Reporte Proyecto

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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
UNIDAD DE LABORATORIOS
LABORATORIO “A”
SECCIÓN DINÁMICA DE MÁQUINAS
Labor ator io Dinámica de Máquinas
(1) 
(2) 
(3) 
 
 
 
 
 
Universidad Simón Bolívar 
Departamento de Mecánica 
Vibraciones Mecánicas (MC2415) 
Profesora Carmen Müller 
Estudiante: María Alejandra Jaspe, carnet 11-10487 
 
 
PROYECTO VIBRACIONES MECÁNICAS, TRIMESTRE ENERO-MARZO 2015 (10%) 
 
 
Dado el siguiente 
problema: En la figura se 
muestra un mecanismo 
biela-manivela-pistón que 
gira a velocidad angular 
constante Ω y excita un 
sistema masa-resorte-
amortiguador. 
Considerando R=12cm, 
L=15cm, h=3cm, ζ=0,1; 
Wn=30rpm; g=9,8m/s2; 
Ω=4rpm; Ω=15rpm; y 
Ω=30rpm; determinar: 
 
a- Expresión del movimiento del pistón Z(t) de forma literal: 
 
 
 
 
 
𝑤 = 𝛺 ∙ 𝑡 𝑦 �̇� = 𝛺 
 
 sen(𝑤) =
𝑐+𝐻
𝑅
 
 
 𝑐𝑜𝑠(𝑤) =
𝑎
𝑅
 
𝐿2 = 𝑐2 + 𝑏2 
 
 
Luego se tiene: 
𝑍 = 𝑎 + 𝑏 
𝐷𝑒 (2) 𝑦 (3): 𝑍 = 𝑅 ∙ cos(𝑤) + √𝐿2 − 𝑐2 
𝐷𝑒 (1): 𝑍 = 𝑅 ∙ cos(𝑤) + √𝐿2 − [𝑅 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑤) − 𝐻]2 
𝒁(𝒕) = 𝑹 ∙ 𝐜𝐨𝐬(𝛀 ∙ 𝐭) + √𝑳𝟐 − [𝑹 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝜴 ∙ 𝒕) − 𝑯]𝟐 
 
b- Expresión de la velocidad del pistón �̇�(t) de forma literal: 
 
Derivando la expresión de Z (t) se obtiene: 
 
�̇�(𝒕) = −𝑹 ∙ 𝐬𝐞𝐧(𝛀 ∙ 𝐭) ∙ 𝛀 −
[𝑹 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝜴 ∙ 𝒕) − 𝒉] ∙ 𝑹 ∙ 𝐜𝐨𝐬(𝜴 ∙ 𝒕) ∙ 𝜴
√𝑳𝟐 − [(𝑹 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝜴 ∙ 𝒕) − 𝒉]𝟐
 
 
b- Ecuación de movimiento del sistema en función de la coordenada x(t): 
 
 A partir del diagrama de cuerpo libre y de las ecuaciones de Lagrange, y utilizando la 
hipótesis de que el extremo que está unido al bloque se aleja más de lo que se mueve el 
extremo pegad al pistón, es decir, que la cantidad (𝒙 − 𝒛) es una cantidad positiva, se obtuvo: 
 
 
 𝐾 ∙ (𝑥 − 𝑧) 2𝐾 ∙ 𝑥 
 𝐶 ∙ (�̇� − �̇�) 
 
𝑇 =
1
2
∙ 𝑚 ∙ �̇�2 
𝑈 =
1
2
∙ 𝐾 ∙ (𝑥 − 𝑧)2 +
1
2
∙ 2𝐾 ∙ 𝑥2 
𝐷 =
1
2
∙ 𝐶 ∙ (�̇� − �̇�)2 
Luego: 𝑚 ∙ �̈� + 𝐾 ∙ (𝑥 − 𝑧) + 2𝐾 ∙ 𝑥 + 𝐶 ∙ (�̇� − �̇�) = 0̈ 
Finalmente: 𝑚 ∙ �̈�(𝑡) + 𝐶 ∙ �̇�(𝑡) + 3𝐾 ∙ 𝑥(𝑡) = 𝐶 ∙ �̇�(𝑡) + 𝐾 ∙ 𝑧(𝑡) 
Tomando en cuenta que la Ke es 3K, la Ce es C y la Me es m (coeficientes de x (t), �̇� (t) y �̈� 
(t) respectivamente), al dividir toda la expresión entre m (ya que la misma es diferente de 
cero) la ecuación de movimiento queda de la siguiente manera: 
𝑊𝑛 = √
3∙𝐾
𝑚
 y ζ=
𝐶
2∙√3𝐾∙𝑚
 
 �̈�(𝒕) + 𝟐 ∙ 𝜻 ∙ 𝑾𝒏 ∙ �̇�(𝒕) + 𝑾𝒏𝟐 ∙ 𝒙(𝒕) = 𝟐 ∙ 𝜻 ∙ 𝑾𝒏 ∙ �̇�(𝒕) +
𝟏
𝟑
𝑾𝒏𝟐 ∙ 𝒛(𝒕) 
Con: 
𝑧(𝑡) = 𝑅 ∙ cos(Ω ∙ t) + √𝐿2 − [𝑅 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝛺 ∙ 𝑡) − 𝐻]2 
 
