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DINAMICADINAMICA VIBRACIONEVIBRACIONES S MECANICASMECANICAS
INGENIERIA INGENIERIA ELECTROMECANELECTROMECANICA ICA Pág. Pág. 11
Í n d i c eÍ n d i c e
IntroducciónIntroducción………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………..…………………………… 22
1.1. Vibraciones sin Vibraciones sin amortiguamienamortiguamientoto……………………………………………………………………………….6……………………………………………………………………………….6
1.1.1.1. Vibraciones libres Vibraciones libres de de partículas. Movimiento armónico partículas. Movimiento armónico simple…………simple………………………………………….…….77
1.2.1.2. Péndulo simple (soluciónPéndulo simple (solución aproximada)………………………………………………………………...9aproximada)………………………………………………………………...9
1.3.1.3. Péndulo simple (solución exacta)……………………………………………………………………….Péndulo simple (solución exacta)………………………………………………………………………..10.10
1.4.1.4. Vibraciones libres de cuerpos rígidos………………………………………………………………….12Vibraciones libres de cuerpos rígidos………………………………………………………………….12
1.5.1.5. Aplicación del principio Aplicación del principio de la de la conservación de la conservación de la energía……………energía…………………………………………………………14…14
1.6.1.6. VibracionesVibraciones forzadas…………………………………………………………………………………………forzadas………………………………………………………………………………………… ..15..15
2.2. Vibraciones Vibraciones amortiguadaamortiguadass…………………………………………………………………………………………20…………………………………………………………………………………………20
2.1.2.1. Vibraciones libres amortiguadas…………………………………………………………………………Vibraciones libres amortiguadas…………………………………………………………………………2121
2.2.2.2. Vibraciones forzadas amortiguadas………………………………………………………………….…Vibraciones forzadas amortiguadas………………………………………………………………….…2424
ConclusiónConclusión……………………………………………………………………………………………………………………….26……………………………………………………………………………………………………………………….26
Bibliografía………………………………………………………………………………………………………………………27Bibliografía………………………………………………………………………………………………………………………27
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El aumento permanente de las potencias en máquinas, junto con una disminuciónEl aumento permanente de las potencias en máquinas, junto con una disminución
simultánea de gasto de materiales, y la alta exigencia de calidad y productividadsimultánea de gasto de materiales, y la alta exigencia de calidad y productividad
industrial, hacen que el análisis dinámico de las vibraciones mecánicas enindustrial, hacen que el análisis dinámico de las vibraciones mecánicas en
máquinas e instalaciones industriales sea cada vez más exacto.máquinas e instalaciones industriales sea cada vez más exacto.
El estudio de las vibraciones mecánicas se ha convertido en algo esencial para elEl estudio de las vibraciones mecánicas se ha convertido en algo esencial para el
estudiante de ingeniería mecánica ya que el buen funcionamiento de maquinariaestudiante de ingeniería mecánica ya que el buen funcionamiento de maquinaria
mecánica está relacionado en muchos casos con su comportamiento vibratorio.mecánica está relacionado en muchos casos con su comportamiento vibratorio.
Es importante conocer la clasificación de las vibraciones mecánicas ya que nosEs importante conocer la clasificación de las vibraciones mecánicas ya que nos
presentan un panorama de los diferentes estudios.presentan un panorama de los diferentes estudios.
Otra herramienta importante en el estudio de las vibraciones mecánicas es elOtra herramienta importante en el estudio de las vibraciones mecánicas es el
modelo matemático. Este procedimiento debe ser preciso ya que los erroresmodelo matemático. Este procedimiento debe ser preciso ya que los errores
producen información errónea.producen información errónea.
El estudio de las vibraciones mecánicas también llamado, mecánica de lasEl estudio de las vibraciones mecánicas también llamado, mecánica de las
vibraciones, es una rama de la mecánica, o más generalmente de la ciencia,vibraciones, es una rama de la mecánica, o más generalmente de la ciencia,
estudia los movimientos oscilatorios de los cuerpos o sistemas y de las fuerzasestudia los movimientos oscilatorios de los cuerpos o sistemas y de las fuerzas
asociadas con ella.asociadas con ella.
Vibración:Vibración: es el movimiento de vaivén que ejercen las partículas de un cuerpoes el movimiento de vaivén que ejercen las partículas de un cuerpo
debido a una excitación.debido a una excitación.
Existe una relación entre el estudio de las vibraciones mecánicas del sonido, si unExiste una relación entre el estudio de las vibraciones mecánicas del sonido, si un
cuerpo sonoro vibra el sonido escuchado está estrechamente relacionado con lacuerpo sonoro vibra el sonido escuchado está estrechamente relacionado con la
vibración mecánica, por ejemplo una cuerda de guitarra vibra produciendo el tonovibración mecánica, por ejemplo una cuerda de guitarra vibra produciendo el tono
correspondiente al número de ciclos por segundo de vibración.correspondiente al número de ciclos por segundo de vibración.
Para que un cuerpo o sistema pueda vibrar debe poseer característicasPara que un cuerpo o sistema pueda vibrar debe poseer características
potenciales y cinéticas. Nótese que se habla de cuerpo y sistema si un cuerpo nopotenciales y cinéticas. Nótese que se habla de cuerpo y sistema si un cuerpo no
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tiene la capacidad de vibrar se puede unir a otro y formar un sistema que vibre;tiene la capacidad de vibrar se puede unir a otro y formar un sistema que vibre;
por ejemplo, una masa y resorte donde la masa posee características energéticaspor ejemplo, una masa y resorte donde la masa posee características energéticas
cinéticas, y el resorte, características energéticas potenciales.cinéticas, y el resorte, características energéticas potenciales.
Otro ejemplo de un sistema vibratorio es una masa y una cuerda empotrada de unOtro ejemplo de un sistema vibratorio es una masa y una cuerda empotrada de un
extremo donde la masa nuevamente forma la parte cinética y el cambio deextremo donde la masa nuevamente forma la parte cinética y el cambio de
posición la parte potencial.posición la parte potencial.
Vibración mecánica:Vibración mecánica: es el movimiento de vaivén de las moléculas de un cuerpo oes el movimiento de vaivén de las moléculas de un cuerpo o
sistema debido a que posee características energéticas cinéticas y potenciales.sistema debido a que posee características energéticas cinéticas y potenciales.
Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscilaUna vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila
alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las vibraciones enalrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las vibraciones en
maquinas y estructuras son indeseables debido al aumento de los esfuerzos y amaquinas y estructuras son indeseables debido al aumento de los esfuerzos y a
las pérdidas de energía que las acompañan. Por lo tanto, es necesario eliminarlaslas pérdidas de energía que las acompañan. Por lo tanto, es necesario eliminarlas
o reducirlas en el mayor grado posible mediante un diseño apropiadoo reducirlas en el mayor grado posible mediante un diseño apropiado
En cualquiera que sea el caso, la excitación es el suministro de energía. ComoEn cualquiera que sea el caso, la excitación es el suministro de energía. Como
ejemplos de excitación instantánea tenemos el golpeteo de una placa, el rasgueóejemplos de excitación instantánea tenemos el golpeteo de una placa, el rasgueó
de las cuerdas de una guitarra el impulso y deformación inicial de un sistemade las cuerdas de una guitarra el impulso y deformación inicial de un sistema
masa resorte, etc.masa resorte, etc.
Como ejemplo de una excitación constante tenemos el intenso caminar de unaComo ejemplo de una excitación constante tenemos el intenso caminar de una
persona sobre un puente peatonal, un
rotor desbalanceado cuyo efecto espersona sobre un puente peatonal, un rotor desbalanceado cuyo efecto es
vibración por desbalance, el motor de un automóvil, un tramo de retenedores esvibración por desbalance, el motor de un automóvil, un tramo de retenedores es
una excitación constante para el sistema vibratorio de un automóvil, etc.una excitación constante para el sistema vibratorio de un automóvil, etc.
Vamos a ver varias formas de clasificar el estudio de las vibraciones mecánicas.Vamos a ver varias formas de clasificar el estudio de las vibraciones mecánicas.
Vibración libre:Vibración libre: es cuando un sistema vibra debido a una excitación instantánea.es cuando un sistema vibra debido a una excitación instantánea.
Vibración forzada:Vibración forzada: es cuando un sistema vibra debida a una excitaciónes cuando un sistema vibra debida a una excitación
constante.constante.
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Esta importante clasificación nos dice que un sistema vibra libre mente solo y soloEsta importante clasificación nos dice que un sistema vibra libre mente solo y solo
si existen condiciones iniciales, ya sea que suministremos la energía por medio desi existen condiciones iniciales, ya sea que suministremos la energía por medio de
un pulso (energía cinética) o debido a que posee energía potencial, por ejemploun pulso (energía cinética) o debido a que posee energía potencial, por ejemplo
deformación inicial de un resorte.deformación inicial de un resorte.
Esta energía es disipada por el fenómeno llamado amortiguación, en ocasiones esEsta energía es disipada por el fenómeno llamado amortiguación, en ocasiones es
despreciable.despreciable.
Aun cuando la energía es disipada durante la vibración, en el caso de la vibraciónAun cuando la energía es disipada durante la vibración, en el caso de la vibración
forzada esta descompensada por la excitación constante.forzada esta descompensada por la excitación constante.
Vibración amortiguada:Vibración amortiguada: es cuando la vibración de un sistema es disipada.es cuando la vibración de un sistema es disipada.
Vibración no amortiguada:Vibración no amortiguada: es cuando la disipación de energía se puede disipares cuando la disipación de energía se puede disipar
para su estudio.para su estudio.
El amortiguamiento es un sinónimo de la perdida de energía de sistemasEl amortiguamiento es un sinónimo de la perdida de energía de sistemas
vibratorios. Este hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno devibratorios. Este hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de
un material, de rozamiento, o bien, un elemento físico llamado amortiguador.un material, de rozamiento, o bien, un elemento físico llamado amortiguador.
Vibración lineal:Vibración lineal: si los componentes básicos de un sistema tienen unsi los componentes básicos de un sistema tienen un
comportamiento lineal la vibración resultante es lineal.comportamiento lineal la vibración resultante es lineal.
Vibración no lineal:Vibración no lineal: se produce si alguno de sus componentes se comporta comose produce si alguno de sus componentes se comporta como
no lineal.no lineal.
El comportamiento lineal de un elemento facilita su estudio, en la realidad todoEl comportamiento lineal de un elemento facilita su estudio, en la realidad todo
elemento de comporta como no lineal pero los resultados de su estudio noelemento de comporta como no lineal pero los resultados de su estudio no
difieren, en su mayoría, a los realizados si se consideran como elementos lineales.difieren, en su mayoría, a los realizados si se consideran como elementos lineales.
Cuando, aplicando una fuerza adicional, se desplaza un punto material o unCuando, aplicando una fuerza adicional, se desplaza un punto material o un
cuerpo rígido que estaba en equilibrio estable, aparece una vibración mecánica:cuerpo rígido que estaba en equilibrio estable, aparece una vibración mecánica:
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1. 1. Oscilación horizontal de un cuerpo Oscilación horizontal de un cuerpo unido a un resorte (unido a un resorte (fig. a) cuando sefig. a) cuando se
aparta de su posición de equilibrio y luego se suelta.aparta de su posición de equilibrio y luego se suelta.
2. Oscilación vertical de un trampolín o de una varilla (fig. b) cuando se2. Oscilación vertical de un trampolín o de una varilla (fig. b) cuando se
desplaza de su posición de equilibrio y luego se suelta.desplaza de su posición de equilibrio y luego se suelta.
3. Oscilación circular de la lenteja de un péndulo suspendida por un hilo3. Oscilación circular de la lenteja de un péndulo suspendida por un hilo
inextensible de peso despreciable (fig. c) cuando se desplaza por suinextensible de peso despreciable (fig. c) cuando se desplaza por su
posición de equilibrio y luego se suelta.posición de equilibrio y luego se suelta.
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Veamos la siguiente situación:Veamos la siguiente situación:
Cuando se agrega una masa M en un resorte, sabemos que este tendera a unCuando se agrega una masa M en un resorte, sabemos que este tendera a un
alargamientoalargamiento  y después quedando nuevamente en equilibrio. En estey después quedando nuevamente en equilibrio. En este
momento y según el diagrama estático:momento y según el diagrama estático:
          
