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M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-1
Tema 9: Vibraciones de sistemas 
de 1 grado de libertad (1gdl)
Máquinas y Mecanismos
1er Cuatrimestre – 3er Curso
6 ects - Obligatoria
Grado en Ingeniería Mecánica
Marta Herráez Sánchez herraez@eii.uva.es
Área Ingeniería Mecánica – CMeIM - EII Valladolid
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-2
Bibliografía
Balachandran, B. Vibraciones. Thomson (2006). ISBN 
970-686-495-4. I/Bc 534.-BALvib.
Inman, D.J. Engineering vibration. Pearson Prentice-Hall, 
3ª ed. (2009). ISBN 0131919415. I/Bc 534.-INMeng
Thompson, W.T. Theory of Vibration with applications. 4ª
ed. Chapman & Hall (1993). ISBN 0139153233. I/Bc
531.1-THOthe.
Problemas resueltos
Kelly, S. G. Schaum's outline of theory and problems of 
mechanical vibrations. MacGraw-Hill, (1996). ISBN 0-07-
034041-2. I/Bc 534.-KELsch.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-3
Índice general
Introducción a la medida de Vibraciones.
 Introducción: ¿Qué es la vibración?.
 Tipos de vibración: libre y forzada.
 Vibración – fuerza.
 Porqué medir vibración.
 Tipos de señales: deterministas, aleatorias…
 Para estudiar las vibraciones: Crear un modelo.
Vibración libre 1gdl.
Vibración forzada 1 gdl: excitación armónica.
Casos Particulares: Aislamiento y Transmisibilidad.
Vibración forzada 1 gdl: excitación arbitraria.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-4
Introducción: ¿Qué es la vibración?
Desde un punto de vista técnico: movimiento oscilatorio 
alrededor de la posición de equilibrio. Movimiento relativo.
Comportamiento dinámico: NO sólido rígido. Deformaciones 
dinámicas a partir de la posición de equilibrio.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-5
Introducción:
 En la mayoría de las ocasiones las Vibraciones son indeseables: 
 causan problemas de ruido, daños o fatiga en las piezas hasta 
que rompen.
 El desequilibrio en mecanismo rotantes provoca vibraciones. Ej: 
lavadoras, ventiladores, tornos, prensas, bombas,…
 En edificios y estructuras, el paso de vehículos (aviones,…), el 
viento, terremotos,…, causan vibraciones.
 En vehículos, las vibraciones de elementos pueden causar ruido 
de elementos internos.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-6
 Vibraciones deseables: en algunas aplicaciones, las vibraciones se 
generan intencionadamente, como en las taladradoras, los baños de 
limpieza por ultrasonidos, instrumentos quirúrgicos ultrasónicos, en 
música,…
Introducción:
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-7
Vibraciones beneficiosas
 Las vibraciones se 
generan 
intencionadamente para 
compactar suelo
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-8
Vibraciones beneficiosas
 La recolección de aceituna por 
vibración consiste en un método 
de sacudir las ramas haciendo 
caer al suelo las aceitunas. Este 
método de recolección suele 
hacerse con maquinas 
especializadas en hacer vibrar las 
ramas.
 La maquina posee un brazo 
mecánico que se coge a las ramas 
y empieza a sacudir el árbol 
hasta hacerlo vibrar de tal 
manera que acaban cayendo todas 
las aceitunas. Hay dos tipos de 
herramientas unas que se 
enganchan a la parte delantera del 
tractor y otras que son 
autopropulsadas.
http://www.aceiteoliva.com/tag/sacudir-las-ramas/
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-9
Introducción: Amplitud de vibración.
 A la hora de estudiarlas, 
será necesario analizar la 
amplitud de las vibraciones
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-10
Introducción: Amplitud de vibración.
 A la hora de estudiarlas, será necesario analizar la amplitud de las 
vibraciones.
 El rango de valores es muy amplio, con lo cual habitualmente se utilizará una 
escala logarítmica para su representación, cuyas unidades son los dB.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-11
Introducción: Frecuencia de vibración.
 Pero también será
sumamente importante 
analizar a qué frecuencias 
se producen las 
vibraciones:
 Ya que la sensibilidad del 
cuerpo humano a las 
mismas es función de la 
frecuencia.
 Su estudio práctico será
más sencillo de 
caracterizar en el dominio 
frecuencial que en el 
dominio temporal.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-12
Introducción a la medida de vibraciones
Introducción: ¿Qué es la vibración?.
Tipos de vibración: libre y forzada.
Vibración- Fuerza.
Porqué medir vibración.
Tipos de señales: deterministas, aleatorias…
Para estudiar las vibraciones: Crear un modelo.
