Distribución Normal

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Juleisy Bolla
23/5/2024
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Distribución Normal
La distribución continua más importante.
Su importancia está dada por el gran número de procesos, artificiales y naturales, que generan variables aleatorias que se comportan según esta distribución.
6-1
Distribución Normal
 ‘Tiene forma de campana’
 Es simétrica 
 Media=Mediana=Moda
	
El centro está determinado por 
la media, μ
La dispersión está determinada por la desviación estándar, σ 
La variable aleatoria tiene un rango teórico infinito: 
<-  , + >
6-2
Media 
Mediana 
Moda
x
f(x)
μ
σ
6-3
A través de la variación de los parámetros μ y σ, se obtiene diferentes distribuciones normales
Distribuciones Normales
6-4
Forma de la Distribución Normal
x
f(x)
μ
σ
Cambiando μ la distribución se mueve a la izquierda o derecha..
Cambiando σ la dispersión crece o decrece
Distribución Normal
 
6-5
Encontrando Probabilidades Normales
6-6
a
b
x
f(x)
P
a
x
b
(
)


La probabilidad está determinada por el área bajo la curva
Probabilidad como Área Bajo la Curva
6-7
f(x)
x
μ
0.5
0.5
El área total bajo la curva es 1.0 y la curva es simétrica, entonces la mitad del área está arriba de la media y la otra abajo:
6-8
Distribución Normal Estándar
También conocida como “Distribución Z”
Media es 0
Desviación Estándar es 1
z
f(z)
0
1
Valores arriba de la media son valores z positivos Valores abajo de la media son valores z negativos
6-9
Una distribución normal (con cualquier combinación de media y desviación estándar) puede ser transformada a la distribución normal estándar (distribución z).
Se necesita transformar x a z, donde x es cualquier punto de interés.
Se puede usar el valor z para determinar probabilidades.
Conversión a la Distribución Normal Estándar
6-10
Conversión a la Distribución Normal Estándar
La conversión de x al valor z (Distribución Normal Estándar, Distribución Z) consiste en sustraer la media a x y dividirla por su desviación estándar:
 z es el número de desviaciones estándar en que x difiere de la media
(continuación)
6-11
Ejemplo
Si x tiene distribución normal con media de 100 y desviación estándar de 50, el valor z para x = 250 es:
Es decir, x=250 está a tres desviaciones estándar arriba de la media (3 incrementos de 50 unidades).
Comparando las unidades de “x” y “z”
6-12
z
100
3.0
0
250
x
Los problemas se pueden expresar en unidades originales (x) o en unidades estandarizadas (z)
μ = 100
σ = 50
6-13
Tabla de la Distribución Normal Estándar
 Da la probabilidad de la media (cero) hacia un valor z deseado (arriba de la media)
z
0
2.00
0.4772
Ejemplo: 
P(0 < z < 2.00) = 0.4772
Tabla de la Distribución Normal Estándar
La Tabla de la Distribución Normal Estándar da la probabilidad entre la media y un valor z deseado (arriba de la media).
El número asociado al valor z refiere al área entre la media y el valor +z
Desde que la distribución es simétrica, esta tabla solamente solo presenta probabilidades para la mitad de la distribución.
6-14
(continuación)
6-15
 El valor dentro de la tabla da la probabilidad de z = 0 a un valor z deseado
.4772
2.0
P(0 < z < 2.00) = 0.4772
 Las filas muestran el valor z con su primer decimal
 Las columnas dan el segundo decimal del valor z
2.0
.
.
.
(continuación)
Tabla de la Distribución Normal Estándar
Procedimiento General para Encontrar Probabilidades
Determinar m y s
Definir el evento de interés
ej., P(x > x1)
Convertir a la normal estándar
Usar la tabla para encontrar la probabilidad
6-16
6-17
Tabla Z: Ejemplo
Supongamos que x tiene distribución normal con media 8.0 y desviación estándar 5.0. Encontrar P(8 < x < 8.6)
 P(8 < x < 8.6)
= P(0 < z < 0.12)
Z
0.12
 0
x
8.6
 8
Calculando los valores z:
6-18
X tiene distribución normal con media 8.0 y des-viación estándar 5.0. Encontrar P(8 < x < 8.6)
 P(0 < z < 0.12)
z
0.12
 0
x
8.6
 8
 P(8 < x < 8.6)
 = 8
 = 5
 = 0
 = 1
Tabla Z: Ejemplo
Solución: Encontrando P(0 < z < 0.12)
6-19
Z
0.12
z
.00
.01
0.0
.0000
.0040
.0080
.0398
.0438
0.2
.0793
.0832
.0871
0.3
.1179
.1217
.1255
0.0478
.02
0.1
.0478
Tabla de la Distribución Normal Estándar (Porción)
0.00
= P(0 < z < 0.12)
P(8 < x < 8.6)
Hallando Probabilidades de la Normal
Supongamos que x es normal con media 8.0 y desviación estándar 5.0. 
