Si una función alcanza un extremo relativo en x = x0, la derivada 1º en ese punto es 0. Eso se deve a que si f ' (x0) fuese < 0, la função sería decreciente en ese punto, si f ' (x0) fuese > 0 la função sería creciente en ese punto. Y como en los puntos en los cuales la función alcanza un extremo relativo no es creciente ni decreciente entonces su derivada primera debe ser 0. Esta condición es necesaria pero no suficiente. Criterio de la derivada 2º o condición suficiente: Si f tiene derivada finita en x = x0 , f ' (x0) = 0 y : f '' (x0) < 0 en x = x0 hay un máximo relativo. f '' (x0) > 0 en x = x0 hay un mínimo relativo. Buscamos ahora las condiciones necesarias y suficientes para que un campo escalar de dos variables z = f (x;y) diferenciable alcance un extremo relativo libre en un punto de su dominio. a) Condiciones necesarias: Para que el campo z = f(x;y) alcance un extremo relativo libre en un punto P0 = (x0;y0) de su dominio debe verificarse que: zx'(x0;y0) = 0 y zy'(x0;y0) = 0, es decir que el gradiente de f sea el vector nulo. Esto se debe a que si la función alcanza un extremo relativo libre en P0 = (x0;y0) también deben alcanzar un extremo relativo libre en ese punto las funciones f1 (x;y0) y f2 (x0;y) cuyas gráficas son las curvas intersección de la superficie con los planos x = x0 e y = y0. Cada una de estas curvas representa una función de una sola variable. Si le aplicamos a cada una de estas funciones la condición necesaria para la existencia de extremos relativos libres para funciones de una variable queda: para f1(x;y0) su derivada f1' (x0) = 0. Pero f1' (x0) = zx' (x0;y0). Para f2 (x0;y) su derivada f2' (y0) = 0, siendo f2' (y0) = zy' (x0;y0). Las derivadas sobre las curvas en el punto P0 = (x0;y0) coinciden con las derivadas parciales sobre la superficie. Pero estas condiciones son necesarias pero no suficientes, al igual que para funciones de una variable independiente la anulación de las derivadas de 1º orden no aseguran la existencia de extremos. Los puntos donde las derivadas primeras se anulan se llaman puntos críticos. b) Condición suficiente: Para hallar la condición suficiente consideramos el desarrollo de Taylor hasta las derivadas segundas inclusive en un entorno de un punto crítico. Si el punto es crítico, las derivadas primeras se anulan, por lo tanto, pasando f (x0;y0) al 1º miembro queda: Si la diferencia que figura en el 1º miembro es mayor que 0 en un entorno del punto, por las definiciones vistas, en P0 = (x0;y0) hay un mínimo relativo libre; si esa diferencia es menor que 0 en el punto la función alcanza un máximo relativo libre. Para saber si la función alcanza un extremo relativo libre debemos poder asegurar que el signo de esa diferencia se mantiene constante en un entorno de P0 = (x0;y0). Pero analizar el signo de la diferencia equivale a analizar el signo del corchete que figura en el 2º miembro ya que T3(x;y) toma un valor despreciable para puntos suficientemente próximos a (x0;y0). Por lo tanto el signo de esta diferencia depende del signo del d 2f (x0;y0). Si d 2f (x0;y0) > 0 la función alcanza un mínimo relativo libre en P0 = (x0;y0), si d 2f (x0;y0) < 0 la función alcanza un máximo relativo libre en P0 = (x0;y0). El problema es asegurar el signo del d 2f (x0;y0) ∀ (x;y) ∈ E*(x0;y0). Para eso debemos buscar otra expresión del d 2f cuyo signo no dependa de los signos de los dx y dy, porque si el signo del d 2f (x0;y0) depende de los signos de los dx y dy para algunos (x;y) la diferencia puede ser positiva y para otros negativa y por lo tanto no se puede asegurar la existencia de un extremo. Para obtener dicha expresión efectuamos las siguientes sustituciones: El factor AC–B2 recibe el nombre de Hessiano (H), debido al matemático alemán Hesse. Hemos obtenido una expresión cuyo signo ya no depende de los signos de los dx y dy. Analizamos ahora su signo: Si H (x0;y0) > 0 el signo del d2 f (x0;y0) depende del signo de A y por lo tanto hay extremo. Si H(x0;y0) < 0 el signo del d 2 f (x0;y0) depende de los signos de los dx y dy, por lo tanto no hay extremo relativo. Estamos en presencia de un punto de ensilladura (el plano tangente atraviesa la superficie). Si H(x0;y0) = 0 el d 2f (x0;y0) puede ser positivo o 0, no se sabe si hay o no extremo, para saber lo que ocurre hay que analizar las derivadas de orden superior. Este caso recibe el nombre de caso dudoso. Finalmente podemos decir que la condición suficiente para que una función de dos variables alcance un extremo relativo en un punto (x0;y0) de su dominio es que el Hessiano en el punto sea mayor que 0. El Hessiano se puede expresar como un determinante formado por las derivadas segundas: Clasificación de los puntos a) Punto estacionario: si las derivadas primeras se anulan. b) Punto elíptico: si el hessiano es mayor a cero. H > 0. Hay extremo. c) Punto hiperbólico: si el hessiano es menor a cero. H < 0.