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Tipos de vibración: libre y forzada 
Vibración libre: vibración en ausencia de fuerzas 
externas. Características del movimiento:
 depende de cómo se inició: condiciones iniciales.
 se amortigua después de un tiempo: sistemas amortiguados.
 no toma una forma geométrica clara.
 es difícil ver a qué frecuencias se produce.
 Vibración forzada: oscilación en presencia de una fuerza externa 
constante (es decir, cuyo valor no depende del movimiento) que 
actúa permanentemente (no sólo en el instante inicial). Características 
del movimiento:
 fenómeno de resonancia (cuando la frecuencia de oscilación coincide con la 
frecuencia propia del sistema).
 Vibración autoexcitada: oscilación en presencia de una fuerza 
externa que depende del propio movimiento del sistema.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-14
Fenómeno de resonancia
Cuando se excita un sistema con una fuerza cuya 
frecuencia coincide con una de las frecuencias de 
resonancia del sistema, el sistema toma una forma 
geométrica definida y una amplitud de vibración muy 
grande.
http://francisthemulenews.wordpress.com/2009/01/07/
como-una-soprano-rompe-un-vaso-de-cristal-y-como-
dos-vasos-se-acoplan-entre-si/ : ahí se ve lo que es la 
resonancia.
http://seneca.fis.ucm.es/brito/sistemas/tacoma.html: Fotos 
y vídeos sobre el puente de Tacoma.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-15
Introducción a la medida de vibraciones
Introducción: ¿Qué es la vibración?.
Tipos de vibración: libre y forzada.
Vibración – fuerza.
Porqué medir vibración.
Tipos de señales: deterministas, aleatorias…
Para estudiar las vibraciones: Crear un modelo.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-16
Vibración y fuerzas 
 Fuerzas causadas 
por:
 Desequilibrio
 Choques 
 Fricción
 Parámetros 
estructurales:
 Masa
 Rigidez
 amortiguamiento
 Parámetros vibratorios
 Desplazamiento
 Velocidad 
 Aceleración
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-17
Introducción a la medida de vibraciones
Introducción: ¿Qué es la vibración?.
Tipos de vibración: libre y forzada.
Vibración – fuerza.
Porqué medir vibración.
Tipos de señales: deterministas, aleatorias…
Para estudiar las vibraciones: Crear un modelo.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-18
Introducción: ¿Por qué medir vibraciones?
Doble enfoque:
 Sobre máquinas o piezas: 
Porque la vibración es el origen del ruido, y el ruido es molesto 
e incluso perjudicial para el ser humano.
Porque la vibración genera un mal comportamiento de una 
máquina e incluso la rotura de la misma.
 Sobre el cuerpo humano: Porque las vibraciones le afectan y 
generan molestia e incluso son perjudiciales para el mismo.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-19
Introducción: ¿Por qué medir vibraciones?
 Para analizar el ambiente de trabajo, estimando la 
vibración transmitida a través de la mano y/o 
cuerpo.
 Para obtener los niveles de vibración recibidos 
por el cuerpo humano, o por parte de él, en 
condiciones habituales y representativas de un 
tipo de trabajo.
 Para verificar las características de vibración de 
una máquina, que las frecuencias y las 
amplitudes no exceden los límites del material y 
buscar soluciones de control.
 Para comprobar quésuperficies de la máquina 
generan ruido y así poder proponer una solución 
para aislar o amortiguar las vibraciones.
 Mantenimiento de máquinas: ver la evolución de 
las vibraciones en una máquina a lo largo del 
tiempo, detectar qué máquinas deterioradas 
puedan ser eliminadas o reparadas y evitar así
averías.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-20
Introducción a la medida de vibraciones
Introducción: ¿Qué es la vibración?.
Tipos de vibración: libre y forzada.
Vibración y fuerza
Porqué medir vibración
Tipos de señales: deterministas, aleatorias…
Para estudiar las vibraciones: Crear un modelo
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-21
Tipos de señales: según su comportamiento temporal
 Estacionarias: permanecen a lo largo del tiempo.
 Deterministas: dependencia temporal conocida, x(t).
 Aleatorias: comportamiento aleatorio en el tiempo.
 No estacionarias: sólo existen en breves intervalos de tiempo.
 Continuas: tren de pulsos.
 Transitorios: impacto, choque, disparo.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-22
Enfoque tiempo-frecuencia: Señales periódicas.
 Transformada de Fourier: herramienta matemática que permite pasar del 
dominio temporal al dominio frecuencial.
