Introducción a Distribuciones Muestrales

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Introducción a Distribuciones Muestrales
El ejecutivo de un restaurante recibe un reporte que indica que el monto promedio gastado por un adulto en un restaurante gourmet es de $302.45 por año. La cifra fue obtenida de una muestra de 540 adultos de Nuevo México. Preguntas:
¿Qué se puede inferir de la media poblacional?
¿Cuán cercana está la cifra de $302.45 de la media poblacional?
¿Basta la muestra de 540 individuos, de una población de 2 millones, para obtener un “buen” estimado de la media poblacional?
El gerente de control de calidad de una empresa productora de kits de reparación de plomería selecciona una muestra aleatoria de estos kits y los inspecciona para detectar fallas. De la muestra de 233 kits, se tienen 18 defectuosos, esto es, el 7.7%. Preguntas:
¿Qué se puede inferir respecto del total de 13,300 kits producidos?
¿El porcentaje de kits defectuosos del conjunto total estará alrededor de 7.7%? ¿Cuán cercano?
¿Debe inspeccionarse una muestra más amplia?
7-2
Las respuestas a las preguntas anteriores requieren el entendimiento de las distribuciones muestrales.
Cada vez que se toman muestras de una población, pueden ocurrir diferentes muestras y cada muestra tener diferentes items. Por lo tanto las medidas estimadas a partir de una muestra, estadísticos, constituyen variables aleatorias, las cuales deben de ser descritas por las denominadas distribuciones muestrales.
7-3
El entendimiento de las distribuciones muestrales es la base para el desarrollo de los temas de:
Estimación estadística
Prueba de hipótesis
7-4
7-5
Objetivos
Definir el concepto de error muestral.
Determinar la media y desviación estándar para la distribución muestral de la media muestral, x.
Determinar la media y desviación estándar para la distribución muestral de la proporción muestral, p.
Describir el Teorema del Límite Central y su importancia
Aplicar distribuciones muestrales para x y p.
_
7-6
Error Muestral
 Estadísticos (muestra) son usados para estimar
parámetros (población)
	ej.: x es un estimador de la media poblacional, μ
Problemas: 	
Diferentes muestras proporcionan diferentes estimados de los parámetros de la población.
Los resultados muestrales presentan variabilidad, por lo tanto, existe error muestral.
Recordar: Con una muestra aleatoria se busca conseguir un grupo representativo de la población.
	 Muestra 2
7-7
͞x1
͞x2
͞xn
Valores que puede tomar la variable aleatoria 
͞x
Describir ͞x
A través de una distribución
muestral
Población
	Media μ
Muestra 1
Muestra n
7-8
Cálculo del Error Muestral
Error Muestral:
	Es la diferencia entre un valor (estadístico) calculado de la muestra y su correspondiente valor (parámetro) calculado de la población
Ejemplo: (Para la media)
Donde:
¡Siempre presente dado que se usa una muestra!
7-9
Recordatorio
 Media Poblacional:	 Media Muestral:
	Donde:
		μ = Media poblacional
		x = Media muestral
		xi = Valores en la población o muestra
		N = Tamaño de la población
		n = Tamaño de la muestra
La media poblacional NO varía
La media muestral puede VARIAR cuando diferentes muestras son tomadas de la población
Ver Tema 3
7-10
Ejemplo
Si la media poblacional es μ = 98.6 °C y una muestra de n = 5 temperaturas da una media muestral de ͞x = 99.2 °C, entonces el error muestral es:
7-11
Errores Muestrales
Diferentes muestras darán diferentes errores muestrales.
El error muestral puede ser positivo o negativo (x puede ser mayor que o menor que μ).
El tamaño del error depende de la muestra seleccionada.
Es decir, un mayor tamaño de muestra no necesariamente produce un error pequeño si la muestra no es representativa.
7-12
Distribución Muestral
 Una distribución muestral es una distribución de probabilidad de los posibles valores de un estadístico para muestras (del mismo tamaño) seleccionadas de una población.
	 Muestra 2
7-13
͞x1
͞x2
͞xn
Valores que puede tomar la variable aleatoria 
͞x
Describir ͞x
A través de una distribución
muestral
Población
	Media μ
Muestra 1
Muestra n
7-14
Desarrollo de una Distribución Muestral
Supongamos una población…
Tamaño de población N=4
Variable aleatoria, x, es la
edad de los individuos
Valores de x: 18, 20,
22, 24 (años)
A
B
C
D
7-15
0.3
0.2
0.1
 0
 18 20 22 24
 A B C D
Distribución Uniforme
P(x)
x
Medidas de resumen para la distribución de la población:
Desarrollo de una Distribución Muestral
7-16
16 muestras posibles (muestreo con remplazo)
Considerar todas las muestras posibles de tamaño n=2
16 Medias Muestrales
Desarrollo de una Distribución Muestral
7-17
Distribución Muestral (todas las medias muestrales)
18 19 20 21 22 23 24
0 
.1 
.2 
.3 
P(x) 
x
Distribución de medias muestrales
16 Medias muestrales
_
(continuación)
(No es distribución uniforme)
Probabilidad de ocurrencia de una particular media muestral
Desarrollo de una Distribución Muestral
7-18
Medidas de resumen de esta distribución muestral:
Promedio de las medias muestrales
Desarrollo de una Distribución Muestral
7-19
Comparando la Población con su Distribución Muestral
18 19 20 21 22 23 24
0 
.1 
.2 
.3 
P(x) 
x
 18 20 22 24
 A B C D
0 
.1 
.2 
.3 
Distribución de la Población
N = 4
P(x) 
x
_
Distribución de la Media Muestral
n = 2
oleObject1.bin
image1.wmf
μ
 
