introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-227

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APLICACIONES
15.34 Sitios pantanosos II El ejercicio 11.13 
presenta datos (véase el conjunto de datos EX1113) sobre 
la rapidez de crecimiento de vegetación en cuatro lugares 
pantanosos y no urbanizados. Se seleccionaron al azar 
seis plantas en cada uno de los cuatro sitios para usarlas 
en la comparación. Los datos son la longitud media 
de hojas por planta (en centímetros) para una muestra 
aleatoria de 10 hojas por planta.
Lugar Longitud media de hoja (cm)
1 5.7 6.3 6.1 6.0 5.8 6.2
2 6.2 5.3 5.7 6.0 5.2 5.5
3 5.4 5.0 6.0 5.6 4.9 5.2
4 3.7 3.2 3.9 4.0 3.5 3.6
a. ¿Los datos aportan suficiente evidencia para 
indicar una diferencia en lugar para al menos dos 
de las distribuciones de longitud media de hoja 
correspondientes a los cuatro lugares? Pruebe usando 
la prueba H de Kruskal-Wallis con a � .05.
b. Encuentre el valor p aproximado para la prueba.
c. Analizamos este mismo conjunto de datos en el ejercicio 
11.13 usando un análisis de varianza. Encuentre el valor 
p para la prueba F usado para comparar las cuatro medias 
de lugar en el ejercicio 11.13.
d. Compare los valores p en los incisos b) y c) y explique 
las implicaciones de la comparación.
15.35 Frecuencia cardiaca y ejercicio El ejercicio 
11.60 presentó datos (conjunto de datos EX1160) 
sobre las frecuencias para muestras de 10 hombres 
seleccionados al azar de cada uno de los cuatro grupos de 
edades. Cada hombre se ejercitó en una caminadora a un 
ritmo fijo durante 12 minutos, registrándose el aumento 
de frecuencia (la diferencia antes y después del ejercicio, 
en pulsaciones por minuto). Los datos se presentan en la 
tabla siguiente:
 10-19 20-39 40-59 60-69
 29 24 37 28
 33 27 25 29
 26 33 22 34
 27 31 33 36
 39 21 28 21
 35 28 26 20
 33 24 30 25
 29 34 34 24
 36 21 27 33
 22 32 33 32
Total 309 275 295 282
a. ¿Los datos presentan suficiente evidencia para indicar 
diferencias de ubicación para al menos dos de los 
cuatro grupos de edad? Pruebe usando la prueba H de 
Kruskal-Wallis con a � .01.
b. Encuentre el valor p aproximado para la prueba del 
inciso a).
c. Como la prueba F del ejercicio 11.60 y la prueba H 
del inciso a son pruebas para detectar diferencias en 
la ubicación de las cuatro poblaciones de frecuencia 
cardiaca, ¿cómo se comparan los resultados de la 
prueba? Compare los valores p para las dos pruebas y 
explique las implicaciones de la comparación.
15.36 Niveles de pH en el agua Un 
muestreo de acidez de agua de lluvia para 10 
aguaceros seleccionados al azar se registró en tres lugares 
diferentes en Estados Unidos: el noreste, la región media 
del Atlántico y el sureste. Las lecturas de pH para estas 
10 lluvias se muestran en la tabla. (nota: Las lecturas de 
pH van de 0 a 14; 0 es ácida, 14 es alcalina. El agua pura 
que cae en aire limpio tiene una lectura de pH de 5.7.)
Noreste Atlántico medio Sureste
4.45 4.60 4.55
4.02 4.27 4.31
4.13 4.31 4.84
3.51 3.88 4.67
4.42 4.49 4.28
3.89 4.22 4.95
4.18 4.54 4.72
3.95 4.76 4.63
4.07 4.36 4.36
4.29 4.21 4.47
a. ¿Los datos presentan suficiente evidencia para indicar 
diferencias en los niveles de acidez en lluvias en los 
tres diferentes lugares? Pruebe usando la prueba H de 
Kruskal-Wallis.
b. Encuentre el valor p aproximado para la prueba del 
inciso a e interprétela.
15.37 Campañas publicitarias Los 
resultados de un experimento para investigar 
el reconocimiento de productos, durante tres campañas 
publicitarias, se informaron en el ejemplo 11.14. Las 
respuestas fueron el porcentaje de 400 adultos que 
estaban familiarizados con el producto recién anunciado. 
La gráfica de probabilidad normal indicó que los datos 
no eran aproximadamente normales y debía usarse otro 
método de análisis. ¿Hay una diferencia significativa 
entre las tres distribuciones poblacionales de donde 
vinieron estas muestras? Use un método no paramétrico 
apropiado para contestar esta pregunta.
 Campaña
1 2 3
.33 .28 .21
.29 .41 .30
.21 .34 .26
.32 .39 .33
.25 .27 .31
DATOSMISMIS
EX1536
DATOSMISMIS
EX1537
 15.6 LA PRUEBA H DE KRUSKAL-WALLIS PARA DISEÑOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS ❍ 655
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656 ❍ CAPÍTULO 15 ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS
LA PRUEBA Fr DE FRIEDMAN PARA 
DISEÑOS DE BLOQUE ALEATORIZADOS
La prueba Fr de Friedman, propuesta por Milton Friedman, economista ganador del 
Premio Nobel, es una prueba no paramétrica para comparar las distribuciones de medi-
ciones para k tratamientos diseñados en n bloques usando un diseño aleatorizado de 
bloques. El procedimiento para realizar la prueba es muy semejante al empleado para la 
prueba H de Kruskal-Wallis. El primer paso en el procedimiento es ordenar las k obser-
vaciones de tratamiento dentro de cada bloque. Los empates se tratan en la forma usual; 
es decir, reciben un promedio de los rangos ocupados por las observaciones empatadas. 
Las sumas de rango T1, T2, …, Tk se obtienen entonces y el estadístico de prueba
Fr � bk(k
1
 
