CALCULO DE AREAS DE REGIONES PLANAS CERRADAS DADA EN COORDENADAS PARAMETRICAS A) Si las curvas están orientadas en sentido antihorario (+): Existen 3 formulas: Sea C(t) = ( X (t), Y (t) ) es una curva cerrada tal que C(t1) = C(t2) y t1 < t2, entonces el área de la región encerrada por dicha curva esta dado por: 1. A = ∫ 1 2 )()(´ t t dttXtY 2. A = - ∫ 1 2 )(´)( t t dttXtY Sumando 1 con 2 tenemos: 2 A = ( )∫ − 2 1 )(´)()()(´ t t dttXtYtXtY A = ( )∫ − 2 1 )(´)()()(´ 2 1 t t dttXtYtXtY Acomodando la expresión: 3.- A = ( )∫ 2 1 ´)´( )()( 2 1 t t dt tYtX tYtX Al operar de esta forma hay que derivar X´(t) y Y´ (t) , se utiliza mas en potencias de senos y cosenos. B) Si la curva esta orientada en sentido horario (-) , entonces las formulas anteriores son validos si la anteponemos el signo (-) ❖ Ejemplos: 1) Hallar el área encerrada por la curva: C(t) = (t2 - 2t, t3 - 12t) Solución: ( ) ( )42 CCcomo =−→ ( ) ∫ −− =→ 4 2 2 32 12322 122 2 1 dt tt tt A t ( ) ( ) ( ) ( )( )∫ −−−−=→ 4 2 322 121221232 2 1 dtttttttA t ( ) 4 2 3 4 2 3 4 2 2 32 4 32 12 52 1 −−− →− =→ ttt A t ( ) → tA 2 5 648 uA t =→ 2) Hallar el área encerrada por la curva C( t ) = (t2 – t, t3 – 3t) Solución: )2()1( CC =−→ ( ) 2 1 =→ tA ∫ − 2 1 dt tt tt 3312 3 2 32 −− −− ( ) 2 1 =→ tA ∫ − 2 1 - ( ) ( ) ( ) ( )dttttttt 12333 322 −−−−− ( ) 2 1 =→ tA ∫ − 2 1 (3t4 - 3t2 – 3t3 + 3t – 2t4 + t3 + 6t2 – 3t) dt ( ) 2 1 =→ tA ∫ − 2 1 (t4 + 3t2 – 2t3) dt = 1 1 41 1 31 1 5 432 3 5 −−− →−−− →− ttt A ( ) 2 1 =→ tA → tA 3 3 3 3 3 23 3 53 3 4 2 3 5 3 4 3 −−−− −+− t ttt A(t) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) →−−− →−−− →−−− →− ttt 332255 4 4 3333 2 3 33 5 3 33 4 3 ( ) 2 5 372 uA t =∴ b) x = t - t2 ; Y = t3 - 3t Solucion: Hallando puntos multiples ( ) ( )31,268,4212 +−−=−−→−=∴ tt ( ) =→ tA ∫ − 2 1 (t – t2) (3t2 - 3) dt ( ) =→ tA ∫ − 2 1 (3 t3 – 3t – 3t4 + 3t2 ) dt ( ) =→ tA 1 1 3 1 1 5 1 1 2 1 1 4 5 3 2 3 4 3 −−−− −−− tttt A = 8 3ab 14 2 3 116 4 3 +−+−−− ( ) =→ tA 2 20 81 u RESOLUCION DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Hallar el área A de las regiones limitadas por las siguientes curvas cerradas C: ( todas las constantes son consideradas positivas). a) x = a Cos t, y = b Sen t (Elipse) Solución: x = 0 → t = AAt 4 2 = π x = a → t = 0 A = ∫ 2 0 π (b Sen t) (a Sen t) dt A = ab ∫ 2 0 π (Sen2 t) dt A = 0 8 2 2 2 π − tSen t ab A = 4 πab At = ab π u2 b) x = a Cos3 t , y = b Sen3 t (Astroide) Solucion: x = 0 → t = AAt 4 2 = π x = a → t = 0 A = 3 ab ∫ 2 0 π (Cos2 t Sen 2 t ) dt A = 3 ab ∫ 2 0 π dt t CostCos 22 2 21 2 21 + − t Sent Sent n Se t A = 8 3ab ∫ 2 0 π (1 – Cos 2t + Cos2 2t + Cos 2t – 2 Cos2 2t + Cos3 2t) dt A = 8 3ab ∫ 2 0 π (1 – Cos 2t – Cos2 + Cos3 2t) dt A = 8 3ab 0 8 3 6 2 2 2 2 4 2 4 1 2 2 π − + t Sent Sent n Se t A = 8 3ab 0 8 2 π − t A = 32 3 πba