MATEMATICA-6

Vista previa del material en texto

Fundación Educacional Santa Bernardita 
 Matemática 
 Primer año medio A-B 
 Prof. Consuelo Gutierrez 
 Prof. Jorge Illanes 
UNIDAD 1: NÚMEROS 
GUÍA DE APRENDIZAJE N°1 
“POTENCIAS” 
Objetivos: 
✔ Comprender y aplicar propiedades de las potencias. 
✔ Relacionar las potencias con el crecimiento y decrecimiento de cantidades. 
Instrucciones: El desarrollo de esta guía de aprendizaje debe ser subida a classroom mediante 
fotografías, PDF o formato Word, ENTREGA EL MARTES 13 DE MARZO. Contactos para dudas: 
1° medio A enviar a: jillanes@cosanber.cl 
1° medio B enviar a: cgutierrez@cosanber.cl 
Potencias de base racional y exponente entero 
La potencia 𝑎𝑛 es una multiplicación iterada de la base 𝑎 multiplicada 𝑛-veces por sí 
misma. Al valor 𝑛 se le llama exponente y es un número entero. 
 
Potencias con base negativa 
Cuando un exponente actúa sobre un número, también lo hace sobre su signo. 
Por lo tanto, deberás aplicar la regla de los signos para la multiplicación. 
Ejemplos: 
(−4)2 = (−4) ⋅ (−4) = 16 
(−4)3 = (−4) ⋅ (−4) ⋅ (−4) = −64 
(−4)4 = (−4) ⋅ (−4) ⋅ (−4) ⋅ (−4) = 256 
En general, si una potencia de base negativa tiene exponente par, el resultado de 
la potencia será positivo. 
Si una potencia de base negativa tiene exponente impar, el resultado de la potencia 
será negativo. 
IMPORTANTE: El paréntesis en las potencias anteriores indica que el exponente 
también se aplica sobre el signo (sobre el número negativo), pero debes tener 
cuidado en casos como −34, ya que el exponente solo está actuando sobre el 3, y 
no sobre el (−3), entonces el desarrollo sería: −34 = −3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = −81 (el 
resultado es negativo). 
Propiedades de las potencias 
Propiedades 0 
𝑎1 = 𝑎 
“Todo número elevado a 1 es el mismo 
número” 
𝑎0 = 1; excepto 00 
que no está definido. 
“Todo número elevado a 0, a excepción del 0, 
es 1” 
Propiedad 1: Multiplicación de potencias de igual base 
Sean 𝑎𝑛 y 𝑎𝑚 dos potencias de igual base, entonces: 
𝑎𝑛 ⋅ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 
“En la multiplicación de potencias de igual base, 
conservamos la base y sumamos los exponentes” 
Ejemplos: 
362 ⋅ 367 = 369 (−6)3 ⋅ (−6)4 = (−6)7 
(
7
5
)2 ⋅ (
7
5
)−5 = (
7
5
)−3 
0, 72 ⋅ 0, 710 = 0, 712 
 
Propiedad 2: Multiplicación de potencias de igual exponente 
Sean 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 dos potencias de igual exponente, entonces: 
𝑎𝑛 ⋅ 𝑏𝑛 = (𝑎 ⋅ 𝑏)𝑛 “En la multiplicación de potencias de igual exponente, 
se multiplican las bases y se conserva el exponente” 
Ejemplos: 
23 ⋅ 53 = (2 ⋅ 5)3 = 103 (−5)7 ⋅ (−3)7 = (−5 ⋅ −3)7 = 157 
(
1
2
)5 ⋅ (
3
4
)5 = (
3
8
)5 (−
2
5
)−3 ⋅ (
1
4
)−3 = (−
2
20
)−3 
Propiedad 3: División de potencias de igual base 
Sean 𝑎𝑛 y 𝑎𝑚 dos potencias de igual base, con 𝑎 ≠ 0, entonces: 
𝑎𝑛
𝑎𝑚 
= 𝑎𝑛−𝑚 
“En la división de potencias de igual base, se conserva 
la base y se restan los exponentes” 
 
Ejemplos: 
26
22
= 24 
(−4)5
(−4)1
= (−4)4 
−310
36
= −34 
73
78
= 7−5 
 
Propiedad 4: División de potencias de igual exponente 
Sean 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 dos potencias de igual exponente, con 𝑏 ≠ 0, entonces 
 
𝑎𝑛
𝑏
𝑛 = (
𝑎
𝑏
)
𝑛
 
“En la división de potencias de igual exponente, 
se dividen las bases y se conserva el exponente” 
 
Ejemplos: 
39
49
= (
3
4
)
9
 
(−7)
5
(4)
5
= (
−7
4
)
5
 
1−5
3−5
= (
1
5
)
−5
 
−17−7
−5
−7
= (
17
5
)
−7
 
 
Propiedad 5 
Sea 𝑎𝑛 una potencia y 𝑚un número entero. Entonces 
(𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛 𝑚 
“En la potencia de una potencia, se mantiene la base y se multiplican los 
exponentes” 
Ejemplos 
(−53)6 = (−5)18 (𝜋2)5 = 𝜋10 
((
3
4
)6)2 = (
3
4
)12 (3
−4)2 = 3−8 
 