Suponiendo ahora que la partícula se desplaza una distanciaSuponiendo ahora que la partícula se desplaza una distancia  desde sudesde su
posición de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial. Tomando como positiva laposición de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial. Tomando como positiva la
distancia abajo del punto de equilibrio y negativo desde el punto de equilibrio haciadistancia abajo del punto de equilibrio y negativo desde el punto de equilibrio hacia
arriba.arriba.
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INGENIERIA INGENIERIA ELECTROMECANELECTROMECANICA ICA Pág. Pág. 88
Después de esta acción, se va a generar una amplitudDespués de esta acción, se va a generar una amplitud xxmm. Para el análisis, se. Para el análisis, se
estudiara cuando la masa se encuentre por la posiciónestudiara cuando la masa se encuentre por la posición xx, en ese momento y, en ese momento y
según el diagrama de equilibrio:según el diagrama de equilibrio:
                                      
          
             
      
El movimiento que define la ecuación anterior se llamaEl movimiento que define la ecuación anterior se llama Movimiento ArmónicoMovimiento Armónico
SimpleSimple. Se caracteriza por que la aceleración es proporcional al desplazamiento y. Se caracteriza por que la aceleración es proporcional al desplazamiento y
de sentido opuesto. La solución general para la ecuaciónde sentido opuesto. La solución general para la ecuación      ,, es:es:
            
            
             
Los valores de A y B, dependen de las condiciones iniciales del movimiento. SeLos valores de A y B, dependen de las condiciones iniciales del movimiento. Se
obtiene que:obtiene que:
         
Después de análisis vectoriales:Después de análisis vectoriales:
       
           
  
          
pp: se le llama velocidad angular;: se le llama velocidad angular; xmxm: es el desplazamiento máximo o amplitud y: es el desplazamiento máximo o amplitud y
ΦΦ: ángulo fase.: ángulo fase.
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Por otro lado tenemos que:Por otro lado tenemos que:
PeriodoPeriodo = τ = 2π / p= τ = 2π / p
FrecuenciaFrecuencia = f = 1 / τ = p /2π= f = 1 / τ = p /2π
Los valores máximos de las magnitudes de la velocidad y la aceleración son:Los valores máximos de las magnitudes de la velocidad y la aceleración son:
        
La mayor parte de las vibraciones encontradas en aplicaciones de ingeniería seLa mayor parte de las vibraciones encontradas en aplicaciones de ingeniería se
representan mediante un movimiento armónicorepresentan mediante un movimiento armónico
simple. Muchas otras, aunque de un tipo diferente,simple. Muchas otras, aunque de un tipo diferente,
sese aproximan aproximan por medio de un movimiento simple,por medio de un movimiento simple,
siempre que su amplitud permanezca pequeña.siempre que su amplitud permanezca pequeña.
Considera, por ejemplo, unConsidera, por ejemplo, un péndulo péndulo  simple simple ,,
consistente en consistente en una una plomada plomada de de masamasa m m unida a unaunida a una
cuerda de longitudcuerda de longitud l l , que tiene la posibilidad de, que tiene la posibilidad de
oscilar en un plano vertical (fig. 1.2oscilar en un plano vertical (fig. 1.2  – – 1a). En un1a). En un
tiempo dadotiempo dado t t , la cuerda forma un, la cuerda forma un ángulo θ con laángulo θ con la
vertical. Las fuerzas que actúan sobre la plomadavertical. Las fuerzas que actúan sobre la plomada
con su pesocon su peso W W y la fuerzay la fuerza T T ejercida por la cuerdaejercida por la cuerda
(fig. 1.2(fig. 1.2  – – 1b). Al descompensar al vector1b). Al descompensar al vector m m a a de lasde las
componentes tangencial y normal, con mcomponentes tangencial y normal, con ma a t t  dirigidadirigida
hacia la derecha, esto es, en la dirección quehacia la derecha, esto es, en la dirección que
corresponde a valores crecientes decorresponde a valores crecientes de θ,θ, y observary observar
queque at = lα = l at = lα = l   ̈  ̈ , se escribe, se escribe
∑∑                  ̈  ̈
Figura 1.2Figura 1.2  – – 11
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INGENIERIA INGENIERIA ELECTROMECANELECTROMECANICA ICA Pág. Pág. 1010
Si se observa queSi se observa que W = mg W = mg y se divide entrey se divide entre ml ml , se obtiene, se obtiene
  ̈  ̈                  
Para oscilaciones de amplitud pequeña, puede sustituirsePara oscilaciones de amplitud pequeña, puede sustituirse sen sen θ θ porpor θ θ , expresado, expresado
en radianes, y se escribeen radianes, y se escribe
  ̈  ̈                    
La comparación con la ecuaciónLa comparación con la ecuación   ̈  ̈      muestra que la ecuación diferencialmuestra que la ecuación diferencial
1.21.2 – – 2 es la de un movimiento armónico simple con una frecuencia circular natural2 es la de un movimiento armónico simple con una frecuencia circular natural
w w n n  igual aigual a    ⁄⁄ . La solución general de la ecuación 1.2. La solución general de la ecuación 1.2  – – 2 puede, por2 puede, por
consiguiente. Expresarse comoconsiguiente. Expresarse como
        
dondedonde Φ Φ m m  es la amplitud de las oscilaciones yes la amplitud de las oscilaciones y Φ Φ es el ángulo de paso. Al sustituires el ángulo de paso. Al sustituir
en la ecuaciónen la ecuación      el valor obtenido porel valor obtenido por w w n n , se obtiene la, se obtiene la
siguiente expresión por el periodo de las oscilaciones pequeñas de un péndulo desiguiente expresión por el periodo de las oscilaciones pequeñas de un péndulo de
longitudlongitud l l 
                       
