Geometría

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BANCO DE EJERCICIOS
DE LA COLECCIÓN COMPENDIOS
GEOMETRÍA
Editorial
Librería: Av. Garcilaso de la Vega 978, Lima Telf.: 424-6563
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ÍNDICE
 4 
 2 
 4 
 3 
 4 
 9 
 6 
 7 
 82 
 103
Editorial
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ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRÍA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representación gráfica de un punto: 
 
Representación gráfica de una recta:
Notación: 
)
Notación: 
 
*
Representación gráfica de un plano
Notación: 
 
SEGMENTO
 
 
Notación:
 
Longitud de un segmento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
Punto medio de un segmento. 
 
 
 ! = 
 
OPERACIONES CON LAS LONGITUDES DE SEG-
MENTOS
 
 
 
Adición de longitudes de segmentos
 = + & = + 
Sustracción de longitudes de segmentos
 = - & = - 
Nota:
 
 
 
 
 = 
 
ÁNGULO
 
 
 
 
θ
SEGMENTOS Y ÁNGULOS
Editorial
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 nco de e e cicioS
Elementos:
 
Notación: 
 +
 + & + = q
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
 
 
 
θ
θ
 
 ̀ + = +
CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS SEGÚN SUS MEDIDAS
Ángulo agudo. 
 9
 + 
 1 a 1 9
α
Ángulo recto. 
 9
 + 
a = 9
α
Ángulo obtuso. 
 9 8
 + 
9 1 a 1 8α
SEGÚN LA POSICIÓN DE SUS LADOS
Ángulos adyacentes. 
 
 
α θ
β
 
 ̀ q = a + b
Ángulos consecutivos. 
 
α
θ
β
γ
 
 ̀ + = a + b + q + γ
Ángulos opuestos por el vértice. 
 
 
 
α θ
 
& + = + & a = q
Ángulos complementarios. 
 9
θα
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GEOMETRÍA 
 
 ̀ a + q = 9
 a a
 ̀ a = 9 - a
Ángulos suplementarios. 
 8
θα
 
 ̀ a + q = 8
 
 ̀ = 8 - 
POSTULADO
 
 
 
 
)
 
)
 
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARA-
LELAS Y UNA RECTA TRANSVERSAL
 
 
 
Ángulos alternos internos
θ
α
 
)
 
)
 a q 
 
 ̀ a = q
Ángulos conjugados internos
α
β
 
)
 
)
 a b 
 
 ̀ a + b = 8
Ángulos correspondientes
θ
α
 
)
 
)
 a q 
 
 ̀ a = q
PROPIEDAD
θ
α
 
)
 
)
 = a + q
En general:
 
)
 
)
 & ! + = ! +
 ̀ + + = + + 
Editorial
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 nco de e e cicio
EJERCICIOS RESUELTOS
 
 
 = = = 
 
Resolución:
 = 
& = = = - + 
 = = - 
 = 
 - + = - 
 - + = - 
` = 
 
 
 = - = 
Resolución:
 = = 
 
 = & = + 
 = + 
 - = 
 + - = 
 
 + + - = & = 
` = 
 
 
 + + + + = 
+ - + = 
Resolución:
α φ
φ
 = a + φ 
 
+ + + = 
a + φ + a = & a + φ= 
 
 + - + = 
 a - φ = 
 
 a = φ = 
 = 9
 
)
 
)
φ
δ
δ
φ
 Resolución:
φ
θ
δ
δ
φ
 
 + q = 8 
q = φ + δ 
 
φ + δ + φ + δ = 8 & φ + δ = 
 q = 
 + = 8 ̀ = 
 
)
 
)
β
β
φ
φ
Resolución:
β
β
φ
φ
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GEOMETRÍA 
 
 = φ & φ = 
 
 φ + b = 8 
 + b = 8 & b = 
 = φ + b
 = + ̀ = 8
EJERCICIOS PROPUESTOS 1
 
 
 + + 
 
 
 = 
 + = 
 8
 = 
8 9
 
 = = 8 
 - = 
 
 
 8 8
 
 = = 
 = 
8 9
 
 
 
