Margen de Error

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Margen de Error
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Margen de Error
Margen de Error (e): Es la cantidad agregada y sustraída al punto estimado para formar el intervalo de confianza
Define la relación entre el parámetro (población) y su estadístico (muestra).
Medida de la cercanía que se espera que el estimado puntual esté del parámetro poblacional, según el nivel de confianza especificado.
Ejemplo: Margen de error para estimar μ, σ conocida:
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Factores que Afectan el Margen de Error 
Dispersión de datos, σ : 	e 	cuando σ 
Tamaño de muestra, n : 	e 	cuando n 
Nivel de confianza, 1 -  : 	e 	 si 1 -  
Intervalo de Confianza para μ
(σ Desconocida) 
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Si la desviación estándar poblacional, σ, es desconocida, podemos sustituirla por la desviación estándar muestral, s.
Esto introduce incertidumbre extra, desde que s varía de muestra a muestra.
Entonces usamos la distribución t en vez de la distribución normal estándar.
Intervalo de Confianza para μ
(σ Desconocida) 
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Supuestos
Desviación estándar poblacional es desconocida.
Población tiene distribución normal.
Si la población no es normal, usar una muestra grande n > 30.
Usar la distribución t (de Student)
Intervalo de Confianza:
(continuación)
Intervalo de Confianza para μ
(σ Desconocida) 
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Las distribuciones t son una familia de distribuciones.
El valor t depende de los grados de libertad (gl.)
Número de observaciones que son libres de variar después que la media muestral ha sido calculada.
				 gl. = n – 1
Solamente hay n-1 datos independientes en la muestra dado que la media muestral ha sido calculada.
Distribución t (de Student)
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Si la media de estos tres valores es 8.0, 
entonces x3 debe ser 9 
(x3 no es libre de variar)
Grados de Libertad (gl)
Idea: Número de observaciones que son libres de variar 
		 después que la media muestral ha sido calculada
Ejemplo: Suponer que la media de 3 números es 8.0
	Sea x1 = 7
	Sea x2 = 8
	¿x3 es?
Aquí, n = 3, entonces los grados de libertad = n -1 = 3 – 1 = 2
(2 observaciones pueden tomar cualquier número, pero el tercero no es libre de variar para una media dada)
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Distribución t (de Student)
t
0
t (gl = 5)
 t (gl = 13)
Las distribuciones t son simétricas y tienen forma de campana, pero tienen colas más gruesas que la normal
Normal Estándar
(t con gl = )
Comparación de distribuciones t con Z cuando n crece
Cuando n , el estimado de s se hace mejor y t converge a Z
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Tabla t (de Student)
Nivel de Confianza
gl
0.50
0.80
0.90
1
1.000
3.078
6.314
2
0.817
1.886
2.920
3
0.765
1.638
2.353
t
0
2.920
El cuerpo de la tabla contiene valores t, no probabilidades
Sea: n = 3, gl = n - 1 = 2, 
nivel de confianza = 90%
/2 = 0.05
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Distribución t: Valores
Comparación con el valor z
 Nivel de t t t z
Confianza (10 gl) (20 gl) (30 gl) ____
 0.80 	 1.372 1.325 1.310 1.28
 0.90 1.812 1.725 1.697 1.64
 0.95 2.228 2.086 2.042 1.96
 0.99 3.169 2.845 2.750 2.58
Nota: Comparación de t con z cuando n crece
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Ejemplo
 Una muestra aleatoria de n = 25 tiene x = 50 y 
	s = 8. Construir un intervalo de confianza al 
 95% para μ
gl = n – 1 = 24, entonces
El intervalo de confianza es:
46.698 		 53.302
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Aproximación para Muestras Grandes
Como t se parece a z cuando el tamaño muestral crece, una aproximación es usada a veces cuando n es grande.
La tabla proporciona valores t hasta los 500 grados de libertad.
Hay programas que proporcionan el valor t correcto para cualquier grado de libertad.
Fórmula correcta, σ desconocida
Aproximación para n grande
Tamaño de la Muestra
Lo ideal es tener un alto nivel de confianza, un bajo margen de error y un tamaño de muestra pequeño.
Lamentablemente, estos tres objetivos están en conflicto, se requiere un balance entre los mismos.
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oleObject1.bin
image1.wmf
n
σ
z
x
±
oleObject2.bin
image2.wmf
n
σ
z
e
=
oleObject3.bin
image3.wmf
n
σ
z
e
=
oleObject4.bin
image4.wmf
n
s
t
x
±
oleObject5.bin
image5.wmf
2.0639
t
0.025,24
1
n
,
/2
=
=
-
a
t
oleObject6.bin
image6.wmf
25
8
(2.0639)
50
n
s
t
x
±
=
±
oleObject7.bin
image7.wmf
n
s
t
x
±
oleObject8.bin
image8.wmf
n
s
z
x
±