 Se realiza mediante la descomposición de una señal en superposición 
de señales senoidales.
 La señal en el dominio frecuencial se denomina espectro: contenido en 
frecuencias.
 Si la señal temporal es periódica, el espectro será discreto y está formado 
por frecuencias múltiplos: armónicos.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-23
Enfoque tiempo-frecuencia: Señales periódicas.
 Si la señal temporal es periódica, el espectro será discreto y está formado 
por frecuencias múltiplos: armónicos.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-24
Enfoque tiempo-frecuencia: Señales deterministas
 Tiempo: señal estacionaria determinista.
 Espectro: continuo. Participan muchas frecuencias pero, sobre 
todo, unas específicas. Cada pico del espectro está relacionado 
con los distintos componentes de la máquina: frecuencia de giro, 
número de dientes....
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Enfoque tiempo-frecuencia: Señales aleatorias
 Temporal:
 Valores aleatorios que no se pueden predecir.
 Se caracterizan por sus propiedades estadísticas.
 Espectro:
 Continuo, contribución simultánea a muchas frecuencias (discreto)
 Idealmente es un Ruido blanco: espectro continuo y plano.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-26
Enfoque tiempo-frecuencia: Señales transitorias
 Temporal:
 tiempo de impacto es muy pequeño.
 Espectro:
 Es Continuo y plano, hasta la denominada frecuencia de corte.
 Cuanto mayor sea el tiempo de impacto, menor será la frecuencia de 
corte.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-27
Introducción a la medida de vibraciones
Introducción: ¿Qué es la vibración?.
Tipos de vibración: libre y forzada.
Vibración y fuerza.
Porqué medir vibración.
Tipos de señales: deterministas, aleatorias…
Para estudiar las vibraciones: Crear un modelo.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-28
Para estudiar las vibraciones: Crear un modelo
En el mundo real: todas las piezas, estructuras, sistemas 
que vibran son medios continuos con propiedades 
elásticas.
Intentar describir su comportamiento vibratorio mediante 
una ecuaciones analíticas que describan el fenómeno 
lleva a ecuaciones muy complejas y difíciles, tanto de 
resolver como de comprender.
Para hacer una primera aproximación del problema, se 
propone crear modelos más sencillos (modelos 
discretos) cuyas ecuaciones son más sencillas, tanto de 
resolver como de interpretar dicha resolución.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-29
Para estudiar las vibraciones: Crear un modelo
El modelo más sencillo que se puede crear es un 
sistema de 1 grado de libertad (gdl) en la aproximación 
de pequeñas oscilaciones, donde las ecuaciones que 
rigen el movimiento son lineales y se resuelven sin 
dificultad.
 Se denomina grado de 
libertad gdl al número 
de coordenadas 
independientes que se 
necesitan para 
determinar la posición 
del sistema en cualquier 
instante.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-30
Para estudiar las vibraciones: Modelo 1 gdl
 Un sistema de 1 grado de libertad (gdl) es el 
tradicional sistema masa-muelle-amortiguador 
m-k-c, donde
 m es una masa puntual concentrada que 
representa la masa total (kg) del sistema.
 k es un resorte ideal (sin masa) de rigidez k (N/m) 
que representa el hecho de que el sistema es 
elástico.
 c es un amortiguador viscoso ideal (sin masa) de 
coeficiente de amortiguamiento c (Ns/m) que 
representa la disipación de energía que presenta 
todo fenómeno vibratorio, que es la responsable 
de que, en general, la vibración vaya 
disminuyendo a lo largo del tiempo.
 En este sistema, la vibración viene dada por el 
desplazamiento de esa masa, a partir de la 
posición de equilibrio, a lo largo del tiempo.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-31
Para estudiar las vibraciones: Modelo 1 gdl
Muelle: sin masa, fuerzas iguales y de sentidos 
opuestos, trabajando en el rango lineal. Fuerza 
proporcional a la deformación (x2-x1), 
recuperadora hacia la posición de equilibrio. 
Caracterizado por su rigidez k: un muelle 
helicoidal, de un alambre de diámetro d, de n 
espiras de diámetro D, tiene una rigidez: 
Amortiguador: sin masa, fuerzas en los 
extremos iguales y de sentido opuesto, 
proporcional a la velocidad relativa entre 
extremos y recuperadora hacia al equilibrio. 
Masa: sólido rígido, indeformable.
El muelle y la masa almacenan y ceden energía 
(potencial y cinética respectivamente) y el 
amortiguador la disipa.
k Gd
nD