8 
 
 = = = 9 
 
9 - = 
9
 
 = 
 = = 
 
 
 9 8 
 
 
 = = - = 
 
 
 = = 
 = 
 8 9
 
 
+ + + = 
 = + + +
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 nco de e e cicio
8
 
 = = 
 
 
 
 
 
 = = 
 = 
 
 = = 
 - =
 
 = = = 
 
8
 
 = 
 = 9 = 
8
 
 = = 
 = 9 
8 
 = = 
 + = 8 
9 
 = = 
 = 
8
 
 = 
 - =
 
 8
 
 
 = 8 = 
 
 = = 9 
 
 
9
8 
 - = 
 
8
9
9 
 = 8 
 
8
 
 = = 
 
 
8
9
 
 - = 
 
 
Editorial
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GEOMETRÍA 
8
 
 = 
 = = 9
 8 
9 
 9
8
9
8
9
8
C
l
a
v
e
s
EJERCICIOS PROPUESTOS 2
 
+
α + 
α α - 
 
)
 
)
 + + + + 
8
a d
b e
c
8
 
)
 
)
 
 + 
8
 
 
=
+
; E
8
 + + + 
 + 
$
 
$
 
$
 + +
 + 
 
+
+
 
 
 
 + 
 + 9 
 
$
 
$
 
$
 
$
 
 
+
8 8
 
 
$
 
$
 
$
 
$
 
 
 9 q q 
 q
8
8 
 q 
θ
9 
 
 
 
9
8
 
 + = 8 + = 
 
 
Editorial
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1 nco de e e cicio
8 9
 
 + = + 
+ = 88 - + 
 
 + 8 - 
 + 
 + + = + 
+ + + = 
 
)
 
)
 
θ
α αγ
φ β
βφ
γ
θ
 
)
 
)
 
)
 - = 
α
α
θ
θ
 
 
 8 
 
 
 
 
 
 
 9
 
 8
 + + + + +
 + = 
 + = + = +
 + 
 + 
$
 
8
8 q 
 
)
 
)
θ
 - θ
8
9
9 
+
+
= + = 
 +
8
 
)
 
)
 
C
l
a
v
e
s
8
9
 
8
9 
Editorial
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TRIÁNGULOS
 
 
Elementos:
 
 
Notación:
 T
REGIONES DETERMINADAS RESPECTO AL 
TRIÁNGULO
 
 
 
 
 
 
 
ÁNGULOS DETERMINADOS RESPECTO AL 
TRIÁNGULO
θα
β
 a; b; q
 
 
T = + + 
 
=
+ +
T
TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL TRIÁNGULO
Teorema 1. 
 8
θα
β
a + b + q = 8
Teorema 2. 
 
 
 = a + b
α
β
Teorema 3. 
 
 
 + + = 
Teorema 4. 
 
 
 
 2 & a 2 q
θα
Teorema 5. 
 
 
 
 
 $ $ 
 - 1 1 + 
Teoremas adicionales
 
 = a + b + q
α
β
θ
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12 nco de e e cicio
α γ
β
θ
 
 
 
 
 
a + b = q + γ
α
β
 + = a + b
a + q = 8 + b
θα
β
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
 
 
Según las medidas de sus ángulos
1. Triángulo rectángulo 
 
α θ
 + = 9
 
 a + q = 9
Teorema de Pitágoras. 
 
 
 
 
 = + 
2. Triángulo oblicuángulo. 
 
Triángulo acutángulo. 
 
 
a 1 9 b 1 9 q 1 9
& 
& 1 + α
β
θ
Triángulo obtusángulo 
 
 q 2 9
& 
 
& 2 + 
θ
Según las longitudes de sus lados
1. Triángulo escaleno 
 
α
β
θ
 ! ! & 
& a = b ! q
2. Triángulo isósceles. 
 
 = 
& 
 
 
+ = +
α α
β
3. Triángulo equilátero. 
 
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&
α θ
β
 = = & 
& a = b = q = 
LINEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRIÁNGULO
1. Ceviana. 
 