La ecuación 1.2La ecuación 1.2  – – 3 es solo aproximada. Para obtener una expresión exacta3 es solo aproximada. Para obtener una expresión exacta
relativa al periodo de las oscilaciones de un péndulo simple, se debe volver a larelativa al periodo de las oscilaciones de un péndulo simple, se debe volver a la
ecuación 1.2ecuación 1.2  – – 1. Multiplicando ambos términos por1. Multiplicando ambos términos por   ̈  ̈ e integrando desde unae integrando desde una
posición inicial correspondiente a la máxima desviación, esto esposición inicial correspondiente a la máxima desviación, esto es     yy  ̇ ̇  ,,
se escribese escribe
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 
   
Si se sustituyeSi se sustituye coscos  porpor 11  – – 2 sen2 sen22 ((/2)/2) yy coscos mm por una expresión similar,por una expresión similar,
resolviendo pararesolviendo para dt dt , y se integra sobre un cuarto de periodo desde, y se integra sobre un cuarto de periodo desde t t = = 00,,  = = 00
hastahasta t =t =  / 4/ 4,,  == mm, se tiene, se tiene
      ∫∫ √ √  ⁄⁄      ⁄⁄ 


La integral en el miembro del lado derecho se conoce como una integral elíptica;La integral en el miembro del lado derecho se conoce como una integral elíptica;
ésta no puede expresarse en términos de las funciones algebraicas oésta no puede expresarse en términos de las funciones algebraicas o
trigonométricas usuales. Sin embargo,trigonométricas usuales. Sin embargo,
  ⁄⁄      ⁄⁄  
se puede escribirse puede escribir
      ∫∫ √ √    ⁄⁄              
 ⁄⁄

Donde la integral que se obtiene, denotada comúnmente porDonde la integral que se obtiene, denotada comúnmente por K K , puede calcularse, puede calcularse
utilizando métodos de integración numérica. También puede encontrase en tablasutilizando métodos de integración numérica. También puede encontrase en tablas
de integrales elípticas para diversos valores dede integrales elípticas para diversos valores de m / m / 22. Para comparar el resultado. Para comparar el resultado
que acaba de obtenerse con el de la sección anterior, se escribe la ecuación 1.3que acaba de obtenerse con el de la sección anterior, se escribe la ecuación 1.3  – –
1 en la forma1 en la forma
                  