4
38
 x x2 1
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-32
Para estudiar las vibraciones: modelo n gdl
 Modelos más complejos: Medios Discretos sistemas de n grados 
de libertad (ngdl) formados por n sistemas de 1gdl conectados 
entre sí, cuyos sistemas de ecuaciones que rigen el movimiento 
son lineales y se resuelven sin dificultad.
 Modelos más complejos: Medios Continuos.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-33
Modelos de n gdl
 Modelo de la 
suspensión de un 
vehículo
 Modelo del proceso de torneado 
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-34
Modelos de n gdl
 Modelo de un torno 
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-35
Modelo vibratorio del cuerpo humano
 Se puede construir un modelo 
discreto (m-k-c) que simula el 
comportamiento del cuerpo 
humano frente a las vibraciones.
 De su estudio pueden evaluar las 
frecuencias de resonancia de cada 
parte del mismo.
 Es lo que tradicionalmente se 
expresa como que el cuerpo 
humano no es igual de sensible a 
todas las frecuencias de vibración.
 Cada parte del cuerpo tiene su mayor 
sensibilidad a diferentes frecuencias.
 El cuerpo humano no es simétrico.
 Dos personas distintas no tienen la 
misma respuesta ante las 
vibraciones.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-36
Índice general
Introducción a la medida de Vibraciones.
Vibración libre 1gdl.
 Modelo m-k no amortiguado:
Doble enfoque: temporal y frecuencial.
Planteamiento y resolución ecuación movimiento.
 Magnitudes y unidades asociadas a la vibración.
 Modelo m-k-c con amortiguamiento viscoso.
Vibración forzada 1 gdl: excitación armónica.
Casos Particulares: Aislamiento y Transmisibilidad.
Vibración forzada 1 gdl: excitación arbitraria.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-37
Doble Enfoque: temporal y frecuencial
 Enfoque temporal:
oscilación alrededor de la 
posición de equilibrio. (D, T)
 Enfoque frecuencial: 
Espectro: contenido en 
frecuencias de la oscilación.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones9-38
Doble Enfoque: temporal y frecuencial
Enfoque temporal: el que se llevará a cabo en clase, en 
la resolución del modelo analítico, la ecuación del 
movimiento.
Enfoque frecuencial: el que se utilizará en el laboratorio.
 paso del tiempo a la frecuencia: 
transformada de Fourier
 paso de la frecuencia al tiempo:
transformada inversa de Fourier
 Los equipos de procesado Analizador de Frecuencias realizarán la TF 
para obtener el Espectro (contenido en frecuencias) de las señales 
vibratorias que se midan.



