¿Cómo se aplica la geometría no conmutativa en física cuántica?

EL MODELO DE SNYDER

Uno de los primeros intentos en este sentido fue el de Harland Snyder (1). En su juventud fue camionero, y definido como un diamante en bruto por su talento matemático. No tardó mucho tiempo en desplegar sus habilidades. Así, en 1939, junto a Robert Oppenheimer, quien lo acogió en la universidad de California, en Berkeley, desarrolló la teoría moderna del colapso gravitatorio que conduce a la formación de un agujero negro (2). Ese ensayo es uno de los trabajos científicos más extraordinarios del siglo XX: un tributo al inmenso poder de la relatividad general y de la imaginación humana. Leerlo, aunque sea difícil a veces seguirlo, da la certeza de que estás ante una nueva forma de entender el universo. El genial físico también fue co-inventor de técnicas revolucionarias, utilizadas en la construcción de aceleradores de partículas, como el enfoque fuerte, que hoy siguen siendo fundamentales para acelerar protones en el Gran Colisionador de Hadrones.

Ernest Courant, M. Stanley Livingston, Hartland Snyder y John P. Blewet, co-inventores del enfoque fuerte, usado en la construcción de potentes aceleradores de partículas.

En su ensayo Quantized Space-Time, publicado en 1947, Snyder se propone resolver el problema de las infinidades inherentes a la electrodinámica cuántica. Para ello enfoca su atención en la naturaleza del espacio-tiempo, que en teoría cuántica de campos es tratado como un fondo fijo contra el que se desarrollan los fenómenos de propagación e interacción de partículas. Sostiene que en la relatividad las coordenadas espaciales y la temporal pueden medirse simultáneamente y asumir valores continuos, pues es una teoría clásica. Para un tratamiento cuántico, Snyder eleva las coordenadas a la altura de operadores y les asigna un espectro: la coordenada temporal asume valores continuos, mientras que las otras tres espaciales son magnitudes discretas. El físico entonces haya un espacio-tiempo con estas propiedades, los espectros de sus coordenadas invariantes ante transformaciones de Lorentz. En resumen, este procedimiento somete al espacio-tiempo a un proceso de “cuantización”, que convierte las coordenadas en magnitudes que no conmutan y genera, automáticamente, una unidad de longitud natural. La técnica introduce, pues, una geometría no conmutativa.

En esencia, el modelo de Snyder es uno de enrejado, con un cut-off, o longitud mínima. Esto vuelve al espacio-tiempo fuzzy, o incierto, a nivel microscópico: no hay ya puntos precisos. Y la imprecisión de los puntos de ese espacio-tiempo es lo que podría disipar las infinidades que afectan estas teorías con interacciones puntuales. En esencia, pues, las teorías no conmutativas de este tipo son esquemas que nacen de la introducción de longitudes mínimas y donde los puntos no juegan un papel primordial. Por ende, una teoría cuántica del espacio-tiempo basada en estas ideas no tendrá que preocuparse de estos entes geométricos que tantos dolores de cabeza han causado en la teoría cuántica de campos, y hasta en la electrodinámica clásica. Los físicos creen que esta característica no conmutativa es, quizá, inevitable. Y no es difícil de entender por qué la geometría cuántica del espacio-tiempo debe ser algo radicalmente distinto a lo conocido. Por ejemplo, en 1962, Bryce DeWitt dedujo que para poder explorar el espacio-tiempo a escalas microscópicas se necesitaría tanta energía que ésta, bajo los principios de la relatividad general, lo distorsionaría. Es uno de múltiples argumentos que se esgrimen para entender que a nivel microscópico se requiere de física nueva.

