Teorema del Límite Central

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Teorema del Límite Central
7-1
n↑
Mientras el tamaño de muestra sea suficiente-mente grande… 
La distribución muestral se hará casi normal sin considerar la forma de la población
¿Qué es suficientemente grande?
Para la mayoría de las distribuciones, n > 30 dará una distribución muestral que es casi normal.
Para distribuciones simétricas, n > 15 es suficiente.
Para poblaciones con distribución normal, la distribución muestral de la media será siempre normal.
7-2
Usando la Distribución Muestral para Medias
Calcular la media muestral.
Definir la distribución muestral.
Definir la probabilidad de interés a calcular.
Convertir la media muestral a un valor z.
Encontrar la probabilidad usando la tabla de distribución normal estándar.
7-3
Ejemplo
Suponer una población con media μ = 8 y desviación estándar σ = 3. Además una muestra aleatoria de tamaño n = 36 es seleccionada. 
¿Cuál es la probabilidad que la media de la muestra esté entre 7.8 y 8.2?
7-4
Ejemplo
Solución:
Incluso si la población no tiene distribución normal, el teorema del límite central puede ser usado (n > 30)
… entonces la distribución de muestreo de es aproximadamente normal
… con media = μ = 8 
…y desviación estándar
7-5
(continuación)
Ejemplo
 Solución (continuación) – encontrar los valores z:
7-6
(continuación)
z
7.8 8.2
-0.4 0.4
Distribución Muestral
Distribución Normal Estándar
0.1554 0.1554
Distribución de la Población
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Muestrear
Estandarizar
x
Estimador Insesgado
Estimadores que producen estadísticos tales que el promedio de todos los posibles valores muestrales (de muestras del mismo tamaño) de los mismos coinciden con el parámetro de la población.
Ejemplo: La media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional.
Estimador Consistente
Un estimador insesgado es un estimador consistente si la diferencia entre el estimador y el parámetro tiende a cero conforme el tamaño de muestra se agranda.
Ejemplo: la media muestral es un estimador consistente de la media poblacional.
7-7
Distribución Muestral de una Proporción
El objeto del muestreo es la estimación de la proporción de una población que satisface un determinado atributo.
Ejemplos:
Un contador puede estar interesado en determinar la proporción de saldos de cuentas por cobrar que están correctas.
Un supervisor de producción puede desear determinar el porcentaje de productos libre de defectos.
El departamento de investigación de mercados podría desear conocer la proporción de compradores potenciales que efectivamente compraran el producto.
7-8
En todos estos casos se puede seleccionar una muestra, calcular la proporción muestral y tomar una decisión basada en los resultados de la muestra.
Al igual que las medias muestrales, las proporciones muestrales están sujetas al error muestral. La distribución muestral de estas proporciones son un medio para evaluar la magnitud potencial de estos errores muestrales.
7-9
Proporción Poblacional, π
 		π = Proporción de la población que tiene 
 alguna característica
Proporción muestral ( p ) proporciona un estimado de π :
Si hay dos resultados, p tiene distribución binomial
7-10
Distribución Muestral de p
Aproximado por una
distribución normal si:
 
Donde
				 y 
7-11
(Donde π = Proporción poblacional)
Distribución Muestral
P( p )
.3
.2
.1
 0
 0 . 2 .4 .6 8 1
p
Teorema 5
Usando la Distribución Muestral para Proporciones
Determinar la proporción poblacional, p.
Calcular la proporción muestral, p.
Determinar la media y desviación estándar de la distribución muestral.
Definir el evento de interés.
Si np y n(1-p) son ambos mayores que 5, entonces convertir p a valor z.
Usar la tabla de la distribución normal estándar para determinar la probabilidad.
7-12
Ejemplo
Si la proporción verdadera de votantes que apoyan la propuesta A es π = 0.4. ¿Cuál es la probabilidad que una muestra de tamaño 200 dé una proporción muestral entre 0.40 y 0.45?
7-13
Es decir: Si π = 0.4 y n = 200. ¿Cuánto es 
			 P(0.40 ≤ p ≤ 0.45)?
Ejemplo
Si π = 0.4 y n = 200. ¿Cuánto es
			 P(0.40 ≤ p ≤ 0.45)?
7-14
Determinar : 
Convertir a la normal estándar (valor z): 
Ejemplo
Si π = 0.4 y n = 200. ¿Cuánto es
			 P(0.40 ≤ p ≤ 0.45)?
7-15
Usar la tabla normal estándar: P(0 ≤ z ≤ 1.44) = 0.4251
z
0.45
1.44
0.4251
Estandarizar
Distribución Muestral
Distribución Normal Estándar
(continuación)
0.40
0
p
oleObject1.bin
image7.wmf
oleObject2.bin
image8.emf
oleObject3.bin
image9.wmf
x
oleObject4.bin
image10.wmf
x
μ
oleObject5.bin
image11.wmf
0.5
36
3
n
σ
σ
x
=
=
=
oleObject10.bin
oleObject6.bin
image12.wmf
0.3108
0.4)
z
P(-0.4
36
3
8
-
8.2
n
σ
μ
-
 
x
36
3
8
-
7.8
P
 
 
8.2)
 
 
x
 
 
P(7.8
=
<
<
=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
<
<
=
<
<
oleObject7.bin
image13.wmf
8
μ
=
oleObject8.bin
image14.wmf
8
μ
x
=
oleObject9.bin
image15.wmf
0
μ
z
=
oleObject11.bin
image16.wmf
muestra
 
la
 
de
 
Tamaño
muestra
 
la
en 
 
éxitos
 
de
 
Número
n
x
p
=
=
oleObject12.bin
image17.wmf
π
μ
p
=
oleObject13.bin
image18.wmf
n
π)
π(1
σ
p
-
=
oleObject14.bin
image19.wmf
5
π)
n(1
5
n
π
³
-
³
oleObject15.bin
image20.wmf
.03464
0
200
.4)
0
0.4(1
n
π)
π(1
σ
p
=
-
=
-
=
oleObject16.bin
image21.wmf
1.44)
z
P(0
.03464
.40
0
0.45
z
.03464
.40
0
0.40
P
.45)
0
p
P(0.40
£
£
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
£
£
-
=
£
£
oleObject17.bin
image22.emf
p
σ
image1.png
image3.png
image4.png
image5.png
image6.png