 dte)t(f)(F ti



 

 de)(F
2
1)t(f ti
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-39
Sistema 1 gdl: ecuación de movimiento
 Ecuación del movimiento :
 Sistema masa m [kg] – resorte de rigidez k [N/m]
 coord. de posición x: a partir del equilibrio.
 La posición de equilibrio no siempre coincide con la posición del muelle 
sin deformar.
 Deformación estática: deformación del muelle en el equilibrio.
0kxxm mg)x(kxm 
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-40
Sistema 1 gdl libre no amortiguado
 Solución general: 
 Movimiento armónico simple
 frecuencia natural: n (rad/s) ó fn (Hz)
 periodo de oscilación T:
 A y B (C y ) dependen de las 
condiciones iniciales de desplazamiento 
y velocidad: x0 y
tsenBtcosA)t(x nn 
)tsen(C)t(x n 

 g
m
k2
n 


2T
1f nn g
2
k
m22T
n





0x
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-41
Relación masa-frecuencia propia
antes ---- después ____
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-42
Sistema 1 gdl libre no amortiguado
El comportamiento vibratorio de un sistema de un grado de 
libertad está caracterizado por la frecuencia natural, propia o 
de resonancia n, que es característica del sistema, es decir,
sólo depende de sus propiedades mecánicas (masa y rigidez) 
y es independiente de parámetros externos, como las fuerzas 
que actúan sobre él.
m
k2
n 
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-43
Sistema 1 gdl libre
Sistema 1gdl libre:
 Modelo m-k no amortiguado:
Doble enfoque: temporal y frecuencial.
Planteamiento y resolución ecuación movimiento.
 Magnitudes y unidades asociadas a la vibración.
 Modelo m-k-c con amortiguamiento viscoso.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-44
Representación temporal de la vibración 
 Magnitudes físicas que se utilizan
para representar la vibración:
 desplazamiento
 velocidad
 aceleración
)tsen(A)t(x n 
)tcos(A)t(v nn 
)tsen(A)t(a n
2
n 
integrar
derivar
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-45
Representación temporal de la vibración 
 Para cuantificar la vibración: 
 Valores puntuales: en un instante dado.
 Amplitud máxima o valor pico (peak).
 Valor pico-pico: región del espacio en la que se produce la vibración.
 Valores globales: a partir de la historia temporal. 
 Valor medio. 
 Valor eficaz xRMS. 
T
0
dt)t(x
T
1x 
T
0
22
RMS dt)t(xT
1xx
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-46
Representación en frecuencia: espectro
 En la medida y caracterización de vibraciones, es más habitual y 
práctico trabajar en el dominio de la frecuencias, ya que en este 
dominio se entiende con más claridad qué es lo que está
sucediendo, y por lo tanto, el estudio es más intuitivo.
http://www.ni.com/white-paper/3342/en
tiempo
frecuencia
am
plitud
tiempo
frecuencia
tiempo
frecuencia
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-47
Representación en frecuencia: espectro
 Esto es posible 
gracias a que la 
tecnología actual 
hace posible tener, 
sin problemas, 
equipos que pueden 
calcular, a partir de 
las señales 
temporales 
vibratorias medidas, 
sus espectros 
(mediante algoritmos 
que realizan 
Transformadas de 
Fourier o bien 
mediante filtros) y 
mostrar el 
contenido en 
frecuencias de 
cualquier tipo de 
señal.
 En el dominio de las frecuencias:
 Derivar: multiplicar por i.
 Integrar: dividir por 1/i
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-48
Decibelios de Vibración
 Además, ya que el rango valores a representar es muy amplio, es 
habitual utilizar una escala logarítmica.
 La magnitud logarítmica se denomina Nivel de x (ó v ó a) y sus 
unidades son los decibelios dB. El nivel representa un valor 
relativo y en escala logarítmica.
)x(dBre
x
xlog10L ref
2
ref
RMS
x 