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INGENIERIA INGENIERIA ELECTROMECANELECTROMECANICA ICA Pág. Pág. 1212
Un cuerpo rígido que oscile en torno a un eje fijo (fig. 1.4Un cuerpo rígido que oscile en torno a un eje fijo (fig. 1.4  – – 1a) y una rueda que1a) y una rueda que
oscile sobre una superficie plana (fig. 1.4oscile sobre una superficie plana (fig. 1.4  – – 1b) constituyen sistemas vibrantes de1b) constituyen sistemas vibrantes de
un solo grado de libertad. El análisis de estos sistemas de cuerpos rígidos esun solo grado de libertad. El análisis de estos sistemas de cuerpos rígidos es
igual, en esencia al de un punto material. Primero, se dibuja el diagrama de cuerpoigual, en esencia al de un punto material. Primero, se dibuja el diagrama de cuerpo
libre correspondiente a una posición arbitraria del cuerpo rígido. Después, selibre correspondiente a una posición arbitraria del cuerpo rígido. Después, se
escriben las ecuaciones del movimiento. Por último, se utilizan los principios de laescriben las ecuaciones del movimiento. Por último, se utilizan
los principios de la
cinemática para reducir las ecuaciones del movimiento a una sola ecuacióncinemática para reducir las ecuaciones del movimiento a una sola ecuación
diferencial que contenga una sola variable que describa la posición y movimientodiferencial que contenga una sola variable que describa la posición y movimiento
del cuerpo rígido.del cuerpo rígido.
Figura 1.4Figura 1.4  – – 1a y 1.41a y 1.4  – – 1b1b
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El análisis de las vibraciones de un cuerpo rígido o de un sistema de cuerposEl análisis de las vibraciones de un cuerpo rígido o de un sistema de cuerpos
rígidos que posee un solo grado de libertad es similar al de las vibraciones de unarígidos que posee un solo grado de libertad es similar al de las vibraciones de una
sola partícula. Una variable apropiada, como una distancia a un ángulosola partícula. Una variable apropiada, como una distancia a un ángulo , se elige, se elige
para definir la posición del cuerpo o sistema de cuerpos, y se escribe unapara definir la posición del cuerpo o sistema de cuerpos, y se escribe una
ecuación ecuación que relacione que relacione esta variable esta variable y y su segunda su segunda derivada con derivada con respecto a respecto a t. t. SiSi
la ecuación que se obtiene es de la misma forma que la ecuación 1.2la ecuación que se obtiene es de la misma forma que la ecuación 1.2  – – 1, esto es,1, esto es,
si se tienesi se tiene
  ̈  ̈             ̈  ̈                  
La vibración considerada es un movimiento armónico simple. El periodo y laLa vibración considerada es un movimiento armónico simple. El periodo y la
frecuencia natural de la vibración pueden obtenerse entonces identificando wn yfrecuencia natural de la vibración pueden obtenerse entonces identificando wn y
sustituyendo su valor en las ecuacionessustituyendo su valor en las ecuaciones      yy         ..
En general, una forma simple de obtener una de las ecuaciones 1.3En general, una forma simple de obtener una de las ecuaciones 1.3  – – 1 consiste1 consiste
en expresar que el sistema de las fuerzas externas es equivalente al sistema deen expresar que el sistema de las fuerzas externas es equivalente al sistema de
las fuerzas efectivas dibujando una ecuación de diagramas de cuerpo libre para unlas fuerzas efectivas dibujando una ecuación de diagramas de cuerpo libre para un
valor arbitrario de la variable y escribiendo la ecuación de movimiento apropiada.valor arbitrario de la variable y escribiendo la ecuación de movimiento apropiada.
Recordando que el objetivo debe serRecordando que el objetivo debe ser la determinación del coeficiente la determinación del coeficiente  de lade la
variable x ovariable x o ,, no no la determinación de la variable misma o de la derivadala determinación de la variable misma o de la derivada ̈̈ oo   ̈  ̈ . Al. Al
igualar este coeficiente aigualar este coeficiente a , se obtiene la frecuencia circular natural, se obtiene la frecuencia circular natural  de la cualde la cual
es posible determinar aes posible determinar a  yy  ..
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INGENIERIA INGENIERIA ELECTROMECANELECTROMECANICA ICA Pág. Pág. 1414
La ley de laLa ley de la conservación de la energíaconservación de la energía constituye el primer principio de laconstituye el primer principio de la
termodinámica y afirma que la cantidad total de energía en cualquier sistematermodinámica y afirma que la cantidad total de energía en cualquier sistema
aislado (sin interacción con ningún otro sistema) permanece invariable con elaislado (sin interacción con ningún otro sistema) permanece invariable con el
tiempo, aunque dicha energía puede transformarse en otra forma de energía. Entiempo, aunque dicha energía puede transformarse en otra forma de energía. En
resumen, la ley de la conservación de la energía afirma que la energía no puederesumen, la ley de la conservación de la energía afirma que la energía no puede
crearse ni destruirse, sólo se puede cambiar de una forma a otra, por ejemplo,crearse ni destruirse, sólo se puede cambiar de una forma a otra, por ejemplo,
cuando la energía eléctrica se transforma en energía calorífica en un calefactor.cuando la energía eléctrica se transforma en energía calorífica en un calefactor.
El principio de conservación de la energía proporciona una forma conveniente deEl principio de conservación de la energía proporciona una forma conveniente de
determinar el periodo de vibración de un cuerpo rígido o de un sistema de cuerposdeterminar el periodo de vibración de un cuerpo rígido o de un sistema de cuerpos
rígidos que poseen un solo grado de libertad, una vez que se ha establecido querígidos que poseen un solo grado de libertad, una vez que se ha establecido que
el movimiento del sistema es un movimiento armónico simple o que puedeel movimiento del sistema es un movimiento armónico simple o que puede
aproximarse mediante un movimiento armónico simple. Al elegir una variableaproximarse mediante un movimiento armónico simple. Al elegir una variable
apropiada, como la distancia x o el ánguloapropiada, como la distancia x o el ángulo  , se consideran dos posiciones, se consideran dos posiciones
particulares del sistema:particulares del sistema:
Figura 1.5Figura 1.5  – – 1a 1a y y 1.51.5  – – 1b1b
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INGENIERIA INGENIERIA ELECTROMECANELECTROMECANICA ICA Pág. Pág. 1515
1. 1. El desplazamiento del El desplazamiento del sistema es máximo; sistema es máximo; se tienese tiene TT11 = 0, y= 0, y VV11 puedepuede
expresarse en términos de la amplitudexpresarse en términos de la amplitud x x m m  oo m m  (al elegir(al elegir VV = 0 en la= 0 en la
posición de equilibrio).posición de equilibrio).
2. 2. El sistema pasa El sistema pasa por su por su posición de equilibrio; se posición de equilibrio; se tienetiene VV22 = 0, y= 0, y TT22 puedepuede
expresarse en términos de la velocidad máximaexpresarse en términos de la velocidad máxima  ̇ ̇  o la velocidad angularo la velocidad angular
máximamáxima  ̇ ̇ ..
Se expresa entonces que la energía total del sistema se conserva y se escribeSe expresa entonces que la energía total del sistema se conserva y se escribe TT11
+ + VV11 = = TT22 + + VV22. Si viendo la ecuación. Si viendo la ecuación         que para unque para un
movimiento armónico simple la velocidad máxima es igual al producto de lamovimiento armónico simple la velocidad máxima es igual al producto de la
amplitud y de la frecuencia circular normalamplitud y de la frecuencia circular normal w w n n , se encuentra que se obtiene puede, se encuentra que se obtiene puede
resolverse pararesolverse para w w n n ..
Consideremos el sistema mecánicoConsideremos el sistema mecánico AmortiguadorAmortiguador – – MasaMasa – – ResorteResorte
Figura 1.6Figura 1.6  – – 11
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INGENIERIA INGENIERIA ELECTROMECANELECTROMECANICA ICA Pág. Pág. 1616
Utilizando la segunda Ley de Newton de movimiento translacional: La aceleraciónUtilizando la segunda Ley de Newton de movimiento translacional: La aceleración
de cualquier cuerpo rígido es directamente proporcional a la fuerza que actúede cualquier cuerpo rígido es directamente proporcional a la fuerza que actúe
sobre él e inversamente proporcional a la masa del cuerpo, es decirsobre él e inversamente proporcional a la masa del cuerpo, es decir F = maF = ma..
Haciendo el diagrama de cuerpo libre del la masa en el modeloHaciendo el diagrama de cuerpo libre del la masa en el modelo
Figura 1.6Figura 1.6  – – 22
nos damos cuenta de que sobre dicha masa actúan tres fuerzas: la fuerza delnos
damos cuenta de que sobre dicha masa actúan tres fuerzas: la fuerza del
resorte (resorte (FFRR), la fuerza del amortiguador (), la fuerza del amortiguador (FFRR) y posiblemente alguna fuerza externa) y posiblemente alguna fuerza externa
(peso, fricción, etc.).(peso, fricción, etc.).
Podemos establecer las siguientes relaciones para modelar las fuerzas tanto delPodemos establecer las siguientes relaciones para modelar las fuerzas tanto del
resorte como del amortiguadorresorte como del amortiguador
dondedonde k k es la constante del resorte yes la constante del resorte y b b es la constante de amortiguamiento.es la constante de amortiguamiento.
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INGENIERIA INGENIERIA ELECTROMECANELECTROMECANICA ICA Pág. Pág. 1717
El modelo mecánico más simple de un solo grado de libertad con excitaciónEl modelo mecánico más simple de un solo grado de libertad con excitación
externa, es el masa-resorte-amortiguador, identificado mediante sus constantesexterna, es el masa-resorte-amortiguador, identificado mediante sus constantes
características equivalentescaracterísticas equivalentes mEQ mEQ ,, cEQ cEQ ,, kEQ kEQ y la fuerzay la fuerza F(t) F(t) , el cual se ilustra en, el cual se ilustra en
la siguiente figura 1.6la siguiente figura 1.6 – – 3:3:
Figura 1.6Figura 1.6  – – 33
Luego, para este tipo de sistemas, la ecuación diferencial que rige su movimientoLuego, para este tipo de sistemas, la ecuación diferencial que rige su movimiento
está representada por:está representada por:
     ̈  ̈       ̇ ̇         
Para los sistemas de un grado de libertad, cuando la frecuencia de excitaciónPara los sistemas de un grado de libertad, cuando la frecuencia de excitación
coincide con la frecuencia natural ocurre resonancia, es decir, cuando 1 = r. Paracoincide con la frecuencia natural ocurre resonancia, es decir, cuando 1 = r. Para
este caso se tendrán como consecuencia oscilaciones de grandes magnitudes,este caso se tendrán como consecuencia oscilaciones de grandes magnitudes,
más allá de los límites tolerables.más allá de los límites tolerables.
Con respecto a la excitación, los sistemas desbalanceados representan unaCon respecto a la excitación, los sistemas desbalanceados representan una
excitación de tipo oscilatorio, la cual depende del momento de desbalance (excitación de tipo oscilatorio, la cual depende del momento de desbalance ( m·em·e) y) y
de la frecuencia de la excitación (de la frecuencia de la excitación (ΩΩ).).
Además de las definiciones efectuadas para los sistemas vibrantes sin excitaciónAdemás de las definiciones efectuadas para los sistemas vibrantes sin excitación
externa (libres), en los sistemas forzados se hace necesario definir otras variablesexterna (libres), en los sistemas forzados se hace necesario definir otras variables
para el análisis de los mismos.para el análisis de los mismos.
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INGENIERIA INGENIERIA ELECTROMECANELECTROMECANICA ICA Pág. Pág. 1818
La relación de frecuencias asocia la frecuencia natural del sistema con laLa relación de frecuencias asocia la frecuencia natural del sistema con la
frecuencia de excitación. Se designa con el símbolo r, es adimensional y sefrecuencia de excitación. Se designa con el símbolo r, es adimensional y se
expresa según la ecuaciónexpresa según la ecuación
  