-
x 
Muestral
Error 
=
oleObject2.bin
image2.wmf
l
poblaciona
 
Media
 
μ 
muestral
 
Media
x
=
=
oleObject3.bin
image3.wmf
N
x
μ
i
å
=
oleObject4.bin
image4.wmf
n
x
x
i
å
=
oleObject5.bin
image5.wmf
C
0.6
98.6
99.2
μ
x
o
=
-
=
-
oleObject6.bin
image6.emf
image7.wmf
image8.wmf
image9.wmf
oleObject10.bin
image10.wmf
21
4
24
22
20
18
N
x
μ
i
=
+
+
+
=
=
å
oleObject11.bin
image11.wmf
2.236
N
μ)
(x
σ
2
i
=
-
=
å
oleObject12.bin
		1era
		2da Observación
		Obs.
		18
		20
		22
		24
		18
		18
		19
		20
		21
		20
		19
		20
		21
		22
		22
		20
		21
		22
		23
		24
		21
		22
		23
		24
image12.emf
1
era
 2
da
 Observació n 
Obs. 
18 20 22 24 
18 
18 19 20 21 
20 
19 20 21 22 
22 
20 21 22 23 
24 
21 22 23 24 
 
 
image13.png
oleObject13.bin
		1era
		2da Observación
		Obs.
		18
		20
		22
		24
		18
		18
		19
		20
		21
		20
		19
		20
		21
		22
		22
		20
		21
		22
		23
		24
		21
		22
		23
		24
image14.wmf
1
era
 
2
da
 
Observació
n
 
Obs
.
 
18
 
20
 
22
 
24
 
18
 
18
 
19
 
20
 
21
 
20
 
19
 
20
 
21
 
22
 
22
 
20
 
21
 
22
 
23
 
24
 
21
 
22
 
23
 
24
 
 
 
oleObject14.bin
image15.wmf
21
16
24
21
19
18
N
x
μ
i
x
=
+
+
+
+
=
=
å
L
oleObject15.bin
image16.wmf
1.58
16
21)
-
(24
21)
-
(19
21)
-
(18
N
)
μ
x
(
σ
2
2
2
2
x
i
x
=
+
+
+
=
-
=
å
L
oleObject16.bin
image17.wmf
1.58
σ
 
21
μ
x
x
=
=
oleObject17.bin
image18.wmf
2.236
σ
 
21
μ
=
=