introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-141

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10.3 INFERENCIAS DE MUESTRA PEQUEÑA RESPECTO A UNA MEDIA POBLACIONAL ❍ 397
APLICACIONES
10.6 Atunes ¿Hay diferencia en los 
precios del atún, dependiendo del método de 
empaque? Consumer Reports da el precio promedio 
estimado para una lata de 6 onzas o bolsa de 7.06 onzas 
de atún, con base en precios pagados a nivel nacional 
en supermercados.1 Estos precios están registrados para 
varias marcas diferentes de atún.
Atún claro Atún blanco Atún blanco Atún claro
en agua en aceite en agua en aceite
 .99 .53 1.27 1.49 2.56 .62
1.92 1.41 1.22 1.29 1.92 .66
1.23 1.12 1.19 1.27 1.30 62
 .85 .63 1.22 1.35 1.79 .65
 .65 .67 1.29 1.23 .60
 .69 .60 1.00 .67
 .60 .66 1.27 
 1.28 
Fuente: Estudio práctico “Pricing of Tuna” Copyright 2001 por Consumers Union of U.S.Inc., 
Yonkers, NY 10703-1057, organización sin fi nes de lucro. Reimpreso con permiso de la 
edición de junio de 2001 de Consumer Report® sólo con fi nes educativos. No se permite 
uso comercial ni reproducción. www.ConsumerReports.org®.
Suponga que las marcas de atún incluidas en este estudio 
representan una muestra aleatoria de todas las marcas de 
atún disponibles en Estados Unidos.
a. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para el 
precio promedio para atún claro en agua. Interprete 
este intervalo. Esto es, ¿a qué se refiere ese “95%”?
b. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para el 
precio promedio del atún blanco en aceite. ¿Cómo se 
compara el ancho de este intervalo con el ancho del 
intervalo del inciso a)? ¿Puede explicar por qué?
c. Encuentre intervalos de confianza de 95% para las 
otras dos muestras (atún blanco en agua y atún claro en 
aceite). Grafique las cuatro medias de tratamiento y sus 
errores estándar en una gráfica bidimensional semejante 
a la figura 8.5. ¿Qué clase de comparaciones generales 
pueden hacerse acerca de los cuatro tratamientos? 
(Analizaremos el procedimiento para comparar más de 
dos medias poblacionales en el capítulo 11.)
10.7 Contenido de O2 disuelto Los desechos 
industriales y residuales descargados en nuestros ríos y 
arroyos absorben oxígeno y, por tanto, reducen la cantidad 
de oxígeno disuelto disponible para peces y otras formas de 
fauna acuática. Una agencia estatal requiere un mínimo 
de 5 partes por millón (ppm) de oxígeno disuelto para 
que el contenido de oxígeno sea sufi ciente para sostener 
vida acuática. Seis especímenes de agua tomados de un 
río en un lugar específi co durante la estación de aguas 
bajas (julio) dio lecturas de 4.9, 5.1, 4.9, 5.0, 5.0 y 4.7 de 
 EJERCICIOS10.3
TÉCNICAS BÁSICAS
10.1 Encuentre los siguientes valores t en la tabla 4 del 
apéndice I:
a. t.05 para 5 df b. t.025 para 8 df
c. t.10 para 18 df d. t.025 para 30 df
10.2 Encuentre el (los) valor(es) crítico(s) de t que 
especifi quen la región de rechazo en estas situaciones:
a. Una prueba de dos colas con a � .01 y 12 df.
b. Una prueba de cola derecha con a � .05 y 16 df.
c. Una prueba de dos colas con a � .05 y 25 df.
d. Una prueba de cola izquierda con a � .01 y 7 df.
10.3 Use la tabla 4 del apéndice I para aproximar el 
valor p para la estadística t en cada situación:
a. Una prueba de dos colas con t � 2.43 y 12 df.
b. Una prueba de cola derecha con t � 3.21 y 16 df.
c. Una prueba de dos colas con t � �1.19 y 25 df.
d. Una prueba de cola izquierda con t � �8.77 y 7 df.
10.4 Califi caciones de examen Las 
califi caciones en un examen de 100 puntos, 
registradas para 20 estudiantes:
71 93 91 86 75
73 86 82 76 57
84 89 67 62 72
77 68 65 75 84
a. ¿Puede usted suponer razonablemente que estas 
calificaciones de examen han sido seleccionadas de 
una población normal?
b. Calcule la media y desviación estándar de las 
calificaciones.
c. Si estos estudiantes pueden ser considerados como 
muestra aleatoria de la población de todos los 
estudiantes, encuentre un intervalo de confianza de 
95% para el promedio de calificaciones de examen 
de la población.
