Identidades T_Arco Simple Teoría y prob resueltos

Vista previa del material en texto

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ARCO SIMPLE
CICLO PREUNIVERSITARIO
TRIGONOMETRÍA
NOCIONES PREVIAS
Ejemplos:
 
 
Se denomina conjunto de valores admisibles de una variable en una expresión , al conjunto de números reales para el cual la expresión esta definida, es decir, si a es un valor admisible de , es un número real.
Conjunto de valores admisibles de una variable (CVA) 
‹Nº›
Identidad
Una ecuación es una identidad, si el conjunto de soluciones de la ecuación, es el conjunto de valores admisibles de x para la ecuación, es decir es una identidad si y solo si.
es igual al conjunto de valores admisibles de x para 
Ejemplos
3.
1. 
‹Nº›
Identidad trigonométrica 
Una identidad trigonométrica es una igualdad en las que intervienen las razones trigonométricas, las cuales se verifican para todo valor admisible de la variable angular.
IT de un arco simple
1
IT de arcos compuestos
2
IT del arco doble
3
IT del arco mitad
4
IT del arco triple
5
I de Transformaciones T.
6
Clasificación
‹Nº›
sea una identidad
APLICACIÓN
Determine el valor de k para que la igualdad 
Resolución
Como una identidad trigonométrica es una igualdad que se verifica para todo valor admisible de la variable angular, debe cumplirse para un ángulo particular, digamos 
x = 90º, entonces: 
‹Nº›
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO SIMPLE
Podemos clasificarlas en dos grupos, tales como:
1. Identidades Fundamentales 
Se llaman así porque a partir de estas identidades se derivan muchas otras, estas se clasifican en:
1.1 Identidades Recíprocas 
También
‹Nº›
1.2 Identidades por División 
1.3 Identidades Pitagóricas 
También
‹Nº›
Consideremos arbitrariamente un ángulo en posición normal, no cuadrantal de medida . 
1. 
Por definición: 
⟹ 
3. Partimos de: 
Demostraciones 
Dividimos entre :
Identificamos las RT:
‹Nº›
Las identidades trigonométricas tienen una serie de aplicaciones dentro de las cuales, podemos señalar las demostraciones, simplificaciones, solución de ecuaciones condicionales entre otros, todos ellos muy importantes en el desarrollo y aplicaciones del cálculo.
A continuación, estudiaremos tres tipos de aplicaciones tales como:
Problemas de simplificación.
Problemas de condición.
Problemas de eliminación de la variable angular.
NOTA
‹Nº›
PROBLEMA 1
Al reducir , se obtiene:
RESOLUCIÓN 
Tengamos presente que: 
Observemos que:
Además:
‹Nº›
PROBLEMA 2
Al reducir:
se obtiene:
RESOLUCIÓN 
 
Sea el numerador:
Efectuamos:
 
 
Separamos el factor común
Reemplazamos en la expresión dada:
‹Nº›
PROBLEMA 3
Siendo: , calcule 
RESOLUCIÓN 
S
‹Nº›
PROBLEMA 4
R
RESOLUCIÓN 
Hacemos un cambio de variable:
Reemplazamos en :
‹Nº›
PROBLEMA 5
Si: calcule el valor de: 
RESOLUCIÓN 
De la condición dada:
Elevamos al cuadrado:
Efectuamos:
‹Nº›
PROBLEMA 6
Eliminar x a partir de las condiciones
 …………….(2)
RESOLUCIÓN 
De la condición 
 
Multiplicamos por 2: 
Sumamos 1: 
Reemplazamos : 
‹Nº›
2. Identidades Auxiliares 
Se denomina de esta manera a algunas identidades trigonométricas que son de frecuente aplicación y que su uso permite una solución más rápida del problema que se está resolviendo.
Nota: Todas la identidades dadas, en sus respectivos valores admisibles.
‹Nº›
Demostraciones: 
‹Nº›
‹Nº›
‹Nº›
Identidades Adicionales
De donde obtenemos 
Observación: 
‹Nº›
 
 
Recuerda, todas la identidades dadas, en sus respectivos valores admisibles
‹Nº›
PROBLEMA 7
Dada la identidad trigonométrica, para un ángulo agudo: 
entonces el valor de k es: 
RESOLUCIÓN 
Colocamos la condición dada (lado izquierdo) en términos de seno y coseno: 
Luego:
‹Nº›
PROBLEMA 8
Si la expresión: ; 
es independiente de x, calcule a/b 
					 
RESOLUCIÓN 
Agrupamos los términos en P: 
Efectuando y agrupando los término semejantes:
Si P es independiente de x, entonces esta debe de ser constante:
Cuando:
‹Nº›
PROBLEMA 9
Si:				, calcule: 	 
/3
RESOLUCIÓN 
En la condición dada: 
Recordemos que: 
De y obtenemos: 
Entonces: 
‹Nº›
PROBLEMA 10
Si: ; calcule 			 
/5
RESOLUCIÓN 
En la expresión pedida:
De la condición dada:
Reemplazamos en k:
‹Nº›
PROBLEMA 11
Siendo: , calcule: 
RESOLUCIÓN 
Efectuamos en la expresión pedida:
Este desarrollo es igual al producto:
En la condición dada:
Reemplazamos en k:
‹Nº›
PROBLEMA 12
Elimine la variable angular x de las expresiones:
RESOLUCIÓN 
De :
Recordemos la identidad auxiliar:
Reemplazamos :
‹Nº›
PROBLEMA 13
Siendo: 
Calcule: 
RESOLUCIÓN 
En la condición dada:
Reemplazamos en la expresión pedida:
‹Nº›
PROBLEMA 14
Siendo 
RESOLUCIÓN 
En la condición dada:
Entonces:
‹Nº›
PROBLEMA 15
Siendo: 
Calcule k en la igualdad: 
 Multiplicamos la condición dada por: 
Hacemos un cambio de variable:
RESOLUCIÓN 
También
 
‹Nº›
Reemplazamos en 
Así se tendrá que:
Multiplicamos por
Reemplazamos 
En la segunda condición:
‹Nº›