MATEX cv 2010 1-10

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10
unI 2010 -I Academia CÉSAR VALLEJO
Resolución
Tema
Matrices
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contexto
Para determinar potencias de una matriz, una de 
las formas es mediante el polinomio característico: 
P(x).
Si A ∈ Rn×n: P(x)=det(A	–	xI)
Hallemos el polinomio característico de A.
P(x)=det(A	–	xI)
 
P
x
x
x
x( ) =
− − −









−










1 1 1
0 0 0
0 0 1
0 0
0 0
0 0
 
P
x
x
x
x( ) =
− −( ) − −
−
−( )
1 1 1
0 0
0 0 1
 P(x)=x	–	x3
Entonces, P(A)=A	–	A3=f			(f:	matriz nula)
 ↔ A3=A ↔ A3k=A; ∀ k ∈ Z+
Reemplazamos en A42+A55=(A3)14+(A3)18A
 =A+(A)A=A+A2
Determinamos 
A2
1 1 1
0 0 0
0 0 1
1 1 1
0 0 0
0 0 1
1 1 0
0 0 0
0 0 1
=
− − −









− − −









=










→ A A2
1 1 1
0 0 0
0 0 1
1 1 1
0 0 0
0 0 1
+ =










+
− − −









 =
−









0 0 1
0 0 0
0 0 2
Respuesta
La matriz A42+A55 es 
0 0 1
0 0 0
0 0 2
−









 AlternAtivA B
Pregunta N.º 15
Dado el sistema 
2x –	y+z=1
x+4y+2z=–	1
¿Cuál de las siguientes ecuaciones
I. x	–	5y –	z=2,
II. 3x+3y+3z=2,
III. 5x+2y+4z=1,
puede agregarse al sistema anterior de modo que 
el conjunto solución no varíe?
A) solo I B) I y II C) I y III
D) solo II E) solo III
Resolución
Tema
Sistema de ecuaciones lineales
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contexto
Una característica de los sistemas es que si 
sumamos o restamos las ecuaciones en una 
cantidad finita no se altera el conjunto solución.