PROBABILIDAD Y ESTADISTICA BASICA PARA INGENIEROS-33

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5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS 
En este capítulo se estudian los modelos matemáticos para calcular la probabilidad en algunos 
problemas típicos en los que intervienen variables aleatorias discretas. 
 
El objetivo es obtener una fórmula matemática f(x) para determinar los valores de probabilidad 
de la variable aleatoria X. 
 
5.1 DISTRIBUCIÓN DISCRETA UNIFORME 
Una variable aleatoria tiene distribución discreta uniforme si cada uno de los resultados de su 
espacio muestral tiene puede obtenerse con igual probabilidad. 
 
Definición: Distribución discreta uniforme 
 
 
Sean X: Variable aleatoria discreta 
 x = x1, x2, x3, ..., xn Son los n valores que puede tomar X con igual probabilidad 
 Entonces la distribución de probabilidad de X es: 
 f(x) = 
 otro x
1 2 n
1 , x x ,x ,...,x
n
0,
 =


 . 
 
 
Ejemplo. Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el resultado. 
Si X es la variable aleatoria correspondiente a los seis resultados posibles, encuentre su 
distribución de probabilidad. 
 
Respuesta 
Cada resultado tiene igual probabilidad, por lo tanto la distribución de probabilidad de X es 
discreta uniforme: 
 
 
1/ 6, x=1, 2, . . . , 6
P(X x) f(x)
0, para otro x

= = = 

 
Calcule la probabilidad que X tome el valor 3 
 P(X = 3) = f(3) = 1/6 
 
 
Gráfico de la distribución discreta uniforme 
El gráfico de la distribución discreta uniforme tiene forma regular 
 
Ejemplo. Graficar la distribución de probabilidad para el ejemplo anterior 
 
 
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5.1.1 MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN DISCRETA UNIFORME 
Se obtienen directamente de las definiciones correspondientes 
 
Definición: Media y Varianza de una variable con Distribución Discreta Uniforme 
 
Sea X: Variable aleatoria con Distribución Discreta Uniforme 
 Media: µ = E(X) =
x
xf(x)∑ =
n n
i i i
i 1 i 1
1x f(x ) x
n= =
=∑ ∑ 
 Varianza: σ2 = E[(X – µ)2] = 2i
x
(x ) f(x)− µ =∑ 
n
2
i
i 1
1 (x )
n =
− µ∑ 
 
 
Ejemplo. Un almacén vende diariamente 0, 1, 2, 3, o 4 artículos con igual probabilidad. 
Calcule la probabilidad que en algún día venda al menos 2 artículos 
 
Respuesta 
Sea X: Cantidad de artículos que vende cada día (variable aleatoria discreta) 
 x = 0, 1, 2, 3, 4 
X tiene distribución uniforme con probabilidad 1/5 
 P(X = x ) = f(x) = 0.2, x = 0, 1, 2, 3, 4 
P(X≥2) = f(2) + f(3) + f(4) = 3(0.2) = 0.6 
 
 
5.2 DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI 
Es un experimento estadístico en el que pueden haber únicamente dos resultados posibles. Es 
costumbre designarlos como “éxito” y “fracaso” aunque pueden tener otra representación y 
estar asociados a algún otro significado de interés. 
 
Si la probabilidad de obtener “éxito” en cada ensayo es un valor que lo representamos con p, 
entonces, la probabilidad de obtener “fracaso” será el complemento q = 1 – p. 
 
Definición: Distribución de Bernoulli 
 
Sean X: Variable aleatoria cuyos valores pueden ser 1: “éxito”, 0: “fracaso” 
p: Valor de probabilidad de que el resultado del ensayo sea “éxito” 
Entonces, la distribución de probabilidad de X es 
 
 
 
p, x 1
f(x)
1 p, x 0
=
=  − =
 
 
El experimento puede repetirse y en cada ensayo el valor de probabilidad p se mantiene 
constante. Se supondrá también que los ensayos son independientes, es decir el resultado 
de un ensayo no afecta a los resultados de los otros ensayos. 
 
Suponer que se desean obtener los siguientes resultados: 1 1 0 0 1 0 ..., en donde 1 es 
“exito”, 0 es “fracaso” 
Sean p Probabilidad que el resultado sea éxito 
 q = 1 – p Probabilidad que el resultado sea fracaso 
 
Entonces la probabilidad de obtener esta secuencia de resultados es: 
 
P(X=1,X=1,X=0,X=0,X=1,X=0, ...) = f(1) f(1) f(0 f(0) f(1) f(0) ... = pp(1-p)(1-p)pq... 
 