Como prometió en su primer ensayo sobre el tema, Snyder usó sus ideas para desarrollar una teoría covariante (en paz con la relatividad especial) de la electrodinámica cuántica (3), el mismo año que publicó su trabajo seminal. Esta no prosperó pues poco después, los físicos Shin'ichirō Tomonaga, Julian Schwinger y Richard Feynman, ofrecieron una solución más mundana al problema de las infinidades. Y es que estas son teorías que operan a escalas donde la gravedad, con su naturaleza métrica, no es necesaria. Era de esperarse que ideas parecidas a las de Snyder tendrían aplicación cuando se intentara construir una teoría cuántica de la gravedad. En efecto, si a escalas infinitesimales el espacio-tiempo es no conmutativo, esto debe tener profundas consecuencias también para la gravedad, pues ésta es una manifestación de su curvatura. Para entenderlo a cabalidad hay que explorar su nivel cuántico: debemos enfrentarnos a su estructura microscópica. No es de sorprender pues que la no conmutatividad de las coordenadas espaciales, y otras magnitudes, hace su aparición de manera inevitable en una teoría cuántica de la gravitación. Así, surge de manera natural en la teoría de las supercuerdas, que es considerada la principal candidata a una teoría unificada. Y es que allí también hay una longitud mínima natural: la de una cuerda.

TEORIA DE CAMPO DE CUERDAS ABIERTAS

Uno de las primeras apariciones de la geometría no conmutativa en teoría de cuerdas surge de la mano de Edward Witten quien, en 1986, la utiliza para desarrollar una novedosa teoría de campo de cuerdas abiertas que interactúan (4). El legendario Witten comenzó su carrera como estudiante de historia. Un buen día decidió dejarlo todo por la física teórica y rápidamente, como cohete, se alzó muy por encima de los demás físicos de su generación. La entrada definitiva de Witten al mundo de las supercuerdas se produjo en 1982, tras haber leído un review article sobre tema, de la autoría de los pioneros Michael Green y John Schwarz. El físico de Princeton ha dicho que aceptó esto como una revelación, un llamado, que le cambió la vida, y que también cambió para siempre el panorama de física moderna. Hay que hacer notar que Witten es hijo del físico Leonard Witten, un gran experto en relatividad general, quien ha dicho que su mayor contribución a la física ha sido su vástago.

Edward Witten, predicando las buenas nuevas…

La teoría de campo de cuerdas es una de las grandes contribuciones de Ed Witten a la física. Para entenderla hay que entender un poco la dinámica de las cuerdas. Las hay abiertas (Tipo I) y cerradas (Tipo IIA y IIB). También está la teoría híbrida, o heterótica, de cuerdas cerradas, con sus dos versiones. En total, pues, son 5 teorías de supercuerdas. Se piensa que los diferentes modos de vibración de estas cuerdas constituyen los distintos tipos de partículas que existen. Estas cuerdas vibran en un espacio-tiempo de 10 dimensiones. Por lo general se asume que 4 de estas dimensiones son extendidas, mientras las 6 restantes están compactadas, pues en el universo conocido experimentamos directamente sólo 4. Una cuerda abierta, cuando se propaga en el espacio-tiempo, describe una superficie que se denomina hoja del universo (worldsheet), así como una partícula que se mueve en el espacio-tiempo genera una trayectoria que se denomina línea del universo (worldline). En esa superficie de dos dimensiones “vive” una teoría de campo conforme (invariante ante ciertas transformaciones de las coordenadas), de manera que para entender fenómenos básicos en la teoría de cuerdas, basta con estudiar esta teoría conforme en 2d. Esta idea de utilizar teorías de campos en la hoja del universo, y sus generalizaciones, para entender el comportamiento cuerdístico es universal, como veremos más adelante.

En el proceso de propagación, por ejemplo, una cuerda abierta puede partirse en un punto para formar dos cuerdas que siguen caminos independientes; de igual manera, dos cuerdas pueden unirse, interactuar, para formar una sola cuerda. Los dos procesos se ilustran en las figuras de abajo.

Algo similar sucede con las cuerdas cerradas. En este caso, estas describen superficies cilíndricas cuando se propagan e interactúan:

La teoría de campo de cuerdas abiertas se utilizan para entender la creación y destrucción de estos objetos. Para ello se introducen operadores capaces de describir matemáticamente este proceso. Es una generalización del mismo procedimiento en la teoría cuántica de campo convencional, donde la aniquilación y destrucción de partículas se hace introduciendo los correspondientes operadores. En el modelo de Witten, la no conmutatividad surge porque la interacción de dos cuerdas abiertas para formar una sola requiere del llamado producto * (estrella) de Witten. Este producto involucra la multiplicación de dos campos de cuerdas, usando dos matrices de dimensión infinita, operación que, sabemos, es no conmutativa. De manera que estructuras geométricas no conmutativas hacen su aparición.