2
� 1)
 S T i
2 � 3b(k � 1)
se calcula. El valor del estadístico Fr está en un mínimo cuando las sumas de rango son 
iguales, esto es, T1 � T2 � � � � � Tk y aumenta en valor cuando aumentan las dife-
rencias entre las sumas de rango. Cuando el número k de tratamientos o el número b 
de bloques sea mayor a cinco, la distribución muestral de Fr puede ser aproximada por 
una distribución ji cuadrada con (k � 1) df. Por tanto, al igual que para la prueba H de 
Kruskal-Wallis, la región de rechazo para la prueba Fr está formada por valores de Fr 
para los cuales
Fr � x
2
a
Supongamos que se desea comparar los tiempos de reacción de personas expuestas 
a seis estímulos diferentes. Una medición del tiempo de reacción se obtiene al someter a 
una persona a un estímulo y luego medir el tiempo hasta que la persona presente alguna 
reacción especifi cada. El objetivo del experimento es determinar si existen diferencias en 
los tiempos de reacción para los estímulos empleados en el experimento. Para eliminar 
la variación de una persona a otra en el tiempo de reacción, cuatro personas participaron 
en el experimento y el tiempo de reacción de cada persona se registró para cada uno de 
los seis estímulos. Los datos se dan en la tabla 15.10 (los rangos de las observaciones 
se muestran entre paréntesis). Use la prueba Fr de Friedman para determinar si los datos 
presentan sufi ciente evidencia para indicar diferencias en las distribuciones de tiem-
pos de reacción para los seis estímulos. Pruebe usando a � .05.
TABLA 15.10 
●
 Tiempos de reacción a seis estímulos
 Estímulos
Persona A B C D E F
1 .6 (2.5) .9 (6) .8 (5) .7 (4) .5 (1) .6 (2.5)
2 .7 (3.5) 1.1 (6) .7 (3.5) .8 (5) .5 (1.5) .5 (1.5)
3 .9 (3) 1.3 (6) 1.0 (4.5) 1.0 (4.5) .7 (1) .8 (2)
4 .5 (2) .7 (5) .8 (6) .6 (3.5) .4 (1) .6 (3.5)
Suma de rango T1 � 11 T2 � 23 T3 � 19 T4 � 17 T5 � 4.5 T6 � 9.5
Solución En la figura 15.9, la gráfica de los residuales para cada uno de los seis 
estímulos deja ver que los estímulos 1, 4 y 5 tienen varianzas un poco menores que los 
otros estímulos. Además, la gráfica de probabilidad normal de los residuales revela un 
cambio en la pendiente de la recta que sigue a los primeros tres residuales, así como la 
curvatura en la parte superior de la gráfica. Parece que un análisis no paramétrico es 
apropiado para estos datos.
15.7
E J E M P L O 15.8
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Se desea probar
H0 : Las distribuciones de tiempos de reacción para los seis estímulos son idénticas
contra la hipótesis alternativa
Ha : Al menos dos de las distribuciones de tiempos de reacción para los seis estímu-
los difi eren en ubicación
La tabla 15.10 muestra los rangos (en paréntesis) de las observaciones dentro de cada 
bloque y las sumas de rango para cada uno de los seis estímulos (los tratamientos).El 
valor del estadístico Fr para estos datos es
Fr � bk(k
1
 
2
� 1)
 S T i
2 � 3b(k � 1)
 � 
(4)(
1
6
2
)(7)
 [(11)2 � (23)2 � (19)2 � � � � � (9.5)2] � 3(4)(7)
 � 100.75 � 84 � 16.75
Como el número k � 6 de tratamientos excede de cinco, la distribución de muestreo de 
Fr puede ser aproximada por una distribución ji cuadrada con (k � 1) � (6 � 1) � 5 df. 
Por tanto, para a � .05, se puede rechazar H0 si
Fr � x
2
.05 donde x
2
.05 � 11.0705
FIGURA 15.9
Una gráfi ca de 
tratamientos contra 
residuales y una gráfi ca de 
probabilidad normal 
de residuales para el 
ejemplo 15.8
●
0.10
0.05
0.00
�0.05
�0.10
�0.15
�0.20
1 2 3 4 5 6
Estímulo
Residuales contra estímulos
(la respuesta es tiempo)
R
es
id
ua
l
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
�0.2 �0.1 0.0 0.1 0.2
Residual
Gráfica de probabilidad normal de los residuales 
(la respuesta es tiempo)
P
or
ce
nt
aj
e
 15.7 LA PRUEBA Fr DE FRIEDMAN PARA DISEÑOS DE BLOQUE ALEATORIZADOS ❍ 657
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	15 ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS
	15.7 La prueba Fr de Friedman para diseños de bloque aleatorizados