Para calcular dt/dz si x sena .y =z con − 23 2 2 2 y =tx = tyx+, x cos . a ln .a .y = x z x sen ∂/∂ a = y z x sen ∂/∂ Para calcular dt/dyy dt/dx debemos calcular los jacobianos. Alejandro E. García Venturini226 ( ) ( ) yx = GG FF = yx; GF; y x y x 2 64 23 22 −− −∂ ∂ ( ) ( ) yx yt = yx t y F; G = yx GG FF = dt/dx y t 2222 64 42 64 22 21 6464 −− +− −− −− − −= −− ∂ ∂ − −− − yx xt + = yx tx = yx x; t F; G = yx GG FF = dt/dy ' t ' x ' t ' x 2 2 2 2 22 64 34 64 23 12 6464 −− −− −− − −= −− ∂ ∂ − −− − Reemplazando queda: yx xt .+a yx+ t y+ x .cosa .ln.= y.a dt/dz sen xsen x 2 2 2 64 34 32 21 + +− Otra situación Consideremos el siguiente caso: F (x;y;u;v) = 0 y G (x;y;u;v) = 0 pueden defi- nir implícitamente dos funciones de dos variables independientes, por ejem- plo u = f (x;y) y v = g (x;y). Se pueden obtener las derivadas parciales de f y g respecto de x e y. Calculando los diferenciales de F y G tenemos: 0 0 dv = du + G dy + G dx + GdG = G dv = du +F dy + F dx + FdF = F ´ v ´ u ´ y ´ x ´ v ´ u ´ y ´ x Funciones compuestas, implícitas y homogéneas 227 −− −− dy G dx G = dv G +du G dy F dx F = dv F +du F ´ y ´ x ´ v ´ u ´ y ´ x ´ v ´ u El jacobiano del sistema es: ( ) ( ) 0≠ ∂ ∂ ' v ' u ' v ' u GG FF = u;v F;G Por lo tanto, GG FF Gdy . G + dx . G Fdy . F + dx . F du ' v ' u ' v ' u ' v ' x ' v ' x −= dx . GG FF Gdy . G G + dx . G ' v ' u ' v ' u ' v ' x ' v ' x −= dy . GG FF GG FF ' v ' u ' v ' u ' v ' y ' v ' y −= Es decir que ( ) ( ) ( ) ( ) dx . vu; GF; vx; GF; du ∂ ∂ ∂ ∂ −= ( ) ( ) ( ) ( ) dy . vu; GF; vy; GF; du ∂ ∂ ∂ ∂ − Pero como además sabemos que dy y u + dx xudu ∂ ∂ ∂ ∂ = , resulta que, para varia- bles x e y independientes: ( ) ( ) ( ) ( ) vu; GF; vx; GF; = x u ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ y ( ) ( ) ( ) ( ) vu; GF; vy; GF; = y u ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ Análogamente surge que: ( ) ( ) ( ) ( ) vu; GF; xu; GF; = x v ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ y ( ) ( ) ( ) ( ) vu; GF; yu; GF; = y v ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ y u ; x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y xy u+y= xy uy= y x yu = x u −− −−− − ∂ ∂ 11 11 x y y+v = x y vy = yx yv = y u −− −−− − ∂ ∂ 11 11 y x x+u = x y x+u = y x ux = x v −− − − − ∂ ∂ 11 11 1 1 1 1 x v v v+ x v+ x = = = y y x x y x y − ∂ − − ∂ − − LA ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y DE LA RECTA NORMAL PARA FUNCIONES IMPLÍCITAS EN ℜ2 Consideramos la ecuación F (x;y) = 0, ecuación que suponemos define a y como función implícita de x. La representación gráfica es una curva en ℜ2 . Recta tangente a una curva de nivel Sabemos por Análisis I que la ecuación de la recta tangente a una curva en ( )000P y;x= es: ( )( )000 xxxyyy ' t −=− . Como la función está definida en forma implícita: ( ) ( ) ( )0 0 0 0 P P P xx. F Fyy ' y ' x t −−=− donde ( )000P y;x= satisface la ecuación F (x;y) = 0. sentido coinci- den con la dirección y sentido del vector gradiente en el punto. Recta normal a una curva de nivel Es la recta que tiene como vector director al vector normal, es decir al gra- diente: ( ) ( ) ( )0 0 0P :n ny x; y x ; y .vλ= + λ∈ℜ Ejemplo Si ( ) 86422 +−−+== yxyxy;xfz , la curva de nivel de nivel 0 es 086422 =+−−+ yxyx . La ecuación ( ) 086422 =+−−+= yxyxy;xF define a la variable y como función implícita de x. Alejandro E. García Venturini230 El vector gradiente de f es ( )6242 −−=∇ y;xf . Por ejemplo, en el punto P0 = (3;5) es ( ) ( ) ji;;f 424253 +==∇ . Por lo tanto la ecuación de la recta tangente es: ( ) ( ) 05353 =−−•∇ ty;x;f yt ( )0P : ( ) ( ) 05342 =−−• ty;x; ( ) ( ) 05432 =−+− ty.x. 02642 =−+ tyx 2 13 2 1 +−= xyt El vector normal en P0 = (3;5), es ( )42;vn = Y la ecuación de la recta normal es ( ) ( ) ( ) ( )0P : 3 5 2 4n ny x; y ; . ;λ= + De donde surge que 4 5 2 3 −=− nyx ( ) 532 −=− nyx En su forma explícita la ecuación de la recta normal es: 12 −= xyn LA ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE Y DE LA RECTA NORMAL PARA FUNCIONES IMPLÍCITAS EN ℜ3 Consideramos la ecuación ( ) 0=z;y;xF . Si esta ecuación define a la variable z como función implícita de x e y, se pueden obtener las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal en un punto P0 = (x0;y0;z0) reemplazando en las ecuaciones ya vistas (pág. 134): ´ z ´ x F F = x z − ∂ ∂ y ´ z ´ y F F = y z − ∂ ∂ . Así obtenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0PPP 000000 = z z. F y y . Fx x. F t ' z ' y ' x −+−+− , que es