Estos modelos surgieron con el propósito de explorar técnicas no perturbativas en la teoría de las supercuerdas; es decir, aquellas que pueden darnos respuestas matemáticas exactas a preguntas que tienen que ver con, por ejemplo, campos gravitacionales potentes, como los involucrados en el origen del universo, y en la creación de agujeros negros y su eventual evaporación mediante radiación de Hawking. En este sentido, los teóricos de cuerdas sólo han seguido una ruta conocida que ya ha dado sus frutos. En efecto, la electrodinámica cuántica usa métodos perturbativos (aproximaciones) para obtener resultados de increíble precisión matemática. Pero no son exactos. Hay fenómenos físicos que sólo pueden ser “vistos” cuando se logran soluciones exactas a ciertas ecuaciones; es decir, cuando se usan métodos no aproximados, o no perturbativos, que es lo mismo. Estos métodos no perturbativos permitieron el descubrimiento, dentro de las teorías clásicas del tipo Yang-Mills, por ejemplo, de objetos “exóticos”, como monopolos, solitones e instantones. Los monopolos fueron pronosticados por primera vez en 1931, por Paul Dirac, y explican por qué la carga eléctrica está cuantizada. Luego, en los años 70’s aparecieron sorpresivamente de forma natural en teorías de Yang-Mills, que son las que se utilizan para describir los campos de fuerzas y sus interacciones a nivel cuántico. Los solitones son configuraciones energéticas, en estas teorías, que no se disipan, y sin singularidades. Finalmente, los instantones son esenciales para estudiar el efecto túnel en diversos contextos, incluyendo la cosmología. Los físicos de las cuerdas han querido seguir el mismo camino, con el propósito de hallar también fenómenos no perturbativos. Y los han encontrado, cambiando el panorama de la física actual. De hecho, los tres objetos definidos han tomado sus respectivos lugares en la teoría de cuerdas también.

Un aspecto a resaltar es que, como hemos dicho, las cuerdas se mueven en un espacio-tiempo (fondo) estático. Esto es una aproximación, pues en cualquier teoría cuántica de la gravedad, es espacio-tiempo mismo debe surgir de manera natural de las ecuaciones de la teoría; es decir, debe ser dinámico. Veamos. La gravedad en teoría de cuerdas se manifiesta a través de cuerdas cerradas, pues son las que contienen en su espectro al gravitón, una partícula de espín 2, portadora de esta fuerza. De manera que el propio espacio-tiempo, a escalas microscópicas, debe ser una superposición coherente de gravitones (cuerdas cerradas), una especie campo de estos objetos. Pero esa descripción exacta todavía no existe. Aun así, cuando la teoría no conmutativa de Witten se extiende al dominio de las cuerdas cerradas, se pueden obtener las ecuaciones de campo de Einstein. De hecho, se ha dicho que es el método más transparente para obtenerlas (5). Pero la relatividad general es una teoría clásica, con magnitudes conmutativas, de manera que parece ser que la aparición de la no conmutatividad requiere de métodos no perturbativos, al menos en teoría de cuerdas. Las pruebas en este sentido se han ido acumulando con el paso del tiempo. En efecto, la no conmutatividad vuelve a aparecer en teoría de cuerdas en otro ensayo de Witten, publicado en 1996, en plena Segunda Revolución de las Supercuerdas. Esta vez, surge en uno de los contextos más controversiales de la física actual, uno que conlleva la entrada de objetos sin parangón en la historia de la ciencia, y cuya existencia muchos teóricos toman muy en serio, mientras que otros los consideran ficciones que están desviando a la física de su propósito real.