El factor de amplificación dinámico se designa con el símboloEl factor de amplificación dinámico se designa con el símbolo Κ Κ y es adimensionaly es adimensional
y se expresa por:y se expresa por:
  √ √          
El retraso de fase se designa con el símbolo φ y se expresa en grados o radianesEl retraso de fase se designa con el símbolo φ y se expresa en grados o radianes
y se expresa según la ecuación:y se expresa según la ecuación:
            
En el estudio de vibraciones forzadas son muy útiles los gráficos de factor deEn el estudio de vibraciones forzadas son muy útiles los gráficos de factor de
amplificación dinámico y retraso de fase contra la relación de frecuencias. Para elamplificación dinámico y retraso de fase contra la relación de frecuencias. Para el
caso de sistemas que presentan desbalance, es útil graficarcaso de sistemas que presentan desbalance, es útil graficar r r 2 2  * K * K contracontra r r debidodebido
a que la excitación depende de la frecuencia de operación del sistema.a que la excitación depende de la frecuencia de operación del sistema.
Figura 1.6Figura 1.6 – – 44 Factor de Factor de amplificación vamplificación vs s Relación de frRelación de frecuencias paraecuencias para
diferentes constantes de amortiguacióndiferentes constantes de amortiguación
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INGENIERIA INGENIERIA ELECTROMECANELECTROMECANICA ICA Pág. Pág. 1919
Figura 1.6Figura 1.6 Retraso de fase vs Relación de frecuencias para diferentesRetraso de fase vs Relación de frecuencias para diferentes
constantes de amortiguación.constantes de amortiguación.
Un cuerpo experimenta un movimiento vibratorio u ondulatorio cuando se desplazaUn cuerpo experimenta un movimiento vibratorio u ondulatorio cuando se desplaza
varias veces a uno y otro lado de la posición fija que tenia inicialmente. Vibraciónvarias veces a uno y otro lado de la posición fija que tenia inicialmente. Vibración
mecánica, oscilación, movimiento periódico, etc. son conceptos utilizados paramecánica, oscilación, movimiento periódico, etc. son conceptos utilizados para
describir el movimiento de un elemento, sistema o en si de una máquina. Unadescribir el movimiento de un elemento, sistema o en si de una máquina. Una
forma simple de definir vibración.forma simple de definir vibración.
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INGENIERIA INGENIERIA ELECTROMECANELECTROMECANICA ICA Pág. Pág. 2020
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INGENIERIA INGENIERIA ELECTROMECANELECTROMECANICA ICA Pág. Pág. 2121
En las situaciones anteriores se notaban que las vibraciones estaban libres deEn las situaciones anteriores se notaban que las vibraciones estaban libres de
amortiguamientos. La realidad es que todas las vibraciones son amortiguadas,amortiguamientos. La realidad es que todas las vibraciones son amortiguadas,
especialmente por las fuerzas de rozamiento. Un tipo de amortiguamiento deespecialmente por las fuerzas de rozamiento. Un tipo de amortiguamiento de
especial interés es el amortiguamiento viscoso causado por la fricción fluida aespecial interés es el amortiguamiento viscoso causado por la fricción fluida a
velocidades bajas y moderadas. Este tipo de amortiguamiento estávelocidades bajas y moderadas. Este tipo de amortiguamiento está
caracterizado por el hecho de que la fuerza de fricción o rozamiento escaracterizado por el hecho de que la fuerza de fricción o rozamiento es
directamente proporcional a directamente proporcional a la velocidad la velocidad del cuerpo del cuerpo en en movimiento. Para elmovimiento. Para el
análisis supondremos que un cuerpo está unido al émbolo de un amortiguador.análisis supondremos que un cuerpo está unido al émbolo de un amortiguador.
La magnitud de la fuerza de fricción ejercida sobre el émbolo por el fluido queLa magnitud de la fuerza de fricción ejercida sobre el émbolo por el fluido que
rodea al mismo es igual arodea al mismo es igual a Cx`Cx`, donde C es una constante expresada en, donde C es una constante expresada en N.s/mN.s/m
0 Lb sg/ft0 Lb sg/ft conocida como coeficiente de amortiguamiento viscoso.conocida como coeficiente de amortiguamiento viscoso.
Figura 2.1Figura 2.1  – – 11
La ecuación del movimiento es:La ecuación del movimiento es:
    ∑ ∑                   
                        