10.5 Las siguientes n � 10 observaciones son una 
muestra de una población normal:
7.4 7.1 6.5 7.5 7.6 6.3 6.9 7.7 6.5 7.0
a. Encuentre la media y desviación estándar de estos 
datos.
b. Encuentre un límite superior de confianza de una cola, 
de 99%, para la media poblacional m.
c. Pruebe H0 : m � 7.5 contra Ha : m � 7.5. Use a � .01.
d. ¿Los resultados del inciso b) apoyan sus conclusiones 
del inciso c)?
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398 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
oxígeno disuelto. ¿Los datos dan sufi ciente evidencia para 
indicar que el contenido de oxígeno disuelto es menor a 
5 ppm? Pruebe usando a � .05.
10.8 Langostas En un estudio de la infestación de 
la langosta Thenus orientalis por dos tipos de lapas, 
Octolasmis tridens y O. lowei, se midieron las longitudes 
del caparazón (en milímetros) de 10 langostas seleccionadas 
al azar pescadas en los mares cerca de Singapur:2
78 66 65 63 60 60 58 56 52 50
Encuentre un intervalo de confi anza de 95% para la 
longitud media del caparazón de langostas T. orientalis.
10.9 Fumar y capacidad pulmonar Es un 
hecho reconocido que fumar tiene un efecto dele-
téreo en la función pulmonar. En un estudio del efecto de 
fumar sobre la capacidad de difusión de monóxido 
de carbono (DL) del pulmón, unos investigadores 
encontraron que los fumadores actuales tenían lecturas de 
DL considerablemente más bajas que otros que habían sido 
fumadores o que son no fumadores. Las capacidades de 
difusión de monóxido de carbono para una muestra aleatoria 
de n � 20 fumadores actuales aparecen a continuación: 
103.768 88.602 73.003 123.086 91.052
 92.295 61.675 90.677 84.023 76.014
100.615 88.017 71.210 82.115 89.222
102.754 108.579 73.154 106.755 90.479
a. ¿Estos datos indican que la lectura media de DL para 
fumadores actuales es considerablemente más baja 
que 100 DL, que es el promedio para no fumadores? 
Use a � .01.
b. Encuentre un límite superior de confianza de una cola 
de 99% para la lectura media de DL para fumadores 
actuales. ¿Este límite confirma las conclusiones del 
inciso a)?
10.10 Brett Favre En el ejercicio 2.36 
(EX0236), el número de pases completos por Brett 
Favre, mariscal de campo de los Empacadores de Green 
Bay, fue registrado para cada uno de los 16 juegos regulares 
de la temperada en el verano de 2006 (ESPN.com).3
15 31 25 22 22 19
17 28 24 5 22 24
22 20 26 21
a. Una gráfica de tallo y hoja de las n � 16 
observaciones se muestra a continuación:
Gráfi ca de tallo y hoja: Favre
Stem-and-leaf of Favre N = 16
Leaf Unit = 1.0
LO 5
 2 1 5
 3 1 7
 4 1 9
 6 2 01
(4) 2 2222
 6 2 445
 3 2 6
 2 2 8
 1 3 1
Con base en esta gráfi ca, ¿es razonable suponer que la 
población original es aproximadamente normal, como se 
requiere para la prueba t de una muestra? Explique.
b. Calcule la media y desviación estándar para los pases 
completos por juego de Brett Favre.
c. Construya un intervalo de confianza de 95% para 
estimar los pases completos por juego de Brett Favre.
10.11 Purifi cación de un compuesto orgánico Es 
frecuente que químicos orgánicos purifi quen compuestos 
orgánicos por un método conocido como cristalización 
fraccional. Un experimentador deseaba preparar y 
purifi car 4.85 gramos (g) de anilina. Diez cantidades 
de anilina de 4.85 g fueron preparadas y purifi cadas 
individualmente a acetanilido. Se registraron los 
siguientes rendimientos en seco:
3.85 3.80 3.88 3.85 3.90
3.36 3.62 4.01 3.72 3.82
Estime la cantidad media en gramos de acetanilido que 
pueda ser recuperada de una cantidad inicial de 4.85 g de 
anilina. Use un intervalo de confi anza de 95%.
10.12 Compuestos orgánicos, continúa Consulte 
el ejercicio 10.11. ¿Aproximadamente cuántos 
especímenes de 4.85 g de anilina se requieren, si se 
desea estimar el número medio de gramos de acetanilido 
correcto a no más de .06 g con probabilidad iguala .95?