P-BRANAS NEGRAS Y DP-BRANAS

Con el tiempo, después de décadas de intensas investigaciones, los teóricos de las supercuerdas descubrieron que no solo hay cuerdas en la teoría sino objetos no perturbartivos más exóticos, llamados p-branas negras y Dp-branas. Las p-branas son soluciones exactas de las ecuaciones efectivas de la teoría de cuerdas cerradas; es decir, las que se obtienen para bajas energías (5). En esencia, son teorías de supergravedad. La supergravedad es una extensión de la relatividad general, cuyas ecuaciones son supersimétricas: obedecen una (super)simetría que intercambia a bosones y fermiones. Estas teorías pueden existir en varias dimensiones, con un máximo de hasta 11 (las supercuerdas necesitan 10). En conclusión, la supergravedad en 10 dimensiones es en lo que se convierten las teorías de las supercuerdas Tipo II a bajas energías, o grandes distancias: vista desde “muy lejos” una cuerda cerrada parece un punto, que puede ser un gravitón, por ejemplo. Las p-branas negras pueden entenderse como objetos extendidos en el espacio-tiempo, como generalizaciones de agujeros negros extremos en dimensiones diversas, ya que pueden estar rodeadas por horizontes de eventos. Extremo quiere decir que la carga de estos objetos es igual a su masa, es la propiedad mínima necesaria para evitar singularidades desnudas. Hay soluciones de estas ecuaciones, por ejemplo, que representan una cuerda macroscópica con un horizonte de eventos. Por razones obvias se le llama cuerda negra.

Por otro lado, las Dp-branas tienen, en teoría de cuerdas, una interpretación sencilla, como nos dice Juan Maldacena (6):

“Las Dp-branas son superficies p-dimensionales extendidas en el espacio-tiempo, donde pueden terminar las cuerdas. Una Dp-brana es una solución de la teoría de las cuerdas (descrita por una teoría de campo conforme) cuyo límite a bajas energías es una p-brana extrema de la supergravedad.”

La figura muestra una D2-brana con dos D1-branas atascadas.

¿Y qué es una Dp-brana, técnicamente hablando? La D viene de condición de Dirichtlet, y es una condición de frontera que se impone a los extremos de la cuerda: las puntas están atrapadas en la hipersuperficie de la Dp-brana. Las vibraciones de las cuerdas abiertas determinan la dinámica de las Dp-branas. En general, se asume que los dos extremos están siempre atascados en la superficie, y las cuerdas no pueden escapar de ella, salvo en el caso de pares de cuerdas que colisionan y se convierten en una sola cuerda cerrada (un gravitón) que escapa hacia el espacio circundante. Este último proceso se usa para estudiar la radiación de Hawking en estas teorías:

Ahora bien, sabemos que si una línea intercepta un plano, la intersección es un punto sin dimensión. De forma similar, las intersecciones de los extremos de una cuerda con la Dp-brana son partículas de cero dimensión. Con esta descripción, les podemos asignar cargas a esas partículas, tanto eléctricas como magnéticas, convirtiéndolas en fuentes de campos gauge. Generalmente, atascadas o libres, las cuerdas abiertas (Teorías Tipo I) tienen estas partículas en sus extremos, proceso que se logra a través de los llamados factores de Chan-Paton. Es una idea antigua, que se usa para entender el confinamiento de los quarks. Lo que se infiere es que en cada extremo de una cuerda abierta existe un quark y un antiquark, respectivamente. Si intentas estirar la cuerda para romperla, y liberar los quarks, instantáneamente en cada extremo nuevo aparece un quark. Ahora tienes dos cuerdas, en lugar de una: no puedes liberarlos aunque lo intentes!