Ahora hallar P(x < 8.6)
La probabilidad de obtener un valor menor que 8.6
6-20
Z
8.6
8.0
P = 0.5
Hallando Probabilidades de la Normal
6-21
(continuación)
Z
0.12
0.0478
0.00
0.5000
 P(x < 8.6) 
= P(z < 0.12)
= P(z < 0) + P(0 < z < 0.12)
= 0.5000 + 0.0478 = 0.5478
Supongamos que x es normal con media 8.0 y desviación estándar 5.0. 
Ahora hallar P(x < 8.6)
Probabilidad de la Cola Superior
6-22
Z
8.6
8.0
Supongamos que x es normal con media 8.0 y desviación estándar 5.0. 
Ahora hallar P(x > 8.6)
Probabilidad de la Cola Superior
Ahora hallar P(x > 8.6)…
6-23
 P(x > 8.6) = P(z > 0.12) = P(z > 0) - P(0 < z < 0.12)
 = 0.5000 - 0.0478 = 0.4522
(continuación)
Z
0.12
 0
Z
0.12
0.0478
 0
0.5000
0.4522
Probabilidad de la Cola Inferior
6-24
Z
7.4
8.0
Supongamos que x es normal con media 8.0 y desviación estándar 5.0. 
Ahora hallar P(7.4 < x < 8)
Probabilidad de la Cola Inferior
 Ahora hallar P(7.4 < x < 8), probabilidad entre 7.4 y la media (8)
6-25
Z
7.4
8.0
La distribución normal es simétrica, por lo tanto, podemos usar la misma tabla incluso si los valores z son negativos: 
P(7.4 < x < 8) 
= P(-0.12 < z < 0)
= 0.0478
(continuación)
0.0478
6-26
Regla Empírica
μ ± 1σ cubre alrededor del
 68% de los valores de x
f(x)
x
μ
μ+1σ
μ-1σ
¿Qué podemos decir acerca de la distribución de los valores alrededor de la media, si la distribución es normal? 
σ
σ
68.26%
Recordar a Tchebysheff Cap. 3
Regla Empírica
 μ ± 2σ cubre alrededor del 95% de los valores de x
 μ ± 3σ cubre alrededor del 99.7% de los valores de x
6-27
x
μ
2σ
2σ
x
μ
3σ
3σ
95.44%
99.74%
(continuación)
Importancia de la Regla
 Si un valor está a 2 ó más desviaciones
 estándar de la media en una distribución
 normal, entonces este se encuentra lejos 
 de la media
 La posibilidad que un valor esté lejos o muy 
 lejos de la media es altamente improbable,
 para una particular media y desviación 
 estándar
6-28
oleObject1.bin
Chart3
		0		0
		0.0022159242		2.95798147900149E-22		0.0000014867
		0.0025713205		0		0.000002439
		0.0029762662		0.0000000001		0.0000039613
		0.0034363833		0.0000000001		0.0000063698
		0.0039577258		0.0000000004		0.0000101409
		0.0045467813		0.0000000009		0.0000159837
		0.0052104674		0.0000000022		0.0000249425
		0.0059561218		0.0000000053		0.0000385352
		0.0067914846		0.0000000123		0.0000589431
		0.0077246736		0.0000000282		0.0000892617
		0.0087641502		0.0000000635		0.0001338302
		0.0099186772		0.0000001399		0.0001986555
		0.0111972651		0.0000003021		0.0002919469
		0.01260911		0.0000006396		0.0004247803
		0.0141635189		0.0000013273		0.0006119019
		0.0158698259		0.0000026996		0.0008726827
		0.0177372964		0.0000053823		0.0012322192
		0.0197750208		0.0000105183		0.0017225689
		0.021991798		0.0000201483		0.0023840882
		0.0243960093		0.0000378307		0.0032668191
		0.0269954833		0.0000696249		0.0044318484
		0.029797353		0.0001256026		0.0059525324
		0.0328079074		0.000222099		0.0079154516
		0.0360324372		0.0003849541		0.0104209348
		0.0394750792		0.0006540116		0.0135829692
		0.0431386594		0.0010891205		0.0175283005
		0.0470245387		0.0017777905		0.0223945303
		0.0511324623		0.0028444568		0.0283270377
		0.0554604173		0.0044609998		0.0354745928
		0.0600045003		0.0068577109		0.043983596
		0.0647587978		0.0103333289		0.0539909665
		0.0697152832		0.0152621405		0.06561581480.0748637328		0.0220955466		0.0789501583
		0.0801916637		0.0313550979		0.0940490774
		0.085684296		0.0436139765		0.1109208347
		0.0913245427		0.0594644379		0.1295175957
		0.0970930275		0.0794699724		0.1497274656
		0.1029681344		0.1041029212		0.171368592
		0.1089260885		0.1336709027		0.194186055
		0.1149410703		0.1682383327		0.217852177
		0.1209853623		0.2075521043		0.2419707245
