Estimación de Parámetros

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Estimación de Parámetros
8-1
Un banquero requiere saber sobre el porcentaje de deudas vencidas del banco.
Un gerente de recursos humanos necesita conocer sobre la remuneración promedio de trabajo especializado en el área de contratación de la compañía.
Un gerente de programación televisiva necesita saber del porcentaje de gente que ve cada uno de sus programas.
El gerente de un restaurante requiere conocer del porcentaje de clientes que ordenarán el plato del día.
Se tienen múltiples situaciones donde se requieren estimar parámetros poblacionales, los cuales tendrán que efectuarse en base a la toma de una muestra de la población por razones de costo, tiempo y de viabilidad.
Se tienen otras situaciones donde se reciben estimados de parámetros poblacionales que deberán ser evaluados antes de basar decisiones en ellos. ¿Fue la muestra suficientemente grande en la estimación del parámetro?¿Cuánta confianza se tiene en el estimado?
A continuación se introduce la metodología requerida para desarrollar e interpretar estimaciones estadísticas respecto de valores poblacionales.
8-3
Objetivos
Distinguir entre una estimación puntual y una por intervalo de confianza.
Construir e interpretar un intervalo de confianza para una media poblacional usando la distribución Z o t.
Determinar el tamaño de muestra requerido para estimar una media o proporción poblacional con un margen de error específico.
Construir e interpretar un intervalo de confianza para una proporción poblacional.
8-4
Desarrollo y Cobertura
Basado en lo visto respecto de técnicas de muestreo (Tema 1) y de error muestral y distribuciones muestrales (Tema 7).
Introduce el uso de estadísticos para estimar parámetros.
Dado que la obtención de parámetros puede ser costosa, dilatada y a veces imposible.
Intervalos de confianza para la Media Poblacional, μ.
Cuando la desviación estándar poblacional σ es conocida.
Cuando la desviación estándar poblacional σ es desconocida.
Intervalos de confianza para la Proporción Poblacional, π.
Determinar el tamaño de muestra requerido para medias y proporciones.
8-5
Punto Estimado o Estimado Puntual
Un punto estimado es un número, estimado a través de una muestra, y empleado como estimación de un parámetro desconocido.
Ejemplo:
	Para determinar el costo de un producto se selecciona una muestra y cada producto de la muestra es seguido a través de todo el proceso productivo, registrándose los costos en que se incurre. Se indentifica el costo total de cada producto y luego el costo promedio de la muestra. Este costo promedio es un estimado puntual, o punto estimado, del verdadero costo promedio de producción, el cual es un parámetro de la producción.
8-6
Puntos Estimados
8-7
Se puede estimar un parámetro…
con un estadístico
(un punto estimado)
Media
Proporción
p
π
x
μ
Punto Estimado o Estimado Puntual
La igualdad exacta entre un parámetro y su punto estimado es imposible.
	Se tiene un error muestral y, a través del estimado puntual, no es posible hacer inferencias respecto del error muestral, cuán lejos está de μ.
Para superar esta situación se puede recurrir a la estimación de intervalos de confianza.
8-8
Intervalos de Confianza
¿Cuánta incertidumbre está asociada a un punto estimado de un parámetro?
Un intervalo estimado proporciona más información acerca de una característica poblacional que un punto estimado
Los intervalos estimados son llamados intervalos de confianza
8-9
Intervalos de Confianza
Un intervalo de confianza proporciona información adicional. Se estima a partir de data muestral y tiene la siguiente estructura:
8-10
Punto Estimado
Límite de Confianza Inferior
Límite de Confianza Superior
Ancho del intervalo de confianza
Intervalos de Confianza
El diseño del intervalo de confianza es tal que si se tomasen todas las muestras posibles de un tamaño determinado, y a partir de ellas se construyesen todos los intervalos posibles de un ancho determinado, un porcentaje de estos (denominado nivel de confianza), incluiría al parámetro poblacional μ.
8-11
Intervalos de Confianza
Un intervalo da un rango de valores:
Toma en consideración la variación de un estadístico de muestra a muestra.
Basado en la observación de una muestra.
Informa sobre la cercanía a parámetros desconocidos.
Expresado en términos de nivel de confianza 
Nunca 100% seguro.
8-12
Proceso de Estimación
8-13
(media, μ, es desconocida)
Población
Muestra Aleatoria
Media 
 x = 50
Muestra
Estoy 95% seguro que μ está entre 40 y 60.