Cambio de Base 
La propiedad anterior también podemos aplicarla en forma inversa, para transformar 
una potencia, en una potencia de una potencia. 
310 = (32)5 
Gracias a la jerarquía de las operaciones aritméticas (PAPOMUDAS), podemos 
resolver el paréntesis primero y obtener 
(32)5 = 95 
Por lo tanto 
310 = 95 
Exponente negativo 
 
Se define el inverso multiplicativo o recíproco de un número 𝑎 ≠ 0como 
1
𝑎
= 𝑎−1 . 
Ejemplos: 
 
5−1 =
1
5
 (−
2
3
)−1 = −
3
2
 (
7
6
)−3 = (
6
7
)3 
0−1 no tiene 
resultado 
 
Actividades 
1- Aplique la definición de potencias para calcular: 
 
2- Aplique la definición del exponente negativo y otras propiedades para calcular: 
 
3- Calcule el valor de los siguientes ejercicios 
 
 
 
4- Resuelva aplicando la propiedad adecuada y exprese el resultado en forma de 
potencia 
 
5- Calcule el valor de las siguientes operaciones 
 
6- Aplique la propiedad adecuada 
 
 
 
Crecimiento y decrecimiento exponencial 
 
Una población de bacterias duplica su tamaño cada 6 horas. Si inicialmente hay 
1.000 bacterias, ¿Cuántas habrá en 24 horas? 
 
Horas 0 6 12 18 24 
Bacterias 1.000 
 
Para obtener las bacterias en 6 horas, multiplicamos 1.000 por 2. 
Para obtener las bacterias en 12 horas, multiplicamos 1.000 por 2 y por 2. Porque 
se duplica la cantidad de bacterias en dos ocasiones, lo que se representa como 
1.000 ⋅ 2 ⋅ 2 = 1.000 ⋅ 22 
¿Cómo queda la expresión con potencias para lo sucedido en 18 horas? 
___________________ 
¿Y para 24 horas? 
___________________ 
 
Este tipo de comportamiento puede ser modelado con potencias, donde es el 
exponente el valor que va cambiando y los valores van aumentando muy rápido. 
 
Llamaremos crecimiento exponencial a una situación que pueda ser modelada 
con una potencia con base mayor que 1 y su exponente sea una variable 
independiente (vaya cambiando). 
 
Por el contrario, será decrecimiento exponencial si la base es mayor que 0 y 
menor que 1 y su exponente es una variable independiente. 
 
Actividad: 
1- En una hoja de cálculo de Google Sheets o Excel escribe la siguiente tabla 
 
Tiempo 
(horas) 
Microorganismos
(cantidad) 
Potencia 
0 1 30 
1 3 31 
2 9 32 
3 81 33 
4 243 34 
5 729 35 
 
 
 
 
 
Luego, inserta un gráfico seleccionado las columnas de tiempo y microorganismos. 
Deberías tener un gráfico parecido a este 
 
 
 
 
 
 
 
Ayuda: Ingresa en http://sheets.google.com y crea una nueva “hoja de cálculo”. 
Copia los datos de la tabla de Tiempo y microorganismos. 
Selecciona las columnas “Tiempo” y “Microorganismos” e inserta un gráfico, 
como se muestra en la imagen 
 
 
 
a) ¿Qué forma tiene el gráfico? ¿Se parece a una línea recta? Descríbelo 
__________________________________________________________________ 
__________________________________________________________________ 
b) Si tuvieras que escribir la potencia como una función. ¿Cuál sería la variable, 
la base o el exponente? 
__________________________________________________________________ 
c) Recuerda que generalmente para las variables ocupamos letras como 𝑥, 
¿cómo escribirías la potencia considerando este valor variable? Encierra tu 
respuesta y explica 
A) 3𝑥 B) 𝑥3 
__________________________________________________________________ 
__________________________________________________________________ 
http://sheets.google.com/
d) ¿Qué ocurriría con la población de bacterias si al comienzo hubieran 10 en 
vez de 1? 
 
A) Aumenta B) Disminuye C) No cambia 
 
e) Considerando la pregunta d), ¿cuál de las siguientes expresiones representa 
la nueva población de estas bacterias? 
 
A) 10𝑥 B) 10 ⋅ 3𝑥 C) 𝑥10 
 
 
2- Decrecimiento exponencial 
El valor de una bicicleta de montaña 𝑦 se puede aproximar mediante el modelo 𝑦 
=250 · (0,75)𝑡, donde 𝑡 es el número de años desde que la bicicleta era nueva y la 
función entrega el valor en miles de pesos. 
a) Completa la siguiente tabla. 
Número de años Valor de la bicicleta en “y” 
miles de pesos 
0 250 · (0,75)0= 250 
1 
2 
3 
4 
5 
b) ¿Qué pasa con la bicicleta al pasar los años?¿Cuánto valdrá a los 10 años? 
 
Nombra dos situaciones donde hay decrecimientoexponencial (Que no sea 
monetario) 
1era Situación: 
2da Situación: 
"La capacidad no está en la flecha sino en el indio” 
LIBROS: 
Desarrolla las siguientes páginas para reforzar lo 
aprendido. Recuerda que puedes verificar tus resultados 
con el solucionario que parece en las últimas páginas. 
Texto del estudiante: 25 - 39 
Cuaderno de actividades: 18 - 27 
Si presentas alguna duda sobre las páginas del texto 
contacta con tu profesora o profesor de matemática. 
 ¡Éxito!