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S MECANICASMECANICAS
INGENIERIA INGENIERIA ELECTROMECANELECTROMECANICA ICA Pág. Pág. 2222
Sustituyendo aSustituyendo a x = e x = e  λt  λt y dividiendo entrey dividiendo entre e e  λt  λt escribimos la ecuación característica:escribimos la ecuación característica:
mλmλ
2 2 
+ Cλ + k = 0 + Cλ + k = 0 
De la solución de la ecuación anterior obtenemos raíces:De la solución de la ecuación anterior obtenemos raíces:
DondeDonde p p es la frecuencia circular del sistema en ausencia de amortiguación.es la frecuencia circular del sistema en ausencia de amortiguación.
Figura 2.1Figura 2.1  – – 22
Podemos distinguir tres casos de amortiguamiento, dependiendo del valor delPodemos distinguir tres casos de amortiguamiento, dependiendo del valor del
coeficiente C:coeficiente C:
1. Sobreamortiguamiento:1. Sobreamortiguamiento: C > CC > Ccc, las raíces de, las raíces de λ λ11 yy λ λ2 2 son reales y distintas;son reales y distintas;
la solución general de la ecuación diferencial del movimiento es:la solución general de la ecuación diferencial del movimiento es:         
Esta solución corresponde a un movimiento no vibratorio. ComoEsta solución corresponde a un movimiento no vibratorio. Como  λ λ11 yy λ λ2 2 sonson
negativas,negativas, x x tiende a cero conforme t aumenta; pero el sistema regresa a sutiende a cero conforme t aumenta; pero el sistema regresa a su
posición de equilibrio después de un tiempo finito.posición de equilibrio después de un tiempo finito.
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INGENIERIA INGENIERIA ELECTROMECANELECTROMECANICA ICA Pág. Pág. 2323
2. Amortiguamiento critico:2. Amortiguamiento critico: C = CcC = Cc, la ecuación característica tiene una, la ecuación característica tiene una
soluciónsolución λ λ = - p = - p y la solución general es:y la solución general es:           
El movimiento obtenido es nuevamente no vibratorio. Pero con laEl movimiento obtenido es nuevamente no vibratorio. Pero con la
peculiaridad que estos sistemas regresan a su posición de equilibrio en elpeculiaridad que estos sistemas regresan a su posición de equilibrio en el
tiempo más corto posible sin oscilaciones.tiempo más corto posible sin oscilaciones.
3. 3. Subamortiguamiento Subamortiguamiento o amortiguamiento o amortiguamiento débil:débil: C C < < CCcc las raíces delas raíces de  λ λ
son complejas y conjugadas y la solución general es la forma:son complejas y conjugadas y la solución general es la forma:     ⁄⁄            
Donde q está definida por la relación:Donde q está definida por la relación:   [[   ⁄⁄ ]] ⁄⁄
Donde la constante C / CDonde la constante C / Ccc se conoce como factor de amortiguamiento.se conoce como factor de amortiguamiento.
Podemos Podemos escribir escribir una una solución solución general general para:para:
m m   ̈  ̈ + C + C  ̇ ̇ + kx = 0 + kx = 0 
      ⁄⁄       
El movimiento descrito es vibratorio con amplitud decreciente. Aunque esteEl movimiento descrito es vibratorio con amplitud decreciente. Aunque este
movimiento en realidad no se repite, el intervalo de tiempomovimiento en realidad no se repite, el intervalo de tiempo ττ = 2p / q= 2p / q,,
correspondiente a dos punto consecutivos de la curva toca a una de ellas en loscorrespondiente a dos punto consecutivos de la curva toca a una de ellas en los
limites mostrados, se llama comúnmentelimites mostrados, se llama comúnmente Período de la Vibración Amortiguada Período de la Vibración Amortiguada ..
Figura 2.1Figura 2.1  – – 22
DINAMICADINAMICA VIBRACIONEVIBRACIONES S MECANICASMECANICAS
INGENIERIA INGENIERIA ELECTROMECANELECTROMECANICA ICA Pág. Pág. 2424
Si el sistema considerado en la sección anterior está sujeto a una fuerza periódicaSi el sistema considerado en la sección anterior está sujeto a una fuerza periódica
PP de magnitudde magnitud P = Pm sen wt P = Pm sen wt , la ecuación de movimiento se transforma en:, la ecuación de movimiento se transforma en:
  ̈  ̈    ̇ ̇           
La solución general se obtiene sumando una solución particular a la funciónLa solución general se obtiene sumando una solución particular a la función
complementaria:complementaria:   ̈  ̈    ̇ ̇      
La función complementaria está dada por los tres casos vistos anteriormente; elLa función complementaria está dada por los tres casos vistos anteriormente; el
interés está centrado en la vibración estacionaria representada por la solucióninterés está centrado en la vibración estacionaria representada por la solución
particular:particular:
         
