MATE_2C_2019_Clave_de_correción_Primer_turno_Tema_2_01_10_2019

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Clave de corrección – Primer turno 01/10/2019 - Tema 1 1 
Matemática 
Clave de corrección primer parcial 
Primer turno – Tema 2 - 01/10/2019 
 
 
 
Solución 
𝑔(𝑥) ≤ 2 ↔ | − 5 − 𝑥| ≤ 2 
Por definición |𝑡| ≤ 𝑎 ↔ −𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑎. 
Entonces 
| − 5 − 𝑥| ≤ 2 
−2 ≤ −5 − 𝑥 ≤ 2 
sumamos 5 a cada uno de los términos de la inecuación 
3 ≤ −𝑥 ≤ 7 
dividimos por −1, con lo cual cambia el sentido de las desigualdades 
3
−1
≥
−𝑥
−1
≥
7
−1
 
−3 ≥ 𝑥 ≥ −7 
Los valores de 𝑥 ∈ ℝ para los cuales 𝑔(𝑥) ≤ 2 son los valores que pertenecen al 
intervalo [−7; −3] 
 
 
 
 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Hallar los valores de 𝑥 ∈ ℝ para los cuales 𝑔(𝑥) ≤ 2 siendo 𝑔(𝑥) = | − 5 − 𝑥| 
 
 
 
Clave de corrección – Primer turno 01/10/2019 - Tema 1 2 
 
 
Solución 
La función cuadrática tiene como raíces a 𝑥 = −2 y 𝑥 = 5 (la gráfica de la 
función cruza al eje de las abscisas cuando la variable toma esos valores). 
Podemos expresar la función como 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − (−2))(𝑥 − 5) = 𝑎(𝑥 + 2)(𝑥 − 5) 
Nos falta hallar el valor de la constante "𝑎" . Para poder encontrar el valor de 
la constante necesitamos conocer un punto por el cual pasa la gráfica de la 
función cuadrática. 
El conjunto imagen es el intervalo[−1; +∞). Esto nos está diciendo que el 
vértice de la parábola (gráfica de la función) se encuentra en el punto 
𝑉 = (𝑥𝑣; −1). 
La abscisa del vértice la hallamos a partir de las raíces: 
𝑥𝑣 =
𝑥1 + 𝑥2
2
 → 𝑥𝑣 =
−2 + 5
2
=
3
2
 
El vértice es el punto𝑉 = (
3
2
; −1). 
Evaluando en la función 
𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥𝑣) 
−1 = 𝑎 (
3
2
+ 2) (
3
2
− 5) 
−1 = 𝑎 ∙
7
2
∙ (−
7
2
) → 𝑎 =
4
49
 
La función pedida es 
𝑓(𝑥) =
4
49
(𝑥 + 2)(𝑥 − 5) 
Otra manera de expresar la función 𝑓 es a partir de las coordenadas del 
vértice de la parábola: 
𝑓(𝑥) =
4
49
(𝑥 −
3
2
)
2
− 1 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Hallar la expresión de la función cuadrática que cruza al eje de las 
abscisas en 𝑥 = −2 y en 𝑥 = 5 y su imagen es el conjunto [−1; +∞) 
 
 
 
Clave de corrección – Primer turno 01/10/2019 - Tema 2 3 
 
 
Solución 
Sacando factor común 𝑥2 tenemos que 
𝑄(𝑥) = (𝑥 − 3)(𝑥3 + 𝑥2) = 𝑥2(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) 
Este polinomio se anula en 𝑥 = 0, 𝑥 = 3 y 𝑥 = −1 
Analizamos el signo del polinomio en los intervalos definidos por las raíces: 
(−∞; −1) , (−1; 0) , (0; 3), (3; +∞) 
- en el intervalo (−∞; −1) el signo de 𝑄 es positivo ya que 𝑄(−3) = 108 > 0. 
- en el intervalo (−1; 0) el signo de 𝑄 es negativo ya que 𝑄 (−
1
2
) = −
7
16
< 0. 
- en el intervalo (0; 3) el signo de 𝑄 es negativo ya que 𝑄(1) = −4 < 0. 
- en el intervalo (3; +∞) el signo de 𝑄 es positivo ya que 𝑄(4) = 80 > 0. 
 
El conjunto de positividad del polinomio es: 𝐶+ = (−∞; −1) ∪ (3; +∞) 
 
 
 
 
Solución 
Primero debemos hallar la expresión de la función 𝑓 = ℎ ∘ 𝑔: 
𝑓(𝑥) = ℎ ∘ 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑔(𝑥)) = (
2𝑥 + 1
3𝑥 + 1
+ 3) − 2 =
2𝑥 + 1
3𝑥 + 1
+ 1 =
2𝑥 + 1 + (3𝑥 + 1)
3𝑥 + 1
=
5𝑥 + 2
3𝑥 + 1
 
𝑓(𝑥) =
5𝑥 + 2
3𝑥 + 1
 
Ejercicio 4(3 puntos) 
Dadas las funciones 
𝑔(𝑥) =
2𝑥 + 1
3𝑥 + 1
+ 3 ℎ(𝑥) = 𝑥 − 2 
hallar el dominio y conjunto de ceros de la función 𝑓 = ℎ ∘ 𝑔 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar el conjunto de positividad del polinomio 𝑄(𝑥) = (𝑥 − 3)(𝑥3 + 𝑥2) 
 
 
 
Clave de corrección – Primer turno 01/10/2019 - Tema 2 4 
La función 𝑓 está bien definida si el denominador no se anula. Para hallar el 
dominio pedimos que 3𝑥 + 1 ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ −
1
3
. 
Luego, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {−
1
3
}. 
Para hallar el conjunto de ceros planteamos 
𝑓(𝑥) = 0 ↔ 
5𝑥 + 2
3𝑥 + 1
= 0 ↔ 5𝑥 + 2 = 0 ↔ 𝑥 = −
2
5
 
Luego, 𝐶0 = {−
2
5
}.