MATEX cv 2010 1-25

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unI 2010 -ISolucionario de Matemática
Consideramos el siguiente caso:
45º
60º 75º
20
15º
línea
vertical
F
P A
x
En el triángulo AFP, mediante el teorema de 
senos tenemos
 
x
sen sen60
20
45º º
=
 
→ =x
20 60
45
sen
sen
º
º
∴ x=24,5 m
Respuesta
La longitud del poste es 24,5 m.
 AlternAtivA C
Pregunta N.º 37
Después de una rotación de ejes, la ecuación 
5x2	–	8xy+5y2	–	9=0	representa	una	elipse	cuyos	
focos tienen como coordenadas F1(a; b), F2(c; d). 
Calcule ac+bd.
A)	–	2	 B)	–	3	 C)	–	4
D)	–	6	 	 	 E)	–	8
Resolución
Tema
Traslación y rotación de ejes
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contexto
Cálculo del ángulo de giro (θ):
Si Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
→ cot 2θ = −A C
B
Ecuaciones de rotación de ejes:
 
x=x'cosθ	–	y'senθ y=x'senθ+y'cosθ
Datos: 
 5x2	–	8xy+5y2	–	9=0		 (I)
Focos: 
 F1(a; b); F2(c; d)
De la ecuación tenemos
 A=5; B=–	8		y		C=5
Calculamos el ángulo de giro (θ):
 
cot cot2 2
5 5
8
0θ θ= − → = −
−
=A C
B
 
Establecemos que 
 2θ=90º → θ=45º
Aplicamos las ecuaciones de rotación
 x=x’ · cosθ	–	y’senθ	 
 → x=
2
2
⋅ −( )x y' ' (II)
 y=x’ · senθ+y’cosθ	 
 → y=
2
2
⋅ +( )x y' ' (III)
Reemplazando (II) y (III) en (I) obtenemos
 (x’)2+9(y’)2=9 
 → 
x y' '( )
+ ( ) =
2
2
2
23 1
1
Se tiene que
 a’=3 y b’=1