Después de varios cálculos:Después de varios cálculos:
        ⁄⁄
      ((        ))  ((  ))
Recordando queRecordando que p p 2 2  = k / m = k / m , donde p es la frecuencia circular de la vibración libre, donde p es la frecuencia circular de la vibración libre
no amortiguada y deno amortiguada y de C C c c = 2 mp = 2 mp , escribimos:, escribimos:
DINAMICADINAMICA VIBRACIONEVIBRACIONES S MECANICASMECANICAS
INGENIERIA INGENIERIA ELECTROMECANELECTROMECANICA ICA Pág. Pág. 2525
La formula anterior expresa el factor de amplificación en términos de la razón deLa formula anterior expresa el factor de amplificación en términos de la razón de
frecuenciafrecuencia w w / / p p  y el factor de amortiguamientoy el factor de amortiguamiento C C / / C C c c . Puede utilizarse para. Puede utilizarse para
determinar la amplitud de la vibración estacionaria producida por una fuerzadeterminar la amplitud de la vibración estacionaria producida por una fuerza
aplicada de magnitudaplicada de magnitud P P m m  sen wt sen wt o por un movimiento producido por el soporteo por un movimiento producido por el soporte δ δ m m 
sen t sen t . La formula de la tangente define en términos de los mismos parámetros la. La formula de la tangente define en términos de los mismos parámetros la
m diferencia de fasem diferencia de fase φφ entre la fuerza aplicada o el movimiento producido por elentre la fuerza aplicada o el movimiento producido por el
soporte y la vibración estacionaria resultante del sistema amortiguado.soporte y la vibración estacionaria resultante del sistema amortiguado.
Figura 2.2Figura 2.2  – – 11
DINAMICADINAMICA VIBRACIONEVIBRACIONES S MECANICASMECANICAS
INGENIERIA INGENIERIA ELECTROMECANELECTROMECANICA ICA Pág. Pág. 2626
El Ingeniero debe ser capaz de trabajar sobre vibraciones, calcularlas, medirlas,El Ingeniero debe ser capaz de trabajar sobre vibraciones, calcularlas, medirlas,
analizar el origen de ellas y aplicar correctivos. Hace más o menos 40 años, laanalizar el origen de ellas y aplicar correctivos. Hace más o menos 40 años, la
temática de vibraciones mecánicas se constituyó en parte integral de la formacióntemática de vibraciones mecánicas se constituyó en parte integral de la formación
de ingenieros mecánicos en los países industrializados. El fenómeno de lasde ingenieros mecánicos en los países industrializados. El fenómeno de las
vibraciones mecánicas debe ser tenido en cuenta para el diseño, la producción yvibraciones mecánicas debe ser tenido en cuenta para el diseño, la producción y
el empleo de maquinaria y equipos de automatización. Así lo exige un rápidoel empleo de maquinaria y equipos de automatización. Así lo exige un rápido
desarrollo tecnológico del país. Aunque este artículo se enfoca hacia lasdesarrollo tecnológico del país. Aunque este artículo se enfoca hacia las
vibraciones en sistemas mecánicos, el texto y los métodos analíticos empleadosvibraciones en sistemas mecánicos, el texto y los métodos analíticos empleados
son compatibles con el estudio de vibraciones en sistemas no mecánicos.son compatibles con el estudio de vibraciones en sistemas no mecánicos.
Las vibraciones
mecánicas pueden clasificarse desde diferentes puntos de vistasLas vibraciones mecánicas pueden clasificarse desde diferentes puntos de vistas
dependiendo de: a) la excitación, b) la disipación de energía, c) la linealidad de losdependiendo de: a) la excitación, b) la disipación de energía, c) la linealidad de los
elementos y las características de la señal.elementos y las características de la señal.
DDependiendo de la excitaciónependiendo de la excitación
 Vibración ForzadaVibración Forzada
 Vibración libreVibración libre
Una Vibración libre es cuando un sistema vibra debido a una excitación del tipoUna Vibración libre es cuando un sistema vibra debido a una excitación del tipo
instantánea, mientras que la vibración forzada se debe a una excitación del tipoinstantánea, mientras que la vibración forzada se debe a una excitación del tipo
permanente.permanente.
Esta importante clasificación nos dice que un sistema vibra libremente si soloEsta importante clasificación nos dice que un sistema vibra libremente si solo
existen condiciones iniciales del movimiento, ya sea que suministremos la energíaexisten condiciones iniciales del movimiento, ya sea que suministremos la energía
por medio de un impulso (energía cinética) o debido a que posee energíapor medio de un impulso (energía cinética) o debido a que posee energía
potencial, por ejemplo deformación inicial de un resorte.potencial, por ejemplo deformación inicial de un resorte.
DINAMICADINAMICA VIBRACIONEVIBRACIONES S MECANICASMECANICAS
INGENIERIA INGENIERIA ELECTROMECANELECTROMECANICA ICA Pág. Pág. 2727
DDependiendo de la disipación de energíaependiendo de la disipación de energía
 No amortiguadaNo amortiguada
 AmortiguadaAmortiguada
El amortiguamiento es un sinónimo de la perdida de energía de sistemasEl amortiguamiento es un sinónimo de la perdida de energía de sistemas
vibratorios y se manifiesta con la disminución del desplazamiento de vibración.vibratorios y se manifiesta con la disminución del desplazamiento de vibración.
Este hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de un materialEste hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de un material
por ejemplo la fricción, o bien, o como un elemento físico llamado precisamentepor ejemplo la fricción, o bien, o como un elemento físico llamado precisamente
amortiguador. Por lo tanto, la vibración amortiguada es aquella en la que laamortiguador. Por lo tanto, la vibración amortiguada es aquella en la que la
frecuencia de oscilación de un sistema se ve afectada por la disipación de lafrecuencia de oscilación de un sistema se ve afectada por la disipación de la
energía, pero cuando la disipación de energía no afecta considerablemente a laenergía, pero cuando la disipación de energía no afecta considerablemente a la
frecuencia de oscilación entonces la vibración es del tipo no amortiguada.frecuencia de oscilación entonces la vibración es del tipo no amortiguada.
Mecánica Vectorial para Ingenieros “DINÁMICA” 7ª Edición E.Mecánica Vectorial para Ingenieros “DINÁMICA” 7ª Edición E.
Russell Johnston, Jr.Russell Johnston, Jr.
Ingeniería Mecánica DINÁMICA 2ª Edición William F. Riley andIngeniería Mecánica DINÁMICA 2ª Edición William F. Riley and
Leroy D. SturgesLeroy D. Sturges
http://www.wikipedia.orghttp://www.wikipedia.org
http://www.monografias.comhttp://www.monografias.com
http://www.sc.ehhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/u.es/sbweb/fisica/dinamica/trabfisica/dinamica/trabajo/energia/enajo/energia/en
ergia.htmergia.htm
http://www.vagos.eshttp://www.vagos.es