 
 
 & 
 
& 
Mediana. 
 
 
& 
3. Mediatriz. 
 
GEOMETRÍA 1 
 T 
)
 = = 
& 
)
 
4. Altura. 
 
 
 = 
& 
Nota:
 
θ
θ α
α& 
 
γ
 γ 2 9
 
 
 
5. Bisectriz. 
 
Bisectriz interior
α
α
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 nco de e e cicio
 
 
Bisectriz exterior
θ
θ
 
 
PROPIEDADES DE ÁNGULOS DETERMINADOS 
POR BISECTRICES
 
 
β
θ
θ
α
α
 
 
 
 ̀ b=
 
 
α
α β
β
β
 
 
 
9
b
= +`
 
 
α αθ
β
β
 
 
 
 ̀ 9
q
= -
TRIÁNGULOS CONGRUENTES
 
 
 
 , 
α
β
θ α
β
θ
 ̀
+ = + & = 
+ = + & = 
+ = + & = 
CASOS DE CONGRUENCIA
 
 
 
 
 
Caso: Lado - Ángulo - Lado(LAL). 
 
 
 
α α
 + = +
 = & , 
 = 
Caso: Ángulo - Lado - Ángulo (ALA). 
 
 
 
α θ α θ
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GEOMETRÍA
 = 
+ = + & , 
+ = +
Caso: Lado - Lado - Lado (LLL). 
 
 
 = 
 = & ≅ 
 = 
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
Teorema de la bisectriz. 
 
 
α
α
 ! = = 
& = / = 
Teorema de la mediatriz. 
 
 
 
)
 
 
 ! 
)
& = 
Base media de un triángulo. 
 
 
Teorema de la base media. 
 
 
 = = & 
 ̀ / =
Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa
 
 
 
 
 
 ̀ =
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
 
 
 
 
 
 
 
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 nco de e e cicio
 
+
-
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES APROXI-
MADOS
 
 8 8
 
 = 
 
 = 8
 
 
8
8
EJERCICIOS RESUELTOS
 
 
 
 
Resolución:
 
 = = = = 
 
 = = = 
 + = + = + = 
 
 + + = 8 & + = 
 + + = 8
 ̀ = 
 = = 9
+ = + 
 
Resolución:
9 9
φ
φ φφ
α
α+φ
α
 
 = = 
 = = 9
 
 = 
 + = 9 ̀ = 
 
φφ
δ
δ
 Resolución:
δ
φφ
δ
 
 δ = + φ + 
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GEOMETRÍA 
 δ = + φ + 
 = 
 
 
 
 = 
Resolución:
 
 
 = = & = 
 
 = = & = 
 
 = & = ̀ = 
 = 
 = = 
 
 
Resolución:
8
 
 = = = 
 = = = 
 
 = ̀ = 
 = = 
 Resolución:
α φ
φα
 + = + = a
 + = + = φ
 + a + φ = 8 
 = a + φ 
 = 
 
 
 
+ + + = 
Resolución:
 
+ = 9 + 
 + + + = 
9 + + = ̀ = 
8 
 
 = = 
Resolución:
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 nco de e e cicio
 
 + 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 + + 
8
α α
α β
 β
 β
8 + + + + + 
8
9
9 +
α
α 
9
 
8
 
 
 = = & = 
 
 = = & = 
 = + ̀ = 
EJERCICIOS PROPUESTOS 1
 
 
 
9
9 8
 = = 
8
 
 
α
 α β
 β
8
 
α
 β
 β
 β
 β
 
 
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GEOMETRÍA
 
8
8
9
 
8
 
 
αα
8
9
 + 
αα
β φ φβ
α
8
9
 = 
 
 
 
 
8 
 
α α
 
 
 
 
9 
 
 
C
l
a
v
e
s
8
9
 
 
8 
9 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 2
 
 
 
 = 8
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2 nco de e e cicio
 
8
 a
α α
 
8
 
 
8 
αα
9 
 + 
 
 = 
8 9
 
8
 
 
α
α
 
α
α
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GEOMETRÍA 2
 a
9 + α
α α
8
 
8 
 
 
 = 
8
9
9 
αα
 8
 
 
α
α
 
 
C
l
a
v
e
s
8
9
 
 
 
 
 
8
9 
Editorial
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POLÍGONOS
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos:
 
 
Notación:
 
Ángulos determinados
α
θ
θ
θ
θ
θ
α α
α
α
 
a1, a2, a3, a4 a5
 
q1, q2, q3, q q5
LÍNEAS ASOCIADAS AL POLÍGONO
Diagonal. 
 