m10pm10x 11ref

s/m10s/nm1v 9ref

262
ref s/m10s/m1a

 Valores de 
referencia 
recomendados pero 
no estandarizados. 
 Valores negativos de dB indican 
que el valor eficaz es menor que la 
referencia elegida
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-49
Escalas lineal y logarítmica
 Espectro en escala lineal y en escala logarítmica
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-50
Decibelios de Vibración
 Espectro en lineal y en dB
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-51
Decibelios de vibración
 Cuando se trabaja con dB hay que tener en cuenta:
 Se pasa de un factor multiplicativo en escala lineal a uno aditivo en 
escala logarítmica: multiplicar por 2 es sumar 6 dB, multiplicar por 10 es 
sumar 20 dB.
 El rango de aceleraciones que se maneja habitualmente puede llegar 
de 0.01 m/s-2 a 100 m/s-2 o más. Esto en escala lineal supondría una 
escala de 10.000 unidades, mientras que en logarítmica son 80 dB.
 El cuerpo humano reacciona logarítmicamente: si se dobla la señal 
aplicada, el cuerpo lo siente como una cantidad constante. La variación 
de 1 a 2 m/s-2 se siente mucho más que la variación de 10 a 11 m/s-2.
 Atención a la suma y resta de niveles: Los valores instantáneos se 
pueden sumar directamente, pero no es así con los valores 
eficaces, es la energía la que se suma.

i
2
i,rms
2
total,rms aa 
i
10/L
total,a
ai10log10L
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-52
Nomograma: 
relación x, v 
y a
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-53
Sistema 1 gdl libre
Sistema 1gdl libre:
 Modelo m-k no amortiguado:
Doble enfoque: temporal y frecuencial.
Planteamiento y resolución ecuación movimiento.
 Magnitudes y unidades asociadas a la vibración.
 Modelo m-k-c con amortiguamiento viscoso.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-54
Modelo 1gdl libre amortiguado: viscoso
 Amortiguamiento viscoso  fuerza 
recuperadora proporcional a la 
velocidad de vibración, mediante la 
constante c denominada coeficiente 
de amortiguamiento [Ns/m] ó [kg/s]
 Ecuación del movimiento:
libre forzado
sin amort A constante resonancia: A
con amort A decreciente resonancia: A finita
xckxxm   0kxxcxm  
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-55
Modelo 1gdl libre amortiguado: viscoso 
Amortiguamiento crítico:
Factor de amortiguamiento 
(adimensional): 
Tres casos de amortiguamiento: 
 subamortiguado: 
 sobreamortiguado:
 crítico:
Solución
km2m2c nc 
km2
c
m2
c
c
c
nc



12nn2,1  
12 
10 
1
1
tae)t(x  km4c
m2
1
m2
c 2  








dobleraiz,0
negativosreales,0
conjugadoscomplejos,0
21
21
21
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-56
Sistema 1gdl libre subamortiguado
 Frecuencia amortiguada:
movimiento oscilatorio de frecuencia d con amplitud decreciente exp
d<  Td>T mayor periodo
cond. iniciales
 decremento logarítmico: 
poco amortiguamiento   pequeño
)tsen(Ae)t(x d
tn  
 )tsen(A)tcos(Ae)t(x d2d1tn  



 2
1
2T
X
Xln
2n
2
1
2
nd 1 









  )tsen(xx)tcos(xe)t(x d
d
0n0
d0
tn 
10 
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-57
Relación influencia amortiguamiento
antes ---- después ____
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-58



