Aproximación para Muestras Grandes

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Aproximación para Muestras Grandes
Como t se parece a z cuando el tamaño muestral crece, una aproximación es usada a veces cuando n es grande.
La tabla proporciona valores t hasta los 500 grados de libertad.
Hay programas que proporcionan el valor t correcto para cualquier grado de libertad.
Fórmula correcta, σ desconocida
Aproximación para n grande
Tamaño de la Muestra
Lo ideal es tener un alto nivel de confianza, un bajo margen de error y un tamaño de muestra pequeño.
Lamentablemente, estos tres objetivos están en conflicto, se requiere un balance entre los mismos.
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Determinación del Tamaño de Muestra
El tamaño de muestra requerido puede ser hallado considerando un margen de error deseado (e) y un nivel de confianza (1 - )
Tamaño de muestra requerido, σ conocida: 
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Tamaño de Muestra Requerido: Ejemplo
Si  = 45. ¿Cuál es el tamaño de muestra necesario al 90% de confianza para estar dentro del ± 5? 
(Siempre redondear hacia arriba)
Entonces el tamaño de muestra requerido es n=220
¿Qué si no se conoce la desviación estándar de la población?
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Tres alternativas:
Considerar un valor d para la DS, tal que se tenga la seguridad que la DS de la población será menor a ese valor d.
Tomar una muestra piloto y en base a ella estimar la DS de la población. Los datos de la muestra piloto podrán ser usados más adelante como unidades de la muestra que se recolecte.
Emplear el rango de los valores que puede tomar la población, para estimar su DS.
Continúa….
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Rango de Valores Poblacionales
La regla empírica y la distribución normal indican que virtualmente todos los valores de la población están contenidos en el intervalo:
				μ ± 3σ
Por lo tanto, los valores poblacionales están:
			De μ - 3σ a μ + 3σ
Esto es, se tiene un rango:
		R = ( μ + 3σ ) - ( μ - 3σ ) = 6σ
De esta forma, si se conoce el rango poblacional, la DS de la población se puede estimar como:
	σ ≈ R / 6 o	en forma más conservadora: σ ≈ R / 4 
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Estimación de una proporción poblacional
Se ha visto la estimación de una media poblacional, sin embargo hay situaciones en que lo que interesa es la estimación de la proporción de la población que satisface o posee determinado atributo.
Ejemplo: 	La estimación de la proporción de la población de 			clientes que están satisfechos con el servicio brindado 		por una empresa.
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Se denota con π la proporción de la población que satisface el atributo de interés.
Una estimación puntual o un estimado punto de π está dado por la proporción p de objetos de la muestra que satisfacen el atributo en cuestión:
	p = x / n
Donde:
		p:	Proporción muestral
		x:	Número de objetos que satisfacen el atributo
		n:	Tamaño de la muestra
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Intervalos de Confianza para la Proporción Poblacional, π
Un intervalo estimado para la proporción poblacional ( π ) puede ser calculado agregando y sustrayendo una tolerancia (que expresa la incertidumbre) a la proporción muestral ( p ).
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Recordar que la distribución de la proporción muestral es aproximadamente normal si el tamaño de muestra es grande, con desviación estándar
Estimación con los datos muestrales:
(continuación)
np ≥ 5 y n(1-p) ≥ 5
Intervalos de Confianza para la Proporción Poblacional, π
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Límites de un Intervalo de Confianza
Los límites de confianza, inferior y superior, para la proporción poblacional son calculados con la fórmula
Donde 
z es el valor normal estándar para el nivel de confianza deseado
p es la proporción muestral
n es el tamaño de muestra
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Ejemplo
Una muestra aleatoria de 100 personas indica que 25 son zurdos.
Construir un intervalo de confianza al 95% para la proporción poblacional de zurdos.
8-14
Ejemplo
Una muestra aleatoria de 100 personas indica que 25 son zurdos. Construir un intervalo de confianza al 95% para la proporción poblacional de zurdos.
1.
2.
3.
(continuación)
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Interpretación
Estamos 95% seguros que el porcentaje de zurdos en la población está entre
16.51% y 33.49%
Aunque este rango podría contener o no la proporción poblacional, el 95% de los inter-valos construidos de esta forma y de tamaño muestral 100 la contendrá.
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Cambiando el Tamaño de Muestra
Incrementos en el tamaño de muestra reducen el ancho del intervalo de confianza. 
Ejemplo: 
Si el tamaño de muestra en el ejemplo anterior fuera el doble, 200, y si 50 fueran los zurdos en la muestra, entonces el intervalo todavía seguiría centrado en 0.25, pero con el ancho reducido 	 
 0.19 0.31
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Hallando el Tamaño Muestral Requerido en Problemas de Proporción
Calcular n:
Definir el 
margen de error:
π puede ser estimado con una muestra piloto. Si es necesario ser conservador usar π = 0.50 (máxima variación posible, por lo tanto, máximo tamaño de muestra)
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¿Qué Tamaño de Muestra?
¿Cuán grande debería ser una muestra para estimar la proporción de defectuosos en una población grande con margen de error de 3% y 95% de confianza? 
 (Asumir que una muestra piloto da p=0.12)
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Solución:
Para el 95% de confianza, usar z = 1.96
e = 0.03
p = 0.12, usar esto para estimar π
Usar n = 451
(continuación)
¿Qué Tamaño de Muestra?
oleObject1.bin
image1.wmf
n
s
t
x
±
oleObject2.bin
image2.wmf
n
s
z
x
±
oleObject3.bin
image3.wmf
2
2
2
2
e
σ
z
e
σ
z
n
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
oleObject4.bin
image4.wmf
n
z
s
=
e
oleObject5.bin
image5.wmf
219.19
5
(45)
1.645
e
σ
z
n
2
2
2
2
2
2
=
=
=
oleObject6.bin
image6.wmf
n
p)
p(1
s
p
-
=
oleObject7.bin
image7.wmf
n
π)
π(1
σ
π
-
=
oleObject8.bin
image8.wmf
n
p)
p(1
z
p
-
±
image9.png
oleObject9.bin
image10.wmf
0.0433
 
 
/100
0.25(0.75)
p)/n
p(1
S
0.25
25/100
 
p
p
=
=
-
=
=
=
oleObject10.bin
image11.wmf
0.3349
 
 
0.1651
(0.0433)
 
1.96
 
 
0.25
 
±
oleObject11.bin
image12.wmf
n
π)
π(1
z
e
-
=
oleObject12.bin
image13.wmf
2
2
e
π)
(1
π
z
n
-
=
oleObject13.bin
image14.wmf
450.74
(0.03)
.12)
0
(0.12)(1
(1.96)
e
π)
(1
π
z
n
2
2
2
2
=
-
=
-
=