 
 
Diagonal media. 
 
 
 
 
CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS
Por la región que limitan
 Polígono convexo. 
 
 
 
Polígono no convexo o cóncavo. 
 
 
 
 
Por las medidas de sus elementos (lados y án-
gulos)
Polígono equiángulo. 
 
 
 
θ
θ
θ
θ
θ
θ
α
α
α α
α
α
POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS
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GEOMETRÍA 2
 
a 
q 
• Polígono equilátero. 
 
 
 
 
• Polígono regular. 
 
α α
α
ω
αα
α
 
 
 
ÁNGULO CENTRAL
 
 
 
 
 + 
PROPIEDADES
1. 
 = = 
 
 = 
2. 
 
α
α
α
α
α
α
 
 ̀ = a + a + + a = 8 - 
 
3. 
 
 
θ θ
θ
θ
 
 ̀ = 
4. 
• 
-
-
 
 ̀ = - 
• 
 
 ̀ = 
-
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2 nco de e e cicio
 
-
-
 
 
 
 = - 
• 
 
 = 
-
 
θ
θ θ
θ
θ
 
q 
 ̀ 8q =
-
7. 
α
α
α
α
 
a 
 ̀ a =
CUADRILÁTEROS
 
 
α
β
θ
δ
 
• 
• 
• 
• 
a + b + q + δ = 
 
 
CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS CONVEXOS
 
 
TRAPEZOIDE
 
 
 
 
 
 
α
α
θ
θ
 
 
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GEOMETRÍA 2
 
*
 
 
TRAPECIO
 
 
 
 
• 
• 
• 
• 
CLASIFICACIÓN DE TRAPECIOS
 
 
Trapecio escaleno. 
 
 ! 
& 
 + = + = 9
& 
 
Trapecio isósceles. 
 
θ θ
ββ
 = 
& 
 
+ = + = 
PROPIEDADES
 
 
 
 
 & =
+
 
 
 = 
 
 = & = +
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2 nco de e e cicio
• 
 
 
 
 
 
 & = -
• = 
 
=
-
 
 = 
&
PARALELOGRAMO
 
 
α
α
β
β
 
& 
PROPIEDADES
 = = 
+ = +
 + = +
 = = 
CLASIFICACIÓN DE PARALELOGRAMOS
Romboide. 
 
 9 
 
 
α
α8 -
α
8 -
α
Rombo. 
 
 9 
αα
αα
θθ
θθ
 
Rectángulo. 
 
 9 
 
p p
pp
b
b
a a
 
Cuadrado. 
 
 9 
 
 
 
m m
mm
a
aa
a
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GEOMETRÍA 2
 
 
 
 
 
Resolución:
 + 
 
 -
+
= & = 
 
 
 
 ̀ 
 
 
 
Resolución:
8
& #+ +=
-
=
 ̀ = 8
 
 
 
 
Resolución:
α
α
θ
θ
θ
α
 
 + = + = a
 + = + = q
 = = 
 = = 
 ̀ = 
 = 
 = 
 
 
Teorema:
 
 
 
a
a
b
b
c
c
dd
 
 
EJERCICIOS RESUELTOS
 
 
 
Resolución:
 = & - = ` = 
 
 
 
 
 
Resolución:
 - + = 
9
8-
-
-
= ̀ = 9
 
 
 
 
 
 
Resolución:
 + + = 
9
8-
+ - +
-
=
 ̀ = 
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 Resolución:
 
 = = 
 = = 
 = = 
 = = 
 ̀ = 
8 
 
 
 
