introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-88

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238 ❍ CAPÍTULO 6 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD
Si usted superpone una curva normal con la misma media, m � np, y la misma desvia-
ción estándar, s � �
____
 npq , sobre la parte superior de las barras, “se ajusta” muy bien; esto 
es, las áreas bajo la curva son casi iguales a las áreas bajo las barras. No obstante, cuando 
la probabilidad de éxito, p, es pequeña y la distribución está sesgada, como se muestra 
en la figura 6.19, la curva normal simétrica ya no ajusta muy bien. Si tratamos de usar 
las áreas de la curva normal para aproximar el área bajo las barras, la aproximación no 
será muy buena.
Use la curva normal para aproximar la probabilidad de que x � 8, 9 o 10 para una varia-
ble aleatoria binomial con n � 25 y p � .5. Compare esta aproximación a la probabilidad 
binomial exacta.
Solución Se puede hallar la probabilidad binomial exacta para este ejemplo porque 
hay tablas binomiales acumulativas para n � 25. De la tabla 1 del apéndice I,
P(x � 8, 9 o 10) � P(x � 10) � P(x � 7) � .212 � .022 � .190
Para usar la aproximación normal, primero encuentre la media apropiada y desviación 
estándar para la curva normal:
m � np � 25(.5) � 12.5
s � �
____
 npq � �
________
 25(.5)(.5) � 2.5
La probabilidad que usted necesita corresponde al área de los tres rectángulos que se 
encuentran en x � 8, 9 y 10. El área equivalente bajo la curva normal se encuentra entre 
x � 7.5 (el lado inferior del rectángulo para x � 8) y x � 10.5 (el lado superior del rec-
tángulo para x � 10). Esta área está sombreada en la figura 6.18.
FIGURA 6.19
Distribución de 
probabilidad binomial y 
la distribución normal de 
aproximación para n � 25 
y p � .1
●
x
p(x)
0
.1
5 10 15 20 25
.2
E J E M P L O 6.11
Sólo use la corrección de 
continuidad ¡si x tiene una 
distribución binomial!
CONSEJOMIMI
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Para hallar la probabilidad normal, siga los procedimientos de la sección 6.3. Primero 
estandarice el punto extremo de cada intervalo:
z � 
x �
s
 m
 � 
7.5 �
2.5
 12.5
 � �2.0
z � 
x �
s
 m 
 � 
10.5 
2
�
.5
 12.5
 � �.8
A continuación la probabilidad aproximada (sombreada en la figura 6.20) se encuentra 
de la tabla 3 del apéndice I:
P(�2.0 � z � �.8) � .2119 � .0228 � .1891
Se puede comparar la aproximación, .1891, con la probabilidad real, .190. Son muy cer-
canas.
FIGURA 6.20
Área bajo la curva normal 
para el ejemplo 6.11
●
x
f(x)
10.57.5 12.5
z
–.8–2.0 0
APPLETMIMI
Se puede usar el applet Java llamada Normal Approximation to Binomial Pro-
babilities (Aproximación Normal a Probabilidades Binomiales), que se mues-
tra en la figura 6.21, para comparar las probabilidades reales y aproximadas para 
la distribución binomial del ejemplo 6.11. Introduzca los valores apropiados de n y 
p y en las cajas en la esquina superior izquierda del applet, y presione “Enter” para 
registrar cada una de las entradas. La distribución binomial exacta a la izquierda del 
applet cambiará, dependiendo del valor de n que se haya introducido. A continuación 
cambie el valor de k en la caja en la esquina inferior izquierda del applet y presione 
“Enter”. El applet calculará la probabilidad binomial exacta P(x � k) en la caja mar-
cada “Prob”: También calculará la probabilidad aproximada usando el área bajo la 
curva normal. El valor z, con la corrección de continuidad, se muestra arriba a la dere-
cha y la probabilidad aproximada se muestra a la izquierda de la curva normal. Para 
el ejemplo 6.11, el applet calcula la aproximación normal como P(x � 10) � .2119. 
¿Cuál es el valor exacto de P(x � 10)? Si se cambia k a 7 y se presiona “Enter”, ¿cuál 
es el valor aproximado para P(x � 7)? Ahora calcule P(8 � x � 10). ¿Se compara 
con la respuesta que obtuvimos en el ejemplo 6.11? Usaremos este applet de nuevo 
para la sección de Ejercicios MiApplet al final de este capítulo.
 6.4 LA APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL (OPCIONAL) ❍ 239
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240 ❍ CAPÍTULO 6 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD
Usted debe tener cuidado de no excluir la mitad de los dos rectángulos de probabilidad 
extremos, cuando use la aproximación normal a la distribución binomial de probabili-
dad. Este ajuste, llamado corrección de continuidad, ayuda a considerar el hecho de 
que usted se aproxima a una variable aleatoria discreta con una continua. Si olvida la 
corrección, su aproximación no será muy buena. Use esta corrección sólo para probabi-
lidades binomiales; no trate de usarla cuando la variable aleatoria ya sea continua, por 
ejemplo una estatura o un peso.
¿Cómo saber cuándo es apropiado usar la aproximación normal a probabilidades 
binomiales? La aproximación normal funciona bien cuando el histograma binomial 
es casi simétrico. Esto ocurre cuando la distribución binomial no está “agrupada” cerca 
de 0 o n, es decir, cuando se puede dispersar al menos dos desviaciones estándar desde 
su media sin exceder sus límites, 0 y n. Usando este criterio, se puede deducir esta sen-
cilla regla práctica:
REGLA PRÁCTICA
La aproximación normal a las probabilidades binomiales será adecuada si 
np � 5 y nq � 5
FIGURA 6.21
Applet Normal 
Approximation to 
Binomial Probabilities 
(Aproximación normal 
a probabilidades 
binomiales)
●
¿Cómo calculo probabilidades binomiales usando 
la aproximación normal?
• Encuentre los valores necesarios de n y p. Calcule m � np y s � �
____
 npq .
• Escriba la probabilidad que necesite en términos de x y localice el área apro-
piada en la curva.
• Corrija el valor de x en �.5 para incluir todo el bloque de probabilidad para 
ese valor. Ésta es la corrección de continuidad.
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