Las Dp-branas se introducen en teorías de supercuerdas que contienen cuerdas cerradas (Tipo II), que, como hemos visto, son las que contienen un modo de vibración que se identifica con el gravitón. El asunto es que una teoría de cuerdas abiertas contiene automáticamente cuerdas cerradas y, por tanto, puede usarse para describir la gravedad, pues los extremos se pueden juntar y crear una cuerda cerrada. Pero una teoría de cuerdas cerradas no contiene cuerdas abiertas: no puedes “romper” una cuerda cerrada, debido a principios de conservación. Una teoría de cuerdas cerradas solamente no puede, pues, explicar las teorías gauge de partículas elementales. Las Dp-branas, por tanto, incorporan exitosamente cuerdas abiertas en teorías de cuerdas cerradas. El propósito de incorporar cuerdas abiertas es lograr un proceso de unificación de todas las interacciones, sus partículas portadoras, y las demás partículas de materia: teorías gauge y teoría cuántica de la gravedad. El desaparecido Joseph Polchinski, padre de las Dp-branas, demostró que estos son objetos necesarios y consistentes con las teorías de supercuerdas (7). Las Dp-branas son solitones, en estas teorías. Son exigidos por ellas, pues su existencia fue vaticinada a partir de las distintas dualidades que existen entre los diversos tipos de modelos de cuerdas, específicamente la dualidad T. Estos objetos le dan consistencia interna, especialmente en lo referente a la conservación de la energía. Tienen tanto derecho a existir como las mismas cuerdas.

Hay que recalcar que las cuerdas cerradas se propagan sólo en el espacio entre las Dp-branas, llamado the bulk. Es obvio que este espacio entre las Dp-branas es de más dimensiones, como el que existe entre dos placas metálicas: éste tiene tres dimensiones, mientras que las placas sólo tienen dos. Por otro lado, las Dp-branas “sienten” la atracción gravitacional intercambiando estas cuerdas cerradas (gravitones), portadoras de esta fuerza, pues como dice Polchinski en su clásico ensayo, no podemos esperar tener objetos estáticos en una teoría de gravedad:

Cuando una Dp-brana se mueve en el espacio-tiempo, genera un volumen del universo (worldvolume), con p+1 dimensiones (p coordenadas espaciales y una coordenada temporal). Son generalizaciones multidimensionales de la línea del universo y la hoja del universo, que ya hemos descrito más arriba. Resumiendo todo gráficamente:

Hay una nomenclatura que describe los diferentes tipos de Dp-branas: una partícula (un punto sin dimensión) es una D0-brana; una cuerda es una D 1-brana (una dimensión); una D2-brana tiene dos dimensiones (una membrana); una D3-brana tiene tres dimensiones (volumen), etc.. ¿Recuerdan los instantones en teorías de Yang-Mills? Pues en teoría de cuerdas son D(-1)-branas.

Andrew Strominger demostró que se pueden estudiar diversos sistemas físicos en teoría de cuerdas, haciendo que distintas Dp-branas se intercepten. Como afirma hacia el final de su seminal ensayo (8):

“En conclusión, la teoría de cuerdas contiene una variedad rica de objetos extendidos, que interactúan de forma intrincada y bella. P-branas de dimensión mayor proveen puntos terminales para p-branas de menor p, y estas últimas a su vez gobiernan la dinámica de las primeras.”

Un sistema más sencillo, y que ha dado importantes resultados, es el que se obtiene estudiando N Dp-branas paralelas, con algunas cuerdas atascadas en las Dp-branas, y otras extendidas entre éstas:

La dinámica puede entenderse de la manera siguiente. La masa de las cuerdas depende de la distancia entre Dp-branas. En otras palabras, estas son masivas mientras se extienden entre ellas. Pero si hacemos coincidir las N Dp-branas, las cuerdas pueden representar estados sin masa (cero longitud), versiones supersimétricas de fotones que se mueven en el volumen del universo del sistema resultante, por ejemplo. Es pues una teoría U(N) de Yang-Mills, como el electromagnetismo, con partículas sin masa, portadores de esa fuerza. De hecho, la estadística de un gas de estas partículas para una colección de N D3-branas coincidentes es precisamente la de Planck. No es difícil de comprender. El volumen del universo que genera la D3-brana cuando se propaga en el espacio-tiempo de 10 dimensiones es, a su vez, un espacio-tiempo de cuatro dimensiones (3 espaciales + 1 temporal). De manera que estamos ante fenómenos estadísticos de partículas sin masa en 4 dimensiones (9). En general, dada esta cualidad de las D3-branas, se ha teorizado que son las candidatas idóneas para explicar el universo en que vivimos, que posee también 4 dimensiones. Lo que se especula es que es una D3-brana insertada en un espacio de mayor dimensión. La fuerza de gravedad existe entonces en una dimensión superior (las cuerdas cerradas se propagan en el bulk) y sólo sentimos sus vestigios. Los físicos creen que estas dimensiones extras pueden explorarse con el Gran Colisionar de Hadrones, pero no hay todavía ninguna evidencia al respecto.