   1t2
1t
1
t 2n
2
nn eAeAe)t(xSistema 1 gdl libre: sobreamortiguado
1
1s 2nn1 
1s 2nn2 
2 raíces reales y negativas:
012 
Entonces, la solución es de la forma:
t)1t(
2
t)1(
1
st 2nn
2
nn eAeA)t(xeA)t(x  
el sistema no oscila, vuelve a la 
posición de equilibrio exponencialmente
no es Vibración
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-59
Sistema 1 gdl libre con amortiguamiento crítico
1
n21 ss 
Raíz doble:
0
Entonces, la solución es de la forma:
t
21
st ne)tAA()t(xeA)t(x 
El sistema no oscila (d=0), la masa recupera la posición de 
equilibrio en el menor tiempo posible. Es el caso límite entre 
oscilación y no oscilación
no es Vibración
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-60
Índice general
Introducción a la medida de Vibraciones.
Vibración libre 1gdl.
Vibración forzada 1 gdl: excitación armónica.
 Fuerza armónica: Sistema no amortiguado.
 Fuerza armónica: Sistema amortiguado viscoso.
 Función de transferencia o Función FRF.
 Caso particular: amortiguamiento estructural.
Casos Particulares: Aislamiento y Transmisibilidad.
Vibración forzada 1 gdl: excitación arbitraria.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-61
Fuerza armónica:
Sistema no amortiguado
 Ecuación del movimiento:
: frecuencia de excitación
 Resolución de la ecuación:
Si cond. iniciales son nulas: 
respuesta a dos frecuencias n
y , la propia y la de excitación
tcosFkxxm 0 
)t(x)t(x)t(x particularogeneahomtotal  tcos
m/FtcosBtsenA)t(x 22
n
0
nnt 

tcosm/Ftcosm/Fxtsenx)t(x 22
n
0
n22
n
0
0n
n
0
t 











 tcostcosm/F)t(x n22
n
0
t 

M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-62
Factor de Magnificación
 Factor de magnificación :
Expresa el comportamiento 
dinámico de la fuerza, ya que
es la deflexión debida a la carga
estática.
 Módulo:
  1: más o menos el mismo efecto que la fuerza 
estática.
  : resonancia.
  0: amplitud del movimiento muy pequeña.
 Signo:
 signo +: desplazamiento de la masa en fase con la 
fuerza.
 signo -: desplazamiento de la masa en sentido opuesto a 
la fuerza.
n
n
n
n
n










1
1
2

n
F
k
t0 cos
x t F
k
tp( ) cos  0 
n

M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-63
Fuerza armónica. Sistema amortiguado
 Notación senoidal: Ecuación del movimiento.
: frecuencia de excitación
 Resolución de la ecuación:
Cuando t aumenta, el primer término 0 (término transitorio) y sólo 
queda la contribución de la solución particular (término 
estacionario).
respuesta a dos frecuencias, d y .
 Si las condiciones iniciales son nulas:
  )tcos(AtsenAe)t(x 0dtt n  
tcosFkxxcxm 0  
tsenNtcosMtsenNMtcosMe)t(x d
d
n
d
t
t
n 








 
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-64
Fuerza armónica. Sistema amortiguado
 La componente homogénea afecta apreciablemente la solución general 
en la fase inicial del movimiento, para luego desaparecer a medida que 
el tiempo transcurre.
estacionario
transitorio
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-65
Fuerza armónica. Sistema amortiguado: función H()
Cuando una fuerza f(t), con una componente en 
frecuencia , actúa sobre un sistema que está en 
equilibrio, éste empieza a vibrar.
Que la amplitud de la vibración x(t) sea mayor o menor 
dependerá fundamentalmente de la relación que existe 
entre  y la frecuencia de resonancia del sistema n.
La relación entre la fuerza de excitación y la respuesta 
del sistema viene dada por lo que se llama la función de 
transferencia o Función de Respuesta en frecuencia FRF 
H().
Sistema
H()excitación f(t) respuesta x(t)
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-66
Función de Transferencia o FRF: H()
Estudio del comportamiento del término estacionario:
Se define Función de transferencia o de respuesta en 
frecuencia: función compleja
 Módulo: cociente entre la amplitud de la respuesta y la de la excitación.
similar al factor de magnificación
 Fase: pasa por el punto 
ti
n
2
n
p Fe
i21
k/1)t(x 





































tiFe)t(Fkxxcxm  
F
X)(H 
ti
p Xe)t(x

)(H  )t(F)(H)t(x 
k/F
X

 ( , / )1 2 r   0 0
r    
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-67
Módulo y fase H()
n
r



|H(r)|
n
r



faseH(r)
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-68
Función de Transferencia FRF – Módulo |H()|
 Respecto a la frecuencia:
 cuando 0 la amplitud tiende 
a la estática.
 cuando n valor máximo de 
amplitud.
 cuando , la amplitud 0.
.    222 r2r1
1)r(H


