introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-83

Vista previa del material en texto

Su modelo puede no siempre ajustar perfectamente la situación experimental, pero debe 
tratar de escoger un modelo que mejor se ajuste al histograma de frecuencia relativa 
poblacional. Cuanto mejor se aproxime el modelo a la realidad, mejores serán las inferen-
cias. Por fortuna, muchas variables aleatorias continuas tienen distribuciones de fre-
cuencia de forma de montículo, por ejemplo los datos de la figura 6.1d). La distribución 
normal de probabilidad da un buen modelo para describir este tipo de datos.
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 
DE PROBABILIDAD
Las distribuciones de probabilidad continua pueden tomar varias formas, pero un gran 
número de variables aleatorias observadas en la naturaleza poseen una distribución de 
frecuencia que tiene más o menos la forma de montículo, o bien, como diría un esta-
dístico, es aproximadamente una distribución normal de probabilidad. La fórmula que 
genera esta distribución se muestra a continuación.
DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD
f (x) � 1 ______ 
s �
___
 2p 
 e�(x�m)
2/(2s2) �	 � x � 	
Los símbolos e y p son constantes matemáticas dadas en forma aproximada por 
2.7183 y 3.1416, respectivamente; m y s (s � 0) son parámetros que representan la 
media poblacional y desviación estándar, respectivamente.
La gráfica de una distribución normal de probabilidad con media m y desviación 
estándar s se muestran en la figura 6.5. La media m localiza el centro de la distribución, 
y la distribución es simétrica alrededor de su media m. Como el área total bajo la distri-
bución normal de probabilidad es igual a 1, la simetría implica que el área a la derecha 
de m es .5 y el área a la izquierda de m es también .5. La forma de la distribución está de-
terminada por s, la desviación estándar de la población. Como se puede ver en la figura 
6.6, valores grandes de s reducen la altura de la curva y aumentan la dispersión; valo-
res pequeños de s aumentan la altura de la curva y reducen la dispersión. La figura 6.6 
muestra tres distribuciones normales de probabilidad con diferentes medias y desviacio-
nes estándar. Nótense las diferencias en forma y ubicación.
6.2
FIGURA 6.5
Distribución normal 
de probabilidad
●
x
f(x)
μ – σ μ + σμ 
El área a la izquierda de 
la media es igual a .5
El área a la derecha de 
la media es igual a .5
 6.2 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD ❍ 223
Probabilidad_Mendenhall_06.indd 223Probabilidad_Mendenhall_06.indd 223 5/14/10 8:18:15 AM5/14/10 8:18:15 AM
 www.FreeLibros.me
224 ❍ CAPÍTULO 6 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD
FIGURA 6.6
Distribuciones normales de 
probabilidad con valores 
de m y s que difi eren
●
x
f(x)
FIGURA 6.7
Applet Visualizing 
Normal Curves 
(Visualizar Curvas 
Normales)
●
APPLETMIMI
El applet Java llamada Visualizing Normal Curves (Visualizar Curvas Normales) 
da una imagen visual de la distribución normal para valores de m entre �10 y 
8 
y para valores de s entre .5 y 1.8. La curva azul oscuro es la normal estándar z con 
media 0 y desviación estándar 1. Se puede usar este applet para comparar su forma 
con la forma de otras curvas normales (la curva roja en su monitor, azul claro en la 
figura 6.7) al mover los cursores para cambiar la media y desviación estándar. ¿Qué 
ocurre cuando se cambia la media? ¿Y cuando se cambia la desviación estándar?
Raras veces se encuentra una variable con valores que sean infinitamente pequeños 
(�	) o infinitamente grandes (
	). Aun así, muchas variables aleatorias positivas (por 
ejemplo estaturas, pesos y tiempos) tienen distribuciones que son bien aproximadas 
por una distribución normal. De acuerdo con la Regla empírica, casi todos los valores de 
una variable aleatoria normal se encuentran en el intervalo m � 3s. Mientras los valores 
dentro de tres desviaciones estándar de la media sean positivos, la distribución normal 
da un buen modelo para describir los datos.
Probabilidad_Mendenhall_06.indd 224Probabilidad_Mendenhall_06.indd 224 5/14/10 8:18:15 AM5/14/10 8:18:15 AM
 www.FreeLibros.me
ÁREAS TABULADAS DE LA DISTRIBUCIÓN 
NORMAL DE PROBABILIDAD
Para hallar la probabilidad de que una variable aleatoria normal x se encuentre en el 
intervalo de a a b, necesitamos hallar el área bajo la curva normal entre los puntos 
a y b (véase la figura 6.2). No obstante (véase la figura 6.6), hay un número infinita-
mente grande de distribuciones normales, uno para cada media y desviación estándar 
diferentes. Una tabla separada de áreas para cada una de estas curvas es obviamen-
te impráctica; en cambio, usamos un procedimiento de estandarización que nos permite 
usar la misma tabla para todas las distribuciones normales.
La variable aleatoria normal estándar
Una variable aleatoria normal x está estandarizada al expresar su valor como el número 
de desviaciones estándar (s) que se encuentran a la izquierda o derecha de su media 
m. Éste es realmente sólo un cambio en las unidades de medida que usamos, como si 
estuviéramos midiendo en pulgadas en lugar de pies. La variable aleatoria normal estan-
darizada, z, se define como
z � 
x �
s
 m
o bien, lo que es equivalente,
x � m 
 zs
De la fórmula para z, podemos sacar estas conclusiones:
• Cuando x es menor que la media m, el valor de z es negativo.
• Cuando x es mayor que la media m, el valor de z es positivo.
• Cuando x � m, el valor de z � 0.
La distribución de probabilidad para z, ilustrada en la figura 6.8, se denomina dis-
tribución normal estandarizada porque su media es 0 y su desviación estándar es 1. 
Los valores de z del lado izquierdo de la curva son negativos, en tanto que los del lado 
derecho son positivos. El área bajo la curva normal estándar a la izquierda de un valor 
especificado de z, por ejemplo z0, es la probabilidad P(z � z0). Esta área acumulati-
va está registrada en la tabla 3 del apéndice I y se muestra como el área sombreada en 
la figura 6.8. Una versión abreviada de la tabla 3 se da en la tabla 6.1. Observe que la 
tabla contiene valores positivos y negativos de z. La columna izquierda de la tabla da el 
valor de z correcto al décimo lugar; el segundo lugar decimal para z, correspondiente a 
las centenas, se da en el renglón superior.
6.3
El área bajo la curva z es 
igual a 1.
CONSEJOMIMI
FIGURA 6.8
Distribución normal 
estandarizada
●
z
f(z)
0 z0(–) (+)
 6.3 ÁREAS TABULADAS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD ❍ 225
Probabilidad_Mendenhall_06.indd 225Probabilidad_Mendenhall_06.indd 225 5/14/10 8:18:15 AM5/14/10 8:18:15 AM
 www.FreeLibros.me
	6 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD
	6.2 La distribución normal de probabilidad
	6.3 Áreas tabuladas de la distribución normal de probabilidad
	La variable aleatoria normal estándar