DISTRIBUCION CONTINUA

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Unidad de competencia III.
Variable aleatoria continua.
Es aquella cuyo dominio de definición (campo de variación) es un intervalo (compacto) de la recta real, una unión de varios intervalos, o la totalidad de la recta real. (Por lo tanto los valores definidos de la variable aleatoria son un conjunto infinito no numerable.) El álgebra de sucesos del que surge debe contener un número infinito no numerable de sucesos, cada uno de ellos se corresponderá con alguno de los (infinitos) intervalos incluidos en el campo de definición.
Ejemplo:
Experimento: contemplar los carros que pasen por un tramo de carretera se aleatoriza de forma que la variable aleatoria X =tiempo que hay que esperar hasta que pase un carro X = [0, µ [, es decir X=R+
En el caso continuo no podremos hacer corresponder a los valores (puntuales) con sucesos de álgebra de sucesos, la correspondencia se establecerá entre sucesos del álgebra e intervalos pertenecientes al campo de variación de la variable. En consecuencia, no podremos asignar probabilidades a los valores de la variable, sino sólo a intervalos.
Una variable aleatoria continua es el modelo teórico de una variable estadística continua (agrupada por intervalos).
Una variable aleatoria continua es aquella cuya función de distribución es continua.
Función de distribución en una variable continua.
En una distribución de variable continua se induce probabilidad sobre todos los infinitos intervalos que integran el campo de definición de la variable. En consecuencia, ante cualquier incremento de la variable (por pequeño que sea) le corresponderá un incremento de la probabilidad de que se va acumulando, lo que hará que la función de probabilidad acumulada, la función de distribución tenga que ser continua en todos los puntos del campo de definición de la variable. Es esta la razón de que se llamen distribuciones continuas, ya que acumulan de forma continua su probabilidad.
Podemos observar cómo:
· La función de distribución es continua por ambos lados (absolutamente continua), acumulando la variable probabilidad de manera continuada desde que comienza su campo de variación hasta que termina (acumulando la masa total ,1).
· Tiene un perfil similar al del POLÍGONO ACUMULATIVO de una distribución de frecuencias de valores agrupados. Coincidiría con él si se tratara de intervalos infinitésimo.
Propiedades de la función de identidad.
Introducción.
Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas.
Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por las frecuencia o normalidad con la que los ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.
Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.
En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo valor de p y de valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una forma de campana
En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal
Distribución Normal, Características, Propiedades, Parámetros, Importancia.
La distribución normal se trata, pues, de una distribución de probabilidad de una variable continua. Las variables continuas son aquellas que pueden adoptar cualquier valor en el marco de un intervalo que ya está predeterminado. Entre dos de los valores, siempre puede existir otro valor intermedio, susceptible de ser tomado como valor por la variable continua. Un ejemplo de variable continua es el peso.
La función asociada a la distribución normal está dada por:
 A una distribución normal de media μ y desviación estándar σ se le denota N (μ, σ).
La distribución normal cuando μ = 0 y σ = 1 recibe el nombre de curva normal unitaria N (0,1))
Características
 Algunas de las características más representativas de la distribución normal son las siguientes:
1. Media y desviación típica
A la distribución normal le corresponde un media cero y una desviación típica o estándar de 1. La desviación típica o estándar indica la separación que existe entre un valor cualquiera de la muestra y la media.
2. Porcentajes
En una distribución normal, se puede determinar con exactitud qué porcentaje de los valores estará dentro de cualquier rango específico.
Por ejemplo:
Alrededor del 95% de las observaciones está dentro de 2 desviaciones estándar de la media. El 95% de los valores se ubicará dentro de 1.96 desviaciones estándar con respecto a la media (entre −1.96 y +1.96).
Aproximadamente el 68% de las observaciones está dentro de una 1 desviación estándar de la media (-1 a +1), y alrededor del 99.7% de las observaciones estarían dentro de 3 desviaciones estándar con respecto a la media (-3 a +3).
La distribución normal, también llamada distribución de Gauss o distribución gaussiana, es la distribución de probabilidad que con más frecuencia aparece en estadística y teoría de probabilidades. Esto se debe a dos razones fundamentalmente
Propiedades
La distribución normal posee ciertas propiedades a las cuales cabe resaltar entre ellas, las siguientes:
· la curva tiene un solo pico, por consiguiente, es unimodal. presenta una forma de campana.
· La media de una población distribuida normalmente se encuentra en el centro de su curva normal.
· La causa de la simetría de la distribución normal de probabilidad, la mediana y la moda de la distribución también se hallan en el centro, por tanto en una curva normal, la media, la mediana y la moda poseen el mismo valor.
· Las dos colas (extremos) de una distribución normal de probabilidad se extienden de manera indefinida y nunca tocan el eje horizontal.
Parámetros.
Importancia
La importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal:
Relación de la Distribución Normal con la Binomial.
Ahora, una Distribución Binomial B(n,p,) se puede aproximar a una Distribución Normal siempre que n sea grande y p no esté muy próxima a 0 ó 1. La aproximación consiste en utilizar una distribución normal con la misma media y desviación típica de la distribución binomial.
En la práctica se utiliza la aproximación cuando:
n  ≥ 30
n.p ≥ 5
n.q ≥ 5
En cuyo caso x= B(n,p) se puede aproximas a N(µ= n,p) , σ2  = n.p.q.
En cuyo caso:
Y tipificando se obtiene la normal estándar correspondiente:
                                                    
Distribución Normal Tipificada, Curva, Características, Parámetros
Es posible expresar cualquier distribución normal como una de la forma unitaria (N(0,1)), la cual se denomina distribución normal tipificada. Para ello se utiliza la expresión:
Una de las ventajas de tipificar una distribución es que se puede medir la desviación de los datos respecto a la media, lo cual permite comparar la posición relativa de los datos.
La distribución tipificada se aplica en estadística inferencial para determinar intervalos de confianza para la media de una población, usualmente se utiliza un nivel de confianza del 95% para el cual Z = 1.96.
Característica de la distribución normal tipificada
· No depende de ningún parámetro.
· Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1.
· La curva f(x) es simétrica respecto del eje OY.
· Tiene un máximo en este eje.
· Tiene dos puntos de inflexión en z =1 y z = -1.
Uso de las Tablas, Resolución de problemas, Ajuste de una normal.
La normal N (0; 1) se encuentra tabulada, para valores a partir de 0 y hasta 3’99. Si por ejemplo queremos calcular p (Z ≤ 2·78), hemos de realizar los pasos:
1. Buscar la parte entera y las décimas en la primera columna (en este caso 2’7).
2. Buscar las centésimas en la primera fila (en este caso 8).
3. En el punto común a la fila y la columna que hemos encontrado, tenemos la probabilidad buscada, en este caso 0’9973.
 Por tanto
p (Z    ≤  2·78) = 0·9973.
 
Si queremos calcular una probabilidad de un valor mayor que 3’99,basta fijarse en que las probabilidades correspondientes a valores tales como 3’62 y mayores ya valen 0’9999 (prácticamente 1). Por eso, para estos valores mayores que 3’99, diremos que la probabilidad es aproximadamente 1. Así:
P Z ≤ 5·62) ≈ 1
Aunque no aparezca en la tabla.
Por otra parte, en este tipo de distribuciones no tiene sentido plantearse probabilidades del tipo p(Z=k), ya que siempre valen 0, al no encerrar ningún área. Por tanto, si nos pidiesen p(Z=3’2), basta decir que p(Z=3’2)=0.
Este tipo de distribuciones en las cuales la probabilidad de tomar un valor concreto es 0 se denominan distribuciones continuas, para diferenciarlas de otras en las que esto no ocurre, como por ejemplo la binomial, que es una distribución discreta.
 Así, al pasar al complementario, si tenemos Z > k, su complementario será Z < k, pero como incluir k no influye en la probabilidad, al calcular probabilidades podemos escribir:
p(Z ≥ k) = 1 − p(Z < k) = 1 − p(Z ≤ k)
Sólo se puede hacer esto en distribuciones continuas, en el caso de la binomial esto no se puede hacer y hay que ser cuidadosos con el paso al complementario.
Para el manejo de la tabla en el cálculo de las probabilidades:
Ejercicios
Búsqueda en la tabla de valor de k
Unidades y décimas en la columna de la izquierda y Centésima en la fila de superior.
Distribución Exponencial.
La Distribución Exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que:
· Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que, el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.
Ejemplos de este tipo de distribuciones son:
· El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley que sigue este evento se utiliza en Ciencia para, por ejemplo, la datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14, C14;
· El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente;
· En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante.
Al ser un modelo adecuado para estas situaciones tiene una gran utilidad en los siguientes casos:
· Distribución del tiempo de espera entre sucesos de un proceso de Poisson
· Distribución del tiempo que transcurre hasta que se produce un fallo, si se cumple la condición que la probabilidad de producirse un fallo en un instante no depende del tiempo transcurrido. Aplicaciones en fiabilidad y teoría de la supervivencia.
	Comparamos las probabilidades obtenidas con las frecuencias relativas y evaluamos las diferencias. En este caso, parecen suficientemente pequeñas como para aceptar que los datos provienen efectivamente de una distribución normal. 
Fíjate que este último paso es totalmente subjetivo, aunque existen métodos estadísticos con los que tomar esta decisión de forma más precisa.
la distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua con un parámetro λ > 0 cuya función de densidad es:
	
Su función de distribución es: 
Donde e representa el número e.
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución exponencial son:
Ejercicio:
El periodo de vida en años de un interruptor eléctrico tiene una distribución exponencial con un promedio de falla de 2 años ¿cuál es la probabilidad de que al menos ocho de 10 de tales interruptores, que funcionan independientemente, fallen después del 3er año?
Si el promedio de fallos es 2 años sabemos que
E(X)=1/λ
Por lo tanto
2=1/λ       ►       λ=1/2=0.5
la fórmula de la exponencial es
f(x) = λ*exp(-λ*x)
P(X<=x) = F(x) = 1-exp(-λ*x)
La probabilidad que un interruptor falle después de 3 años es
P(X>3) =  1-P(X<=3) =   1-F(3) =      1- ( 1-exp(-0.5*3) ) =  0.2231
Es decir que la probabilidad que un interruptor falle es p=0.2231
Para calcular la probabilidad que al menos 8 de 10 fallen después del 3 año, necesitamos la distribución binomial con parámetros
n=10
p=0.2231
La fórmula es
P(X=x) = C(n,x) px *(1-p)(n-x)
En este caso
P(X=x) = C(10,x) * 0.2231^x * 0.7769^(10-x)
y debemos calcular
P(X>=8) = P(X=8) + P(X=9) +P(X=10)
P(X=8) = C(10,8) * 0.2231^8 * 0.7769^(10-8) = 0.0001667
P(X=9) = C(10,9) * 0.2231^9 * 0.7769^(10-9) = 0.0000106
P(X=10) = C(10,10) * 0.2231^10 * 0.7769^(10-10) = 0.000000305
La suma de las probabilidades es 0.000178 y por lo tanto
P(X>=8) = 0.000178