 
Resolución:
 
 
 
 
 = -
 
 = = 
 
 = - ̀ = 
EJERCICIOS PROPUESTOS
 
 
 
 
 
 
 
 q
9
θ
 
 
 
 8 
 
 
 
 
 
 
 
9 98 8
8
 + + + + = 
9
 
 
 = = 
 +
8
9
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GEOMETRÍA 2
 
+
8 
9 
 
 
9
 
 
 
8 9
 
8
 
 
 
α
α
β
β
 
+
8
α
α β
β
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 9
8 
 
 
 
 
9 
 + = 
 
8
 
 
 
 
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3 nco de e e cicio
 - 
 + 
 
8
 q
 
θ
8
 
 
β
β
α
α
8 
C
l
a
v
e
s 
 
 
 
 
 8 
9
 
8
9
Editorial
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 1 & 
 2 & 
 = & 
LÍNEAS ASOCIADAS A LA CIRCUNFERENCIA
 
 
 
 
 
*
 
)
 
 
)
 
 
 
 
!
Nota:
 
 
 
 
 
 = π
 
 
 
 
ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA
• Ángulo central
+ 
 ̀ = a
α
• Ángulo inscrito
+ 
 ̀
a
=
α
• Ángulo semiinscrito
+ 
 ̀
a
=
α
CIRCUNFERENCIA
Editorial
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32 nco de e e cicio
• Ángulo exinscrito
+ 
 
 ̀
a
=
α
• Ángulo interior
α β
+ 
 ̀
α β
=
+
• Ángulo exterior
+ 
 ̀
α β
=
-
α
β
+ 
 ̀
α β
=
-
β
α
α
β
+ 
 ̀
α β
=
-
 + b = 8
PROPIEDADES
 
 
 
)
 
 
 ̀ = 
)
 
 
β
β
θ
θ
 
 = 
 ̀ = 
 
!
 = 
! !
 = 
!
 
 
 
 
 
 
 
!
 = 
!
 ̀ = 
β β
 = 
 
 
θθ
β β
 
 
 ̀ ! = 
!
 
)
 ̀ ! = 
!
Editorial
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GEOMETRÍA 3
 
 
 
α
α
$
 
$
 
 ̀ = 
 
$
 +
POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFEREN-
CIAS COPLANARIOS
• Circunferencias exteriores. 
 
 
 ̀ 2 + 
• Circunferencias tangentes exteriores. 
 
 
 ̀ = + 
 
• Circunferencias secantes. 
 
 
 ̀ - 1 1 + 
 
 
Observación:
 
 
 = + 
)
 
 
)
 
 
• Circunferencias tangentes interiores. 
 
 
 ̀ = - 
 
• Circunferencias interiores. 
 
 
 ̀ 1 - 
• Circunferencias concéntricas. 
 
 
= -
 
 
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 nco de e e cicio
CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE EN UNA CIRCUN-
FERENCIA
 
 
 
 
 ̀ 
CONDICIÓN PARA QUE UN CUADRILÁTERO SEA 
INSCRIPTIBLE
Primer caso. 
 
 
α
β
θ
 a + b = 8 & 
 a = q & 
Segundo caso. 
 
 
α θ
 a = q
& 
CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA
 
 
 
 
 
PROPIEDADES
 
 
α
β
θ
 ̀ q + b = 8
 a 
 
 q = a
 
 
 
 
 ̀ a = b
α β
 
 
 
 ̀ * 
*
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GEOMETRÍA 
EJERCICIOS RESUELTOS
 
 
 
 
 
+ + = +
Resolución:
+ = = 
!
 
 + = 
!
 = 
 
 
9+ += - & 9= -
 ̀ = 
 
!
 , ,
! ! !
 + = 
 Resolución:
α
φ
α
α
 = 
α φ- 
& = a - φ
 = a + φ 
 a = 
 = - φ ̀ φ = 
 
!
 = 
 
 Resolución:
+ = 
!
 = 
 + = 9 - = 
 + = & 
!
 = 
 = 
!
 
