: 
ℒ 𝑡𝑠𝑒𝑛ℎ 5𝑡 = −
𝑑
𝑑𝑠
(
5
𝑠2−25
) =−
0 𝑠2−25 −5 2𝑠
(𝑠2−25)2
=
10𝑠
(𝑠2−25)2
Luego:
ℒ 𝑒−3𝑡𝑡𝑠𝑒𝑛ℎ 5𝑡 =
10(𝑠 + 3)
((𝑠 + 3)2−25)2
3.- Calcule : ℒ 𝑒−2𝑡𝑢(𝑡 − 1)( 𝑡 − 1 4)
Como: ℒ 𝑡4 =
4!
𝑠5
= 
24
𝑠5
, entonces: 
ℒ 𝑢(𝑡 − 1)( 𝑡 − 1 4) = 𝑒−𝑠(
24
𝑠5
)=F(s)
Luego:
ℒ 𝑒−2𝑡𝑢(𝑡 − 1)( 𝑡 − 1 4) =F(s+1)=𝑒−(𝑠+2)(
24
(𝑠+2)5
)
4.- Calcule : ℒ 𝑡𝑢(𝑡 − 𝝅)(𝑠𝑒𝑛(𝑡 − 𝝅)
Como: ℒ 𝑠𝑒𝑛(𝑡) =
1
𝑠2+1
, entonces: 
ℒ 𝑢(𝑡 − 𝝅)(𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝝅 ) = 𝑒−𝝅𝑠(
1
𝑠2+1
)
Luego:
ℒ 𝑡𝑢(𝑡 − 𝝅)(𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝝅 ) = −
𝑑
𝑑𝑠
(𝑒−𝝅𝑠(
1
𝑠2+1
))
= 𝑒−𝝅𝑠((
𝝅
𝑠2+1
)+
2𝑠
(𝑠2+1)2
)
EJERCICIOS PROPUESTOS
Calcular la transformada de Laplace delas siguientes funciones:
1.- f(t) = 2𝑒3𝑡𝑠𝑒𝑛2 3𝑡
2.- f(t) = 4𝑒3𝑡𝑡𝑐𝑜𝑠 5𝑡
3.- f(t) = 5𝑒3𝑡𝑡𝑠𝑒𝑛ℎ 4𝑡
4.- f(t) = 𝑒−5𝑡𝑢(𝑡 − 3)( 𝑡 − 3 5)
5.- f(t) = t𝑢 𝑡 −
3𝜋
2
𝑠𝑒𝑛(𝑡 −
3𝜋
2
)
6.- 𝑓 𝑡 = ቐ
15 0 ≤ 𝑡 < 2
8 2 ≤ 𝑡 < 3
2 3 ≤ 𝑡
Datos/Observaciones
EJERCICIO RETO
Determine la transformada de Laplace para la función :
f(t) = t𝑒3𝑡𝑢(𝑡 − 𝜋)𝑠𝑒𝑛2(𝑡)
CONCLUSIONES:
1.- La transformada de Laplace de una función f(t) multiplicada por 𝑒𝑎𝑡
es : ………….
2.- La transformada de Laplace de una función f(t) multiplicad por t
es … …………
3.- La transformada de Laplace de la función u(t-a) multiplicada por la
función f(t-a) es: ……………
Ecuación diferencial lineal de primer orden