Ejemplo. Suponer que la probabilidad de éxito de un experimento es 0.2 y se realizan cinco 
ensayos independientes. Calcule la probabilidad que el primero y el último ensayo sean 
éxitos, y los tres ensayos intermedios sean fracasos. 
 
Sean 1: El ensayo es éxito (con probabilidad 0.2) 
 0: El ensayo es fracaso (con probabilidad 0.8) 
Entonces 
 
P(X=1,X=0,X=0,X=0,X=1) = f(1)f(0)f(0)f(0)f(1) = (0.2)(0.8)(0.8)(0.8)(0.2) = 0.0205 = 2.05% 
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5.3 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 
Esta distribución es muy importante y de uso frecuente. Corresponde a experimentos con 
características similares a un experimento de Bernoulli, pero ahora es de interés la variable 
aleatoria relacionada con la cantidad de “éxitos” que se obtienen en el experimento. 
 
Características de un Experimento Binomial 
a) La cantidad de ensayos n, que se realizan es finita. 
b) Cada ensayo tiene únicamente dos resultados posibles: “éxito” o “fracaso” 
c) Todos los ensayos realizados son independientes 
d) La probabilidad p, de obtener “éxito” en cada ensayo permanece constante. 
 
Algunos ejemplos de problemas con estas características 
1) Determinar la probabilidad de la cantidad de artículos que son defectuosos en una 
muestra tomada al azar de la producción de una fábrica, suponiendo conocida la 
probabilidad de que un artículo sea defectuoso 
2) Determinar la probabilidad de la cantidad de personas que están a favor de un 
candidato, en una muestra de personas elegidas al azar de una población grande. 
Suponiendo conocida la probabilidad de que una persona esté a favor del candidato. 
 
Definición: Distribución Binomial 
 
Sean X: Variable aleatoria discreta (representa la cantidad de ensayos 
 considerados “éxitos” en una serie de n ensayos realizados). 
 x = 0, 1, 2, ..., n valores que puede tomar X 
 p: Probabilidad de que el resultado de cada ensayo sea “éxito” 
Entonces, la distribución de probabilidad de X es 
 f(x) = x n x
n
p (1 p) , x 0, 1, 2, ..., n
x
−  − = 
 
 . 
 
Demostración 
Al realizar n ensayos se obtienen x éxitos y n - x fracasos, por lo tanto siendo ensayos 
independientes la probabilidad de obtener estos resultados es px (1-p)n-x 
Pero, en los n ensayos realizados hay n
x
 
 
 
 formas diferentes de obtener los x éxitos y los 
n - x fracasos. Este número es entonces un factor para el valor de probabilidad anterior. 
Los símbolos 
n
x
 
 
 
 , nCx, nxC representan el número de combinaciones o arreglos diferentes 
que se obtienen con n elementos de los cuales se toman x elementos. 
 
Ejemplo. Se realizan 8 lanzamientos de un dado. Calcule la probabilidad de obtener 4 veces 
el número 5. 
 
Respuesta. Este experimento tiene las características de un experimento binomial con: 
 n = 8: Cantidad de ensayos realizados (se suponen independientes) 
 p = 1/6 Probabilidad que cada ensayo sea “éxito” (se obtiene el 5) 
 X: Variable aleatoria discreta (cantidad de veces que sale el 5) 
 x = 0, 1, 2, ..., 8 Valores que puede tomar X 
 
Es un problema cuyo modelo de probabilidad es Binomial. Sustituyendo los datos: 
 P(X=x) = f(x) = =x n x
n
p (1 p)
x
−  − 
 
8
x
 
 
 
 (1/6)x (5/6)8-x , x = 0, 1, 2, ..., 8 
De donde se obtiene 
 P(X=4) = f(4) = 
8
4
 
 
 
 (1/6)4 (5/6)8-4 = (70) (1/6)4 (5/6)4 = 0.026 = 2.6% 
 
	5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
	5.1 DISTRIBUCIÓN DISCRETA UNIFORME
	5.1.1 MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN DISCRETA UNIFORME
	5.2 DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
	5.3 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL