MATE CLAVE DE CORRECCION TEMA 2 FINAL 18-02-2020

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 Cuatrimestre 2019 – Clave de corrección examen final - Tema 2 – 18/02/2020 1 
Matemática 
Clave de corrección – Tema 2 
Examen final 18/02/2020 
 
 
Sabemos que ln(𝑡) > 0 sí y solo sí 𝑡 > 1 . 
Entonces, 
𝑙𝑛(1 − 2𝑥) > 0 ↔ 1 − 2𝑥 > 1 ↔ −2𝑥 > 0 ↔ 𝑥 < 0 ↔ 𝑥 ∈ (−∞, ; 0) 
 𝐴 = (−∞; 0) 
 
 
 
Recordamos: la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función cuando 
𝑥 = 0 es 
𝑦 = 𝑓′(0) ∙ (𝑥 − 0) + 𝑓(0) 
Aplicando la regla de la cadena, la derivada de la función es 
𝑓′(𝑥) = 2 ∙ (3 + 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)) ∙ (𝑐𝑜𝑠(2𝑥)) ∙ 2 
y 
𝑓′(0) = 2 ∙ (3 + 𝑠𝑒𝑛(0)) ∙ (𝑐𝑜𝑠(0)) ∙ 2 = 12 
 
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑙𝑛(1 − 2𝑥) > 0} 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Expresar como intervalo o unión de intervalos el siguiente conjunto 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de la función 
 𝑓(𝑥) = (3 + 𝑠𝑒𝑛(2𝑥))
2
 en 𝑥 = 0 
 
 
 
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Por otro lado, 
𝑓(0) = (3 + 𝑠𝑒𝑛(0))
2
= 9 
 
La ecuación de la recta tangente es 
𝑦 = 12 ∙ (𝑥 − 0) + 9 = 12𝑥 + 9 
 
 
 
 
Recordamos que la recta 𝑥 = 𝑎 es una asíntota vertical si lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = ∞. Los 
posibles valores de 𝑎 son aquellos en los cuales la función no está definida. En ese 
caso la función no está definida cuando 𝑥 = 0. 
Entonces, 
lim
𝑥→0
3 − 5𝑥
4𝑥
= ∞ 
ya que cuando 𝑥 → 0 el numerador tiende a 3 y el denominador tiende a cero. 
En la recta de ecuación 𝑥 = 0 la función tiene una asíntota vertical. 
La recta 𝑦 = 𝑏 es una asíntota horizontal si lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) = 𝑏. 
Entonces, 
lim
𝑥→∞
3 − 5𝑥
4𝑥
= lim
𝑥→∞
 
3
4𝑥
− 
5𝑥
4𝑥
= lim
𝑥→∞
 
3
4𝑥
− 
5
4
= −
5
4
 
ya que cuando 𝑥 → ∞ se tiene que 
3
4𝑥
 tiende a cero. 
En la recta de ecuación 𝑦 = −
5
4
 la función tiene una asíntota horizontal. 
 
 
 
𝑓(𝑥) =
3 − 5𝑥
4𝑥
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar las ecuaciones, en caso de existir, de las asíntotas verticales y horizontales de la 
función 
 
 
 
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Utilizamos el método de sustitución 
𝑢 = 1 + 𝑒𝑥 → 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 
Entonces 
∫ 𝑒𝑥(1 + 𝑒𝑥)5 𝑑𝑥 = ∫(1 + 𝑒𝑥)5 ∙ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢5 𝑑𝑢 =
1
6
𝑢6 + 𝐶 =
1
6
(1 + 𝑒𝑥)6 + 𝐶 
La familia de primitivas es 𝐹(𝑥) =
1
6
(1 + 𝑒𝑥)6 + 𝐶 
 
 
 
 
 
∫ 𝑒𝑥(1 + 𝑒𝑥)5 𝑑𝑥 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Hallar la familia de primitivas de