10.13 Bulimia Aun cuando hay muchos tratamientos 
para la bulimia nerviosa, algunas personas no se 
benefi cian del tratamiento. En un estudio para determinar 
qué factores pronostican quién se benefi ciará del 
tratamiento, un artículo en el British Journal of Clinical 
Psychology indica que la autoestima es uno de estos 
importantes pronosticadores.4 La tabla siguiente da 
la media y desviación estándar de califi caciones de 
autoestima para tratamiento, después del tratamiento y 
durante un seguimiento:
 Antes del trat. Después del trat. Seguimiento
Media muestral x� 20.3 26.6 27.7
Desviación estándar s 5.0 7.4 8.2
Tamaño muestral n 21 21 20
a. Use una prueba de hipótesis para determinar si hay 
suficiente evidencia para concluir que la media 
verdadera de tratamiento es menor a 25.
b. Construya un intervalo de confianza de 95% para la 
media verdadera después de tratamiento.
c. En la sección 10.4, introduciremos técnicas de 
muestra pequeña para hacer inferencias acerca de 
la diferencia entre dos medias poblacionales. Sin la 
formalidad de una prueba estadística, ¿qué está usted 
dispuesto a concluir acerca de las diferencias entre las 
tres medias poblacionales muestreadas representadas 
por los resultados de la tabla?
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10.4 INFERENCIAS DE MUESTRA PEQUEÑA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES: MUESTRAS ALEATORIAS INDEPENDIENTES ❍ 399
10.14 Cantidades de RBC A continuación 
veamos las cantidades de células rojas 
sanguíneas (en 106 células por microlitro) de una 
persona sana, medidas en cada uno de 15 días:
5.4 5.2 5.0 5.2 5.5
5.3 5.4 5.2 5.1 5.3
5.3 4.9 5.4 5.2 5.2
Encuentre una estimación de m del intervalo de confi anza 
de 95%, la verdadera cantidad media de células rojas 
sanguíneas durante el periodo de prueba.
10.15 Carne para hamburguesa Estos 
datos son los pesos (en libras) de 27 paquetes 
de carne molida en un exhibidor de carnes de un 
supermercado:
1.08 .99 .97 1.18 1.41 1.28 .83
1.06 1.14 1.38 .75 .96 1.08 .87
 .89 .89 .96 1.12 1.12 .93 1.24
 .89 .98 1.14 .92 1.18 1.17
a. Interprete las salidas impresas siguientes del MINITAB 
para los procedimientos de prueba de una muestra y de 
estimación.
Salidas impresas del MINITAB para el ejercicio 10.15
T de una muestra: Peso
Test of mu = 1 vs not = 1
Variable N Mean StDev SE Mean
Weight 27 1.0522 0.1657 0.0319
Variable 95% CI T P
Weight (0.9867, 1.1178) 1.64 0.113
b. Verifique los valores calculados de t y los límites de 
confianza superiores e inferiores.
10.16 Colesterol A continuación aparecen 
los niveles de colesterol seroso de 50 personas 
seleccionadas al azar de entre los datos del L.A. Heart 
Data, de un estudio epidemiológico de enfermedades del 
corazón en empleados del condado de Los Ángeles.5
148 304 300 240 368 139 203 249 265 229
303 315 174 209 253 169 170 254 212 255
262 284 275 229 261 239 254 222 273 299
278 227 220 260 221 247 178 204 250 256
305 225 306 184 242 282 311 271 276 248
a. Construya un histograma para los datos. ¿Los datos 
tienen forma de montículo?
b. Use una distribución t para construir un intervalo 
de confianza de 95% para los niveles promedio de 
colesterol seroso para empleados del condado 
de Los Ángeles.
10.17 Colesterol, continúa Consulte el ejercicio 
10.16. Como n � 30, use los métodos del capítulo 8 
para crear un intervalo de confi anza de 95% de muestra 
grande para el nivel promedio de colesterol seroso 
para empleados del condado de Los Ángeles. Compare 
los dos intervalos. (SUGERENCIA: Los dos intervalos 
deben ser muy semejantes. Ésta es la razón por la que 
escogimos aproximar la distribución muestral de
 
x� � m______ 
s/ �
__
 n 
 con una distribución z cuando n � 30.)
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10.4
INFERENCIAS DE MUESTRA PEQUEÑA 
PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS 
MEDIAS POBLACIONALES: MUESTRAS 
ALEATORIAS INDEPENDIENTES
El escenario físico para el problema considerado en esta sección es el mismo que el de 
la sección 8.6, excepto que los tamaños muestrales ya no son grandes. Muestras alea-
torias independientes de n1 y n2 mediciones se sacan de dos poblaciones, con medias y 
varianzas m1, s
2
1, m2 y s
2
2, y el objetivo del experimentador es hacer inferencias acerca 
de (m1 � m2), la diferencia entre las dos medias poblacionales.
Cuando los tamaños muestrales son pequeños, ya no se puede confiar en el teorema 
del límite central para asegurar que las medias muestrales sean normales, pero, si las 
poblaciones originales son normales, entonces la distribución muestral de la diferencia 
en las medias muestrales, (x�1 � x�2), será normal (incluso para muestras pequeñas) con 
media (m1 � m2) y error estándar
��sn1
2
1
� � �
s
n2
2
2
�
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	10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
	10.3 Inferencias de muestra pequeña respecto a una media poblacional
	Ejercicios
	10.4 Inferencias de muestra pequeña para la diferencia entre dos medias poblacionales: muestras aleatorias independientes