		0.1270295282		0.2509824975		0.2660852499
		0.1330426249		0.2974910076		0.2896915528
		0.1389924431		0.3456355134		0.3122539334
		0.1448457764		0.3936198448		0.3332246029
		0.1505687161		0.4393895489		0.3520653268
		0.1561269667		0.4807691258		0.3682701403
		0.1614861798		0.5156292293		0.3813878155
		0.1666123014		0.5420665346		0.391042694
		0.1714719275		0.5585753608		0.3969525475
		0.1760326634		0.5641895835		0.3989422804
		0.1802634812		0.5585762459		0.3969525475
		0.1841350702		0.5420682525		0.391042694
		0.1876201735		0.5156316803		0.3813878155
		0.1906939077		0.480772173		0.3682701403
		0.1933340584		0.43939303		0.3520653268
		0.195521347		0.393623587		0.3332246029
		0.1972396655		0.345639347		0.3122539334
		0.1984762737		0.2974947787		0.2896915528
		0.199221957		0.2509860767		0.2660852499
		0.1994711402		0.2075553931		0.2419707245
		0.199221957		0.1682412651		0.217852177
		0.1984762737		0.1336734443		0.194186055
		0.1972396655		0.1041050656		0.171368592
		0.195521347		0.0794717353		0.1497274656
		0.1933340584		0.0594658513		0.1295175957
		0.1906939077		0.0436150822		0.1109208347
		0.1876201735		0.0313559426		0.0940490774
		0.1841350702		0.0220961768		0.0789501583
		0.1802634812		0.0152626		0.0656158148
		0.1760326634		0.0103336564		0.0539909665
		0.1714719275		0.0068579391		0.043983596
		0.1666123014		0.0044611553		0.0354745928
		0.1614861798		0.0028445605		0.0283270377
		0.1561269667		0.0017778581		0.0223945303
		0.1505687161		0.0010891637		0.0175283005
		0.1448457764		0.0006540385		0.0135829692
		0.1389924431		0.0003849706		0.0104209348
		0.1330426249		0.0002221089		0.0079154516
		0.1270295282		0.0001256083		0.0059525324
		0.1209853623		0.0000696282		0.0044318484
		0.1149410703		0.0000378326		0.0032668191
		0.1089260885		0.0000201493		0.0023840882
		0.1029681344		0.0000105189		0.0017225689
		0.0970930275		0.0000053826		0.0012322192
		0.0913245427		0.0000026998		0.0008726827
		0.085684296		0.0000013273		0.0006119019
		0.0801916637		0.0000006397		0.0004247803
		0.0748637328		0.0000003022		0.0002919469
		0.0697152832		0.0000001399		0.0001986555
		0.0647587978		0.0000000635		0.0001338302
		0.0600045003		0.0000000282		0.0000892617
		0.0554604173		0.0000000123		0.0000589431
		0.0511324623		0.0000000053		0.0000385352
		0.0470245387		0.0000000022		0.0000249425
		0.0431386594		0.0000000009		0.0000159837
		0.0394750792		0.0000000004		0.0000101409
		0.0360324372		0.0000000001		0.0000063698
		0.0328079074		0.0000000001		0.0000039613
		0.029797353		0		0.000002439
		0.0269954833		0		0.0000014867
		0.0243960093		0		0.0000008972
Sheet1
		x		population		sampling population				sigma		n
		-5		0.0022159242		2.95798147900149E-22		0.0000014867		2		8		1
		-4.9		0.0025713205		0		0.000002439		0.7071067812				1
		-4.8		0.0029762662		0.0000000001		0.0000039613		1				2
		-4.7		0.0034363833		0.0000000001		0.0000063698
		-4.6		0.0039577258		0.0000000004		0.0000101409
		-4.5		0.0045467813		0.0000000009		0.0000159837
		-4.4		0.0052104674		0.0000000022		0.0000249425
		-4.3		0.0059561218		0.0000000053		0.0000385352
		-4.2		0.0067914846		0.0000000123		0.0000589431
		-4.1		0.0077246736		0.0000000282		0.0000892617
		-4		0.0087641502		0.0000000635		0.0001338302
		-3.9		0.0099186772		0.0000001399		0.0001986555
		-3.8		0.0111972651		0.0000003021		0.0002919469
		-3.7		0.01260911		0.0000006396		0.0004247803
		-3.6		0.0141635189		0.0000013273		0.0006119019
		-3.5		0.0158698259		0.0000026996		0.0008726827
		-3.4		0.0177372964		0.0000053823		0.0012322192
		-3.3		0.0197750208		0.0000105183		0.0017225689
		-3.2		0.021991798		0.0000201483		0.0023840882
		-3.1		0.0243960093		0.0000378307		0.0032668191
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