¿Dónde entra la geometría no conmutativa en todo este esquema? Si podemos hacer dinámicas las cuerdas atascadas en una Dp-brana, de manera que representen partículas moviéndose en su volumen del universo, como en el caso anterior del gas de fotones en la D3-brana, ¿qué modelo general describe esta dinámica? Como son partículas que viven en el volumen del universo de las Dp-branas, esta vienen descritas, a bajas energías, por una teoría de Yang Mills supersimétrica conforme de 10 dimensiones, reducida a 4 por campactación. Son extensiones de las mismos esquemas que se usan para describir el modelo estándar de partículas, como afirmamos. Edward Witten fue quien analizó a fondo el tema y descubrió que la teoría que localmente describe la dinámica de las N Dp-branas es una teoría de este tipo, y que las coordenadas que describen las posiciones de estos objetos están descritas por matrices, que ya sabemos no conmutan (10). La no conmutatividad, pues, aflora de manera natural en la teoría de cuerdas tan pronto se extiende su dominio para incluir las Dp-branas. Veámoslo de esta forma: desde la perspectiva de un observador que “vive” en el volumen de la Dp-brana, éste no ve cuerdas, por ejemplo, sólo ve puntos moviéndose en él; si quiere describir la dinámica de estos puntos, que no son más que partículas gauge, usa una teoría de Yang Mills con supersimetría, donde las coordenadas que definen la posición de las Dp-branas en el espacio-tiempo de 10 dimensiones no son conmutativas.

¿Pero qué relación hay entre Dp-branas y p branas? Volvamos a la definición de Maldacena:

“Una Dp-brana es una solución de la teoría de las cuerdas (descrita por una teoría de campo conforme) cuyo límite a bajas energías es una p-brana extrema de la supergravedad.”

Bajas energías, en mecánica cuántica, es lo mismo que escalas macroscópicas. Algo que Polchinski determinó, en su ensayo, es que ambos objetos portan las mismas cargas, creando una revolución a su paso. Las Dp-branas pueden pues entenderse como las fuentes de los correspondientes campos clásicos en supergravedad. Y este hecho fue el que condujo a la conjetura de que son una y la misma cosa, en regímenes distintos, haciendo realidad una profecía. En efecto, si tomamos, por ejemplo, N Dp-branas y las colocamos una encima de la otra, estas pueden llegar a curvar el espacio-tiempo para N grande (límite que produce interacción o acoplo fuerte entre éstas), produciendo una p-brana negra. Son objetos macroscópicos clásicos, como hemos visto, que están descritos por una métrica de 10 dimensiones, con 6 compactadas:

Aquí A es una función de r. Las p-branas negras son, pues, campos gravitacionales clásicos de un sistema cuántico subyacente, en teoría de cuerdas (las Dp-branas). Y como estos objetos pueden ser considerados agujeros negros en dimensiones superiores, para ellos aplican los mismos principios que a sus primos de cuatro dimensiones: tienen horizontes de eventos, propiedades termodinámicas, campos eléctricos, magnéticos, etc.. Pero las Dp-branas, por otro lado, tienen una descripción microscópica en términos de las cuerdas que las intersectan, con coordenadas de posición que son matrices no conmutativas, descripción dada por una teoría supersimétrica de Yang-Mills conforme que “vive” en su volumen del universo:

Nótese que esta teoría “vive” en las p+1 dimensiones del volumen del universo de la Dp-brana, una generalización de lo comentado al principio sobre la hoja del universo de una cuerda.