2/1
n
r



 Respecto al amortiguamiento:
 cuando : el pico disminuye y se traslada hacia la izquierda, e 
incluso, para : no existe máximo.
 cuando : el pico aumenta y se vuelve más puntiagudo.
 cuando =0: la amplitud .
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-69
Resonancia
Fenómeno de resonancia:
 en un sistema no amortiguado: =n.
 en un sistema amortiguado,  =d. NO supone el valor máximo 
en amplitud.
 si el valor máximo se produce a 
 si el valor máximo se produce a 
 Como las diferencias son muy pequeñas, se suele tomar siempre 
r=1.
2
10 
2
1

 2nmax 21 
0max 
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-70
Módulo |H()|: estimación amortiguamiento
 Factor de calidad
 Estimación del amortiguamiento 
del sistema: a partir del ancho de 
banda de potencia mitad , que 
es una estimación de lo ancho 
que es el pico. En concreto, es la 
diferencia entre las frecuencias 
en las cuales la amplitud máxima 
decrece 
(-3dB en escala log).




2
1
12
1)(HQ
2max
n12 2 n2


2/1
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-71
Caso particular: Amortiguamiento estructural
Amortiguamiento estructural: disipación de energía que 
se produce en Materiales que en su proceso de dilatación 
–compresión se produce un ciclo de histéresis.
Para hacer un estudio de este caso: se va a hacer una 
equivalencia energética entre los casos viscoso y 
estructural
 se analiza la energía disipada por ciclo cuando el sistema está
vibrando bajo una fuerza armónica independiente de la 
frecuencia, en cada uno de los casos.
 Se igualarán ambas energías y se establecerá la equivalencia.
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-72
Viscoso: energía disipada
 factor o coeficiente de pérdidas:
en la resonancia 
 Haciendo una representación fuerza-desplazamiento: fuerza 
requerida para desplazar la masa:
 ecuación de una elipse rotada alrededor del origen.
 el área es la energía perdida por ciclo.
 para c=0, se tiene una línea, que es una recta de pendiente k.
maxU2
E



  

2
2
0
2
d XcdtxcdxFE 








2
2
kX
2
12
Xc
 2
0XckxF2x)kc(F 22222222 
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-73
Estructural: E disipada
: constante de amortiguamiento histerético (factor de 
pérdidas), que a veces también se define: h=k
Si se define un amortiguamiento equivalente: 
2XkE 
22
eq XkXc  


kceq
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-74
Amortiguamiento estructural: ecuación 
movimiento
 Ecuación de 
movimiento
 Rigidez 
compleja
 Frecuencia 
compleja
ti
0eFx)i1(kxm

hik)i1(kk~ 
 i1
m
k~~ 2
n
2
n  |H(r)|
faseH(r)
n
r



n
r



M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-75
Amortiguamiento estructural: FRF
 Función de transferencia:
 Módulo:
 Ancho de banda de potencia 
mitad:
 Diagrama de Nyquist: 
ecuación de una circunferencia. Si
u=Re(H()) y v=Im(H())+1/2k
 Centro(0,-1/2kb)
 radio 1/2kb
i1
1)(H
2
n





















1H
max
n


u v k2 2 21 2  / ( )
M. Herráez Máquinas y Mecanismos - Tema 9: Vibraciones 9-76
Índice general
Introducción a la medida de Vibraciones.
Vibración libre 1gdl.
Vibración forzada 1 gdl: excitación armónica.
Casos Particulares: Aislamiento y Transmisibilidad.
 movimiento del soporte.
 desequilibrio rotante.
Vibración forzada 1 gdl: excitación arbitraria.