Fórmula General
La fórmula general para todos los intervalos de confianza es:
8-14
Punto Estimado  (Valor Crítico)(Error Estándar)
Valor z ( ó t) basado en el nivel de confianza deseado
Nivel de Confianza
Nivel de Confianza
Confianza en que el intervalo contendrá al parámetro desconocido
Un porcentaje (menor al 100%)
Los más comunes: 90%, 95%, 99%.
8-15
Nivel de Confianza, (1-)
Suponer un nivel de confianza de 95%. 
Una interpretación de frecuencia relativa:
El 95% de todos los intervalos de confianza que pueden ser construidos contendrá al parámetro desconocido.
Un intervalo específico contendrá o no al parámetro.
No hay probabilidad involucrada en un intervalo específico.
8-16
(continuación)
Intervalos de Confianza
8-17
Media Poblacional
σ
desconocida
Intervalos de
Confianza
Proporción Poblacional
 σ 
conocida
Intervalo de Confianza para μ
(σ Conocida) 
Supuestos
Desviación estándar poblacional σ es conocida.
Población tiene distribución normal.
Si la población no es normal, usar una muestra grande n > 30.
Intervalo de confianza:
8-18
Estimado Punto
Valor crítico
Error estándar
Intervalo de Confianza para μ
(σ Conocida) 
Media muestral ~ N(μ, σ/√n)
(Media muestral – μ)/ σ/√n ~ N(0, 1)
z ~N(0,1)		Prob(z > zα/2) = α/2		 zα/2
z ~N(0,1)		Prob(z < -zα/2) = α/2		 -zα/2
(x – μ)/ σ/√n > zα/2		 (x – μ)/ σ/√n < -zα/2
8-19
Estimado Punto
Valor crítico
Error estándar
Hallando el Valor Crítico
Considerar un intervalo de confianza al 95%:
8-20
z = -1.96
z = 1.96
Punto Estimado
Límite de
Confianza 
Inferior
Límite de
Confianza
Superior
Z unds.:
X unds.:
0
0.95/2 = 0.475 buscar en la tabla Z
Niveles de Confianza Comunes
Los niveles de confianza comúnmente usados son 90%, 95% y 99%
8-21
Nivel de Confianza
Valor Crítico, z 
1.28
1.65
1.96
2.33
2.58
3.08
3.27
80%
90%
95%
98%
99%
99.8%
99.9%
Cálculo de un Intervalo de Confianza para la Media (s Conocida)
Seleccionar una muestra aleatoria de tamaño n.
Especificar el nivel de confianza.
Calcular la media muestral.
Determinar el error estándar.
Determinar el valor crítico (z) de la tabla normal estándar.
Calcular el intervalo de confianza.
8-22
Ejemplo
Una muestra de 11 circuitos de una población normal grande tiene una resistencia media de 2.20 ohms. Se sabe de evaluaciones pasadas que la desviación estándar poblacional es 0.35 ohms. 
Determinar un intervalo de confianza al 95% para la resistencia media de la población.
8-23
Ejemplo
Solución:
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(continuación)
Con un 95% de confianza la resistencia media poblacional está aproximadamente entre 1.99 y 2.41 ohms
Interpretación
Estamos 95% seguros que la resistencia media poblacional está entre 1.9932 y 2.4068 ohms.
Aunque la media poblacional podría estar o no en este intervalo, el 95% de los intervalos formados de esta manera la contendrán.
8-25
Interpretación
IC-Interpretación.pdf
Nivel de confianza:
Proporción de todos los posibles intervalos, definidos según distintas muestras de un mismo tamaño, que contendrán el parámetro poblacional.
8-26
Discusión
Suponga que en base a un nivel de confianza se ha determinado el intervalo de confianza para la media poblacional de:
	$5,171.84 a $5,288.16
El texto de Groebner, página 311 afirma:
“Basados en los resultados de la muestra, para un nivel de confianza de 90%, se estima que la media poblacional está entre $5,171.84 y $5,288.16”.
Continúa…….8-27
Discusión
Pero luego refiere como “Special Message about Interpreting Confidence Intervals”:
Mensaje Especial.pdf
¿En qué quedamos? ¿Se entiende la distinción?
El problema se suscita por un enfoque no-Bayesiano del tema, este problema no se tendría bajo un enfoque Bayesiano.
Se adoptará un enfoque Bayesiano y no se hará diferencias al respecto.
8-28
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x
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n
σ
z
x
±
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n
σ
z
x
±
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2
α
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1.96
z
±
=
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x
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n
σ
z
x
-
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n
σ
z
x
+
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1
=
a
-
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.025
2
α
=
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2.4068
 
 
1.9932
.2068
 
 
2.20
)
11
(0.35/
 
1.96
 
 
2.20
n
σ
z
 
 x
±
=
±
=
±
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