Podemos estudiar un objeto o el otro, dependiendo de lo que queremos averiguar, y obtenemos los mismos resultados. El físico de origen ruso Igor Klevanov, uno de los pioneros de este tipo de cálculos, afianzó aun más la creencia de que estos dos objetos se comportaban de la misma manera, aunque en regímenes distintos. Lo logró calculando la captura de partículas por parte del agujero negro que produce una 3 brana negra de la supergravedad, y luego haciendo el mismo cálculo para N D3-branas coincidentes, en teoría de cuerdas (11). Obtuvo los mismos resultados matemáticos. Este fue el primer indicio de que, en general, había una estrecha relación entre teorías de campo de Yang Mills y la teoría de las supercuerdas. El golpe final, en lo afirmativo, lo dio Juan Maldacena, en 1997, al conjeturar su famosa Correspondencia AdS/CFT, usando el mismo sistema de D3-branas, siguiendo los rastros de Klevanov, y otros físicos (12):

Las teoría de cuerdas cerradas Tipo IIB, en el espacio-tiempo de Anti de Sitter de 5 dimensiones, es dual (equivalente) a una teoría U (N) de Yang-Mills supersimétrica conforme (CFT), en 4 dimensiones.

La diferencia fundamental aquí es que mientras Klevanov et al. estudiaban el agujero negro como un campo clásico de la supergravedad, Maldacena especuló que no había razón para no extender la dualidad para incluir la teoría de cuerdas propiamente hablando. El físico argentino se concentró en la métrica que surge cerca del horizonte de eventos de la 3 brana negra, y encontró que esta describe un espacio de Anti- de Sitter (AdS). Imaginó una cuerda cerrada (gravitón) propagándose en este fondo (a baja curvatura) descrita, como sabemos, por una teoría de Tipo II (B). Como del otro lado tenía un sistema de N D3-branas coincidentes, descritos por una teoría de Yang-Mills supersimétrica conforme (CFT) en 4 dimensiones, con acoplo fuerte, dedujo que ambas representaciones eran idénticas para explorar ciertos fenómenos. Hay relaciones matemáticas precisas que enlazan ambos regímenes. Así, la curvatura del espacio-tiempo de AdS depende del número (N) de Dp-branas, y es inversamente proporcional a éste. De manera que para N grande, la curvatura de AdS es pequeña y se puede confiar en la aproximación de la supergravedad. Para que el esquema sea consistente, una teoría opera en un espacio-tiempo de 4 dimensiones ( U(N) Super Yang-Mills), y la otra, la teoría de supercuerdas Tipo IIB, en un espacio-tiempo curvo de 5 dimensiones, the bulk: AdS. Ya sabíamos que las cuerdas cerradas sólo se propagan en un espacio de dimensión superior. Lo extraordinario es que la teoría de campo vive en la frontera del espacio donde habita la teoría de gravedad cuántica, o sea del espacio-tiempo AdS: es un modelo holográfico, y una teoría “no sabe” de la existencia de la otra. En resumen: todo el aparato geométrico de un espacio-tiempo curvo que describe campos gravitatorios en relatividad general y la supergravedad, en esencia un agujero negro, puede usarse para estudiar una teoría cuántica de campo pura, sin gravedad, y con acoplo fuerte, en un espacio tiempo plano de una dimensión menos. Era algo imposible de imaginar hasta ese momento.

Por otro lado, hemos dicho que se pueden construir, en teoría, distintos objetos, haciendo que distintas Dp branas se intercepten. En 1996, Andrew Strominger y Cunrum Vafa diseñaron un agujero negro, a partir de una colección de, D1-branas y D5-branas que se interceptan (13). Calcularon primero la entropía, para la p-brana negra de 5 dimensiones correspondiente a este sistema, usando la fórmula clásica que nos dice que ésta es igual a una cuarta parte del área del horizonte de eventos. Luego calcularon la entropía, obtenida a partir de los microestados del sistema de Dp-branas, usando la teoría en su volumen del universo. Lo que hicieron, en esencia, fue variar la constante de acoplo (haciéndola “más fuerte”) hasta que el sistema de muchas Dp-branas pasó a ser una p-brana negra, curvando el espacio, y calcularon la entropía macroscópica correspondiente al agujero negro resultante, similar a uno del tipo Reissner -Nordstrom, usando sólo magnitudes como su carga eléctrica, magnética y su área. Ambas fórmulas para la entropía coincidieron, pues la supersimetría del sistema protege a los estados cuánticos: no varían con el cambio en la constante de acoplo. Era la primera vez que en una teoría se obtenía información macroscópica sobre un agujero negro, a partir de información microscópica.

