Formulario de Euro Casanova

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1 
Universidad Simón Bolívar 
Vibraciones Mecánicas 
Especialización en Equipos Rotativos 
E. Casanova, diciembre 2014 
Sist. masa-resorte-amortiguador de 1GDL 
      )(tttt fxkxcxm  
  00 vx   00 xx 
Ec. de mov.: 
Cond. iniciales 
Resp. libre: 
F(t) constante: 
)(tf
m
k
eep ..
c
)(tx
 
k
f
x tp
0
      )()()( 22  


tCoseBAtBSentACosexx d
t
dd
t
tht
nn
21   nd
m
k
n 
     tptht xxx 
  0ff t 
F(t) armónica: 
  )(),(
0   tSenG
k
f
x rtp  )(0 tSenff t  222
),(
)2()1(
1
rr
G r




n
r










 
2
1
1
2
r
r
tg


  0tf
     tptht xxx 
nm
c


2

Formulario I 
k
mg
s 
Frecuencia 
natural 
Factor de 
amortiguación 
Deflexión estática 
del resorte 
      )(
122 tmtntnt fxxx   
  00 vx 
  00 xx 
Cond. iniciales 
0xA 
d
n xv
B

 00 

 
A
Btg 1
Frecuencia natural 
amortiguada 
Desfasaje 



 n
n
x
x
Ln 2
1
2
2
2
1 








Decremento 
logarítmico 
d
dT

2
Factor de 
amplificación 
Deflexión estática del 
resorte ante la fuerza fo 
Desfasaje con 
la excitación 
Relación de 
frecuencias 
  )(2
0 tSenemf t    )(),(
20   tSenGr
m
em
x rtp
  )(2
0 tSenmzf t    )(),(
2
0   tSenGrzx rtp
Desbalance: 
Movimiento de la base: 
Fuerza transmitida a la base:     )(   tSenfkxxcf trtptptr

2
),(0 )2(1 rGff rtr  
2
),(
22
0 )2(1)( rGremf rntr   
EDO de 2do orden, lineal, no homogénea 
2 
Universidad Simón Bolívar 
Vibraciones Mecánicas 
Especialización en Equipos Rotativos 
E. Casanova, diciembre 2014 
Formulario II 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 
0 
20 
40 
60 
80 
100 
120 
140 
160 
180 








 
2
1
1
2
r
r
tg


r
 = 0.001 
 = 0.1 
 = 0.2 
 = 0.3 
 = 0.5 
 = 0.7 
 = 1 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
),(
2
rGr
   222
2
2
21 rr
r
Gr


r
 = 0.001 
 = 0.1 
 = 0.2 
 = 0.3 
 = 0.5 
 = 0.7 
 = 1 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
0f
f tr
 
   222
2
0 21
21
rr
r
f
ftr





r
 = 0.001 
 = 0.1 
 = 0.2 
 = 0.3 
 = 0.5 
 = 0.7 
 = 1 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
2
n
tr
Me
f

 
   222
2
2
2
21
21
rr
r
r
me
f
n
tr


 


r
 = 0.001 
 = 0.1 
 = 0.2 
 = 0.3 
 = 0.5 
 = 0.7 
 = 1 
Fuerza transmitida a la base: 
Factor de amplificación 
F(t) = f0 
Desfasaje 
Factor de amplificación 
 F(t) depende de 2 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
),( rG
   222
)(
21
1
rr
G r


r
 = 0.001 
 = 0.1 
 = 0.2 
 = 0.3 
 = 0.5 
 = 0.7 
 = 1 
F(t) depende de 2 F(t) = f0 
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Universidad Simón Bolívar 
Vibraciones Mecánicas 
Especialización en Equipos Rotativos 
E. Casanova, diciembre 2014 
F(t) periódica: 
   jj
j
r
j
tp tjSenG
k
f
k
f
x
j
  

1
),(
**
0
2   
j
j
jt tjSenf
f
f  

1
*
*
0
2
222
),(
)2()1(
1
jj
r
rr
G
j




n
j
j
r












 
2
1
1
2
j
j
j
r
r
tg


F(t) genérica: 
         




 


 tSen
xv
tCosxedhfx d
d
n
d
t
t
t
t
n 


 

00
0
0
     tptht xxx 
   tSene
m
h d
t
d
t
n 



1
Formulario III 
Rel. Frecuencia 
para armónico j 
T
2

Factor de amplificación 
para armónico j 
Desfasaje para 
armónico j    22* S
j
C
jj fff 








