Valor medio de f = 7 3 12. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen y que biseca al área limitada por la curva: y = 6x – x2 y el eje x. Resolución: Como la recta pasa por el origen: Tiene la ecuación: y = mx donde m = pendiente y = 6x – c2 (x - 3)2 = - (y - 9)  Puntos de Intersección 6 – x2 = mx  x = 0  x = 6 – m ( ) ( )     −=−= === mmy mx Pyx Si 66 0,000 1  P2 = (6 – m, m (6 - m))  Como y = mx biseca al Área A1 = A2: A1 = - ( )( ) − −       +−−=−− m m x x mx dxxxmx 6 0 6 0 3 2 2 2 3 3 2 6 A1 = ( ) ( ) ( ) 3 6 2 6 63 32 3 32 2 6 0 32 2 mm mm xmx x m − − − −−=      −− − A2 = m (6 - m)2 + ( ) ( ) − − −+      −=− 6 6 2 6 6 3 22 6 3 36 m m mm x xdxxx A2 = 18 – 72 – 3 (6 - m)2 + ( ) A1 = A2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 6 6354 3 6 6 2 63 3 2 3 22 m m m m m − +−−−= − −−−− ( ) ( ) ( ) 0546 2 6 3 2 66 232 =+−−−−− m m mm Resolviendo: m = ( )x3 436− 13. Hallar el área A de la región limitada por las curvas: x2 = 9y – 81, x2 = 4y – 16, x2 = y – 1. La región no se interseca con el eje y. Resolución: Se sabe que todas las curvas son parábolas. x2 = 9y – 81 x2 = 9(y - 9) Vértice 0, 9 Cóncavo hacia abajo x2 = 4y – 16 x2 = 4(y - 4) Vértice 0, 4 x2 = y – 1 Vértice 0, 1 Los puntos de intersección entre las curvas se hallan igualando las ecuaciones: - Punto de intersección entre x2 = 9y – 81  x2 = 4y – 16 9y – 81 = 4y – 16 → y = 13 → x =  6 - Punto de intersección entre x2 = 4y – 16  x2 = y – 1 4y – 16 = y – 1 → y = 5 → x =  2 - Punto de intersección entre x2 = 9y – 81  x2 = y – 1 9y – 81 = y – 1 → y = 10 → x  3  Del gráfico podemos ver que el área es igual A:                +++            +−+= 3 2 6 3 222 2 4 4 9 9 4 4 1 dx xx dx x x A = 4 - 124 3 40 27 4 81 4512 3 40 ++−−−++ A = 12 37 16. Calcular el área A de y3 = x2 (parábola semicubica) y la cuerda que une los puntos (-1,1) y (8,4) Resolución A =  −       − + 8 1 3/2 3 4 dxx x A = ( ) − −+ 8 1 3/234 3 1 dxxx A =    − − − −+ 8 1 8 1 8 1 3/2 3 4 3 1 dxxdxxdx A = 8 1 3/58 1 8 1 2 5 3 3 4 23 1 −−− −+xxx A = 5 99 3 36 6 63 −+ A = 5 99 6 135 − A = 30 81 A = 10 27 u2 17. Hallar el área A de la región limitada por las curvas: y = sen2x, y = cos2x, x = 0, x= Resolución A = 8 ( ) − 4 0 22cos  dxxsenx A = 8   0 2cos xdx A = 4u2 18. Hallar el área A de la región limitada por las curvas: y = ex y = ( )21 1 x+ eje y, x = 1. Resolución A =    +++ −−−    0 2 3 2 .......||||||