Propiedades de una Distribución Muestral

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Propiedades de una Distribución Muestral
Para cualquier población, 
El valor promedio de todas las posibles medias muestrales calculadas de todas las posibles muestras aleatorias de un tamaño dado de la población es igual a la media poblacional.
La desviación estándar de todas las posibles medias muestrales calculadas de todas las posibles muestras aleatorias de tamaño n es igual a la desviación estándar poblacional dividida por la raíz cuadrada del tamaño de muestra.
7-1
Teorema 1
Teorema 2
Es considerado un estimador “insesgado” 
Llamado también error estándar
Si una Población es Normal
7-2
Si una población es normal con media μ y desviación estándar σ, la distribución muestral de x también es normal con
			 
y
Teorema 3
A medida que n se incrementa la dispersión de la distribución muestral se reduce 
Propiedades de la Distribución Muestral
La media muestral es un estimador insesgado
7-3
Distribución Poblacional Normal
Distribución Muestral Normal
(tiene la misma media)
Propiedades de la Distribución Muestral
La media muestral es un estimador consistente
	 (el valor de x se acerca a μ a medida que n crece):
7-4
Tamaño de muestra grande
Tamaño de muestra pequeño
x
Población
 Si n crece, 
 decrece
Valor Z para la Distribución Muestral de x
El valor z para la distribución muestral de x:
7-5
Donde:		= Media muestral
		= Media poblacional
		= Desviación estándar poblacional
	 n = Tamaño de muestra
Volver al Ejemplo….
Supongamos una población…
Tamaño de población N=4
Variable aleatoria, x, es la
edad de los individuos
Valores de x: 18, 20,
22, 24 (años)
7-6
A
B
C
D
Repita el Ejercicio pero….
Considere muestras de 2 individuos sin reemplazo.
Encuentre la distribución muestral.
¿Qué pasa con la media de la distribución muestral? ¿Coincide con la poblacional?
¿Qué pasa con la desviación estándar de la distibución muestral? ¿Se sigue cumpliendo:
 
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7-7
Comparando la Población con su Distribución Muestral
7-8
Distribución de la Población
N = 4
Distribución de la Media Muestral
n = 2
Se mantiene que la media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional.
Pero ahora la desviación estándar de la distribución muestral ya no es igual a: 
¿Qué ocurre?
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7-9
Explicación
Cuando se tenía muestreo con reemplazo esto era equivalente a un tamaño de muestra pequeño, en relación a la población:
La población era como infinita:
	A, B, C, D, A, B, C, D, A, B, C,…..
La muestra n = 2 era pequeña
Con muestreo sin reemplazo:
La población era N = 4: A, B, C, D.
La muestra n = 2 representaba el 25% de la población
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7-10
Para poblaciones finitas se requiere efectuar un ajuste…….
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7-11
Corrección por Población Finita
Aplicar la Corrección por Población Finita si:
La muestra es grande relativa a la población
 (n es mayor al 5% de N)
y…
El muestreo es sin remplazo
Entonces
Donde: El factor de corrección por población finita es: 
7-12
Repita el ejemplo aplicando el factor de corrección:
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7-13
Si la Población no es Normal
Se puede aplicar el Teorema del Límite Central:
Incluso si la población no es normal,
…las medias muestrales de la población se distribuirán aproximadamente como una normal mientras el tamaño de muestra sea suficientemente grande
…y la distribución muestral tendrá:
 y
7-14
Teorema 4
oleObject1.bin
image6.wmf
μ
μ
x
=
oleObject2.bin
image7.wmf
n
σ
σ
x
=
oleObject3.bin
oleObject4.bin
oleObject9.bin
image12.wmf
x
μ
oleObject5.bin
image8.emf
oleObject6.bin
image9.emf
oleObject7.bin
image10.wmf
μ
μ
x
=
oleObject8.bin
image11.wmf
μ
oleObject10.bin
image13.emf
oleObject11.bin
image14.wmf
n
σ/
σ
x
=
oleObject12.bin
oleObject13.bin
image15.emf
oleObject18.bin
image20.wmf
n
σ
μ)
x
(
z
-
=
oleObject14.bin
image16.emf
x
oleObject15.bin
image17.wmf
μ
oleObject16.bin
image18.wmf
oleObject17.bin
image19.wmf
σ
image21.wmf
image22.wmf
image23.wmf
image24.png
oleObject22.bin
image25.wmf
1.29
σ
 
21
μ
x
x
=
=
oleObject23.bin
image26.wmf
2.236
σ
 
21
μ
=
=
oleObject24.bin
image27.wmf
1
N
n
N
n
σ
μ)
x
(
z
-
-
-
=
oleObject25.bin
image28.wmf
1
N
n
N
-
-
oleObject26.bin
oleObject27.bin
image29.wmf
oleObject28.bin
oleObject29.bin
image2.png
image3.png
image5.png