�̇�(𝑡) = −𝑅 ∙ sen(Ω ∙ t) ∙ Ω −
[𝑅 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝛺 ∙ 𝑡) − 𝐻] ∙ 𝑅 ∙ cos(𝛺 ∙ 𝑡) ∙ 𝛺
√𝐿2 − [(𝑅 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝛺 ∙ 𝑡) − 𝐻]2
 
 
d- Gráficas de la excitación que actúa sobre la masa m en función del tiempo y de la 
frecuencia: 
 
 Siendo la fuerza que actúa sobre el sistema el movimiento de la base: 
 
𝒇(𝒕) = 𝟐 ∙ 𝜻 ∙ 𝑾𝒏 ∙ �̇�(𝒕) +
𝟏
𝟑
𝑾𝒏𝟐 ∙ 𝒛(𝒕) 
 
 Se elaboró un código para utilizar en el programa de cálculo MATLAB, que para los 
valores de Ω de 4, 15 y 30rpm, graficaba la función f (t) en el intervalo de 0 a 60 segundos. 
Seguidamente, a la función f (t) se le aplicaba la transformada de Fourier (función FFT) para 
obtener el espectro de frecuencia de la excitación f (t) y graficarlo en función a la frecuencia 
Ω; esto último se realizó para 2048 datos (211). Se obtuvieron las siguientes gráficas: 
 
En la gráfica 1 se puede observar la naturaleza oscilatoria de la excitación del sistema 
f (t), que era de esperarse ya que la función f (t) depende de z (t) y �̇� (t), que a su vez son 
funciones compuestas por senos y cosenos (funciones periódicas). Se ve claramente que a 
medida que la frecuencia aumenta, el periodo de las oscilaciones disminuye. 
 
 
En la gráfica 2 que representa el espectro de frecuencia de f (t) para cada frecuencia de 
excitación, se puede observar un pico en la frecuencia de excitación del movimiento 
respectivamente, lo cual es lógico, ya que la Transformada de Fourier debe reportar dicha 
frecuencia; a menos que se tuviese un sistema no lineal, lo cual no es este caso. 
 
Si se compara la suavidad de la curva del espectro obtenida con las observadas en el 
Laboratorio de Vibraciones Mecánicas, se puede notar que las gráficas del laboratorio son más 
suaves. Esto se puede deber a que el programa que genera el espectro en el laboratorio 
trabaja con 4096 puntos (212); sin embargo, lo que importa es que el pico se observe en la 
frecuencia que corresponde. 
 
Como se espera que haya una respuesta transitoria, es posible que aparezca algún pico 
extra pero de menor importancia en el espectro, que debería ser wd, es decir, la frecuencia que 
aparecería si no hubiera excitación forzada. 
 
 
e- Gráficas de la respuesta absoluta x(t) de la masa m en el tiempo: 
f- Gráficas del espectro de la respuesta x(t) de la masa m: 
g- Gráficas de la velocidad absoluta �̇�(t) de la masa m en el tiempo: 
h- Gráficas de la aceleración absoluta �̈�(t) de la masa m en el tiempo: 
 
Para obtener la respuesta absoluta x (t) de la masa m en el tiempo, en el mismo código 
mencionado, se utilizó el comando del programa MATLAB “ode45”, que resuelve la ecuación 
diferencial de movimiento del sistema por medio del método de Runge-Kutta de 4to orden, a 
partir los siguientes datos: 
 
𝑍 = [
𝑥
�̇�
] 
 
𝐷𝑍 = [
�̇�
�̈�
] = [
�̇�
𝐶
𝑚
∙ �̇�(𝑡) +
𝐾
𝑚
∙ 𝑧(𝑡) −
𝐶
𝑚
∙ �̇�(𝑡) −
𝐾
𝑚
∙ 𝑥(𝑡)
] 
 
𝐷𝑍 = [
𝑍(2)
2 ∙ 𝑊𝑛 ∙ 𝜁 ∙ �̇�(𝑡) +
𝑊𝑛2
3
∙ 𝑧(𝑡) − 2 ∙ 𝑊𝑛 ∙ 𝜁 ∙ 𝑍(2) − 𝑊𝑛2 ∙ 𝑍(1)
] 
𝑍(0) = [
𝑥(0)
�̇�(0)
] = [
0
0
] 
Dicho comando genera un vector con los siguientes datos: 
t x �̇� 
0 0 0 
1 … … 
… … … 
60 … … 
 