Modelo de Strominger-Vafa:

Hay varios ejemplos más en donde las Dp-branas han sido esenciales para entender diversos fenómenos y explorar la no conmutatividad. Así, en uno de los modelos más populares propuestos para encarnar la teoría M, las D0-branas (partículas supersimétricas) juegan un papel importante. Básicamente, es la mecánica cuántica con supersimetría. En ese contexto, Alain Connes, Michael R. Douglas and Albert Schwarz (14) descubrieron nuevas teorías de Yang-Mills no conmutativas, usando herramientas matemáticas más sofisticadas. La relación entre la no conmutatividad en teoría de campo de cuerdas, Dp-branas y teoría M fue luego estudiada a fondo por Edward Witten y Nathan Seiberg (15). Llegaron a la conclusión que al colocar ciertas Dp-branas en campos magnéticos, aparece también la no conmutatividad, y pueden unificarse esos tres modelos. De modo que la influencia de campos mangnéticos sobre las Dp-branas parece ser la responsable de la no conmutativdad del espacio-tiempo en la teoría de las supercuerdas.

En conclusión, las Dp-branas, objetos fundamentales en teoría de cuerdas, son las que hacen inevitable la aparición de la geometría no conmutativa dentro de la principal candidata actual a una teoría cuántica de la gravedad, aunque son de existencia cuestionable.

FUENTES:

1. Quantized Space-Time, Snyder, H. (1947). Physical Review, 67: 38–41. http://www.edition-open-sources.org/media/sources/10/29/sources10chap27.pdf

2. On Continued Gravitational Contraction, J. R. Oppemheimer and Harland Snyder. Phys. Rev. 56, 455 – Published 1 September 1939. http://www.weylmann.com/oppenheimer2.pdf

3. The Electromagnetic Field in Quantized Space-Time, H. S. Snyder. Phys. Rev. 72, 68–71 (1947).

4. Noncommutative Geometry and String Field Theory, E. Witten. Nucl. Phys. B 268 , 253, (1986).

5. Black strings and p-branes, Gary T, Horowitz and Andrew Stromiger. Nuclear Physics B, Volume 360, August 1991, 197–209.

6. Black Holes in String Theory, Juan Martín Maldacena. arXiv: hep-th/9607235v2 20.

7. Dirichlet-Branes and Ramond-Ramond Charges, Joseph Polchinski. arXiv: hep-th/9510017.

8. Open P-Branes, Andrew Strominger. arXiv: hep-th/9512059.

9. Entropy and Temperature of Black 3-Branes, S.S. Gubser, I.R. Klebanov and A.W. Peet. arXiv: hep-th/9602135v3 .

10. BOUND STATES OF STRINGS AND p-BRANES, Edward Witten. arXiv: hep-th/9510135 .

11. World Volume Approach to Absorption by Non-dilatonic Branes. Igor R. Klebanov. arXiv: hep-th/9702076.

12. The Large N Limit of Superconformal field theories and supergravity, Juan Maldacena. arXiv: hep-th/9711200v3 .

13. Microscopic Origin of Black Hole Entropy, Andrew Strominger, Cumrun Vafa. arXiv: hep-th/9601029v2.

14. Noncommutative Geometry and Matrix Theory: Compactification on Tori. Alain Connes, Michael R. Douglas and Albert Schwarz . hep-th/9711162.

15. String Theory and Noncommutative Geometry, Nathan Seiberg and Edward Witten. arXiv: hep-th/9908142v3.