 ̀ = 
 
 
 + + = + = 
 
Resolución:
 
 
 + + = 
 + + + + + = 
 + = 
 + + + = 
 
 ̀ = 
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 nco de e e cicio
 
!
 = 
!
 = + = 
 Resolución:
 = -
!
 
& 
!
 = 
 + + +
! !
 = 
& 
!
 = 
 = -
! !
 
 = - ̀ = 
EJERCICIOS PROPUESTOS 1
 a + b
α
β8
 
8
8
 
 - 
 - 
 - 
 + 
 - 
 
 
α
α 
 9
 8
 
8
 
 + 
 
8
8 
9 
Editorial
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GEOMETRÍA 
 = 
 
8
 
 
 = 
 
8
 a
α
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
8
9
9 
 
C
l
a
v
e
s
8
9
 
 
 
 
 
8
9
Editorial
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 nco de e e cicio
EJERCICIOS PROPUESTOS 2
 q 
θθ
 
 
 
 
 
 a
α
α
 
 
!
 = = 
 
 = 8 
 
8
8 
!
 
 
 
 
 
9 = 8
 
!
 = 
!
8
 
!
 = 
!
 = 
 
 + + 
 + +
 +
 = 
 
!
 = 
Editorial
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GEOMETRÍA 
 
 
!
 = 8 
!
 = 
 
 
!
 = 
8
 
!
 = 
8
 
 
 
!
 = 
!
 = 
 = 
 
 
!
8 = = = 
α
α
8
9
9 
 
 ! 
!
 
 + 
!
 = 
!
 = 
!
 
 
 9 
 
 
!
 + 
!
 = 
 
!
8
 
!
 = 
 
 a
α
 
+ = 
)
 
)
 
)
 
)
 
 
 
θ
θ
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4 nco de e e cicio
 
!
 = 
!
 
> ?;;
 = 
8
 
!
 = 9 = 
 = 
8 
8
8
9
 9 
 8 
8 
 
 
 
C
l
a
v
e
s 8
9
 
8
9 
 
 
8 
9 
 
jhsf
Editorial
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BARICENTRO
 
 
 
 
 
Propiedades:
 = = = 
ORTOCENTRO
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INCENTRO
 
 
 
 
 
β β
α
α θ
θ
 
 
 
 
Propiedades:
+ = 9 + + = - 
 
EXCENTRO
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
α ω
γ
γ
ω
α
 
 
 
 
PUNTOS NOTABLES ASOCIADOS AL TRIÁNGULO
Editorial
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42 nco de e e cicio
Propiedades:
+ = +
+ = 9 - + = 
 
CIRCUNCENTRO
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propiedad:
+ = +
 
 
 
 
 
 
 
TRIÁNGULOS ESPECIALES
• Triángulo mediano o complementario. 
 
 
 
 
 
Propiedades:
 
 
 
 
• Triángulo órtico o pedal. 
 
 
 
Editorial
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GEOMETRÍA
 
 
 
Propiedades:
 
 
 
 
RECTA DE EULER
 
 
 
 
 
&
)
 
Propiedades:
 
 
 
 
 = = 
 
 
 
 
 = 
TEOREMA DE PONCELET
 
 
 
 
 
 
 
 
 & + = + & = + -
TEOREMA DE PITOT
 
 
 
 
 
 ̀ + = + 
TEOREMA DE STEINER
 
 
 
 
 ̀ - = - 
EJERCICIOS RESUELTOS
 
 
 
 = = 
Editorial
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 nco de e e cicio
Resolución:
 
α
α
α β
β
β+ = + = a
+ = + = b
 = = 
 = = 
 ̀ = 9
 
 
 + = +
Resolución:
 
 + = 8 - 
 + = 
 + = +
 8 - = 
 ̀ = 
 
 8 
 
 
 
Resolución:
8
 
 + = + = 
 + = 9 & + = 
 + = 9
 ̀ = 
 
 
 
 = 
 Resolución:
 
 
 
α
8 8
=
 
 
 
 
 = 
 
 = & = 
 = & = & = 
 
 = + 8 ̀ = 