Es decir, el comando resuelve la ecuación diferencial y devuelve los datos de x 
(respuesta absoluta) y �̇� (velocidad absoluta) de la masa “m” en el tiempo. A la función x(t) se 
le aplicó la transformada de Fourier (función FFT) para obtener el espectro de frecuencia de 
la respuesta absoluta x(t) y graficarlo en función a la frecuencia Ω; esto último se realizó 
igualmente para 2048 datos (211). 
Para la aceleración, simplemente se graficó la siguiente ecuación a partir de los datos 
obtenidos para x (t) y 𝑥 ̇ (t): 
𝑎(𝑡) = 2 ∙ 𝑊𝑛 ∙ 𝜁 ∙ �̇�(𝑡) +
𝑊𝑛2
3
∙ 𝑧(𝑡) − 2 ∙ 𝑊𝑛 ∙ 𝜁 ∙ �̇�(𝑡) − 𝑊𝑛2 ∙ 𝑥(𝑡) 
Después de todo lo mencionado, se obtuvieron las siguientes gráficas: 
 
 
En la gráfica 3 se observa la respuesta absoluta de la masa m, que así como la fuerza de 
excitación, es oscilatoria y cuyo periodo disminuye a medida que aumenta la frecuencia de 
excitación. Para las frecuencias de 4, 15 y 30rpm se observa una respuesta máxima de 10, 15 y 
25cm aproximadamente. 
 
Para los 3 casos, se observa una respuesta transitoria que dura aproximadamente 10 
segundos y a la que le sigue la respuesta permanente. Se comprueba lo que se mencionó que 
se esperaba en el análisis del espectro de frecuencia de la fuerza de excitación (una parte de la 
respuesta de naturaleza transitoria). 
 
Para el caso en el que la frecuencia de excitación vale 30rpm se observa que hay 
resonancia, lo cual es debido a que la frecuencia de excitación es igual a la frecuencia natural 
del sistema. 
En la gráfica 4 que representa el espectro de frecuencia de x (t) para cada frecuencia 
de excitación, se puede observar así como en el espectro de la fuerza de excitación f (t), un 
pico en la frecuencia de excitación del movimiento respectivamente, lo cual ya se dijo que era 
lo esperado, ya que la Transformada de Fourier debe reportar dicha frecuencia. 
 
Efectivamente, como parte de la respuesta es transitoria, aparecen picos extra pero de 
menor importancia en el espectro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En la gráfica 5 se observa la velocidad absoluta de la masa m, que es de naturaleza 
similar a la de la respuesta absoluta. Para las frecuenciasde 4, 15 y 30rpm se observa una 
velocidad máxima de 10, 22 y 60 cm/s aproximadamente (en el régimen permanente). 
 
Para los 3 casos, se observa una respuesta transitoria que dura aproximadamente 10 
segundos y a la que le sigue la respuesta permanente. Para el caso en el que la frecuencia de 
excitación vale 30rpm se observa que hay resonancia debido a que la frecuencia de excitación 
es igual a la frecuencia natural del sistema. 
Por último, en la gráfica 6 se observa la aceleración absoluta de la masa m, que así 
como la fuerza de excitación, la respuesta y la velocidad, es oscilatoria y cuyo periodo 
disminuye a medida que aumenta la frecuencia de excitación. Para las frecuencias de 4, 15 y 
30rpm se observa una respuesta máxima de 25, 75 y 200 cm/s2 aproximadamente. 
 
Para los 3 casos, se observa una respuesta transitoria que dura aproximadamente 10 
segundos y a la que le sigue la respuesta permanente. Se comprueba lo que se mencionó que 
se esperaba en el análisis del espectro de frecuencia de la fuerza de excitación (una parte de la 
respuesta de naturaleza transitoria). 
 
Para el caso en el que la frecuencia de excitación vale 30rpm se observa que hay 
resonancia, lo cual es debido a que la frecuencia de excitación es igual a la frecuencia natural 
del sistema. 
 
 
Conclusión 
 
 En conclusión, se resolvió el problema simulándolo como un sistema de masa “m” 
excitado por el movimiento de una base, siendo la base el pistón cuyo movimiento es 
generado por la rotación de la biela. Una vez obtenida la expresión del movimiento y 
aceleración del pistón, se puede resolver la ecuación de movimiento del sistema por medio del 
método de Runge-Kutta para obtener la respuesta del mismo, y a partir de ésta, su velocidad y 
su aceleración. 
 
 De la gráfica de la excitación del sistema se puede observar la naturaleza periódica de 
la misma. Y posteriormente, en las gráficas de la respuesta, velocidad y aceleración se ve que 
presentan igualmente una naturaleza similar. En todas se puede comprobar que a medida que 
aumenta la frecuencia del movimiento de la biela, el periodo de las oscilaciones disminuye, 
hasta que se alcanza la frecuencia critica, que es la que es igual a la frecuencia natural, en la 
cual las amplitudes se vuelven críticas y la masa cae en resonancia. 
 
 Por último, tanto en el espectro de frecuencia de la excitación del sistema como de la 
respuesta del mismo se observan picos en la frecuencia respectiva de la excitación, como se 
espera, ya que esa es la función de la transformada de Fourier.