 
S
j
C
j
j
f
f
tg 1
   dttjSenf
T
f
T
t
S
j  
0
2
   dttjCosf
T
f
T
t
C
j  
0
2
Integral de Duhamel Respuesta debida a las cond. iniciales Función respuesta 
impulsiva unitaria 
)(tf
t0
0f
   )(10 tCos
k
f
x nt 
0 )(tf
t0
0f
0t
    )(1 0
0 ttCos
k
f
x nt  
0
)(tf
0
0f
0t t
   )(10 tCos
k
f
x nt 
    )()( 0
0 tCosttCos
k
f
x nnt  
00 tt 
0t
0tt 
)(tf
t0
0f
0t
  





 )(
1
00
0 tSen
tt
t
k
f
x n
n
t 

0t
0tt 
0
0
4 
Universidad Simón Bolívar 
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Especialización en Equipos Rotativos 
E. Casanova, diciembre 2014 
Formulario IV 
Ecuación de movimiento para un sistema lineal 
       tttt fKxxCxM  
    0KxxM  tt
   0φMK  2
Nj 1
 NφφφΦ 21
   tt Φpx      0pKpM  tt












N
T



1
MΦΦM











N
T



1
KΦΦK
  0φMK  
Sistema de N GDL 
  00 vx   00 xx Cond. iniciales 
Sist. de N EDO de 2do orden, 
acoplado, lineal, no homogéneo 
NxNMM  NxNKK NxNCC 
Resp. libre no 
amortiguada: 
  0f t Solución 
propuesta: 
0C 
 
ti
t e 
φx 
2  Problema de autovalores y autovectores de dimensión N en la forma generalizada 
En general: 
T
MM  T
KK T
CC Note que: 1Nxff 1Nxxx 
  0det  MK 
Sólo tiene solución no 
trivial si se cumple: Esto produce un polinomio en  de grado N, cuyas raíces son los autovalores 1, 2, … N 
Nj    21
  0φMK  jj
Los autovectores se 
calculan a partir de: Matriz modal: 
Cambio de 
coordenadas: 
Amortiguación 
proporcional: 
KMC  











N
T



1
CΦΦC
   tt Φpx        0pKpCpM  ttt
Cambio de 
coordenadas: 
Sist. de N EDO de 2do orden, 
desacoplado, lineal, no homogéneo 
Resp. libre amortiguada: 
1x jx
Nx
jm Nm
1m 
)(1 tf )(tjf )(tNf
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Especialización en Equipos Rotativos 
E. Casanova, diciembre 2014 
Formulario V 
Existen N ecuaciones 
de la forma: 
Solución en las 
coordenadas físicas: 
Solución: 
Excitación 
armónica simple: 
Resp. libre amortiguada 
(amortiguación proporcional):    tt Φpx        0pKpCpM  ttt

      0 tjtjtj ppp  
      02 2  tjtjjt ppp  
     )()( tSenBtCosAepp
jj
jj
h djdj
t
tjtj 



21 jjd j
 
j
j
j


 
jj
j
j



2

Frecuencia propia 
del modo j 
Factor de amortiguación 
del modo j 
Frecuencia propia 
amortiguada del modo j 
0
1
)0( Mxφ
T
jjj j
pA

  00
1)0()0(
xvMφ jj
T
j
d
jjjj
j
jdj
j
pp
B 







      




N
j
djj
T
jd
T
j
t
j
N
j
tjjthth tSentCosep
jjdj
jj
jh
1
00
1
0
1
1
)( )()( 



xvMφMxφφφΦpx
Solución: 
Resp. forazada amortiguada 
(amortiguación proporcional): 
Existen N ecuaciones 
de la forma: 
   tt Φpx         tttt fpKpCpM  
     
*
)(
122 tjtjtjjt fppp
j
  
      )(2 0
12 tSenppp T
jtjtjjt j
 fφ

 
      0KxxCxM  ttt

       tttt fKxxCxM  






















*
)(
*
)(1
)(
)(1
tN
t
t
T
N
t
T
T
f
f

fφ
fφ
fΦf
     tjtjtj ph
ppp 
 tjp
p depende de la forma de (i.e. armónica, periódica, impulsiva o genérica) 
*
)(tjf
)(0 tSen  ff )(0
*
)( tSenf T
jtj  fφ
  )(),(
0
jr
j
T
j
tj tSenGp
jjp


 
fφ









 
2
1
1
2
j
jj
j
r
r
tg


   222
),(
21
1
jjj
r
rr
G
jj




j
jr



Solución en las coordenadas físicas:     


N
j
tjjtptp p
p
1
)(φΦpx
Solución en las 
coordenadas físicas:     


N
j
jr
j
T
j
j
N
j
tjjtptp tSenGp
jjp
1
),(
0
1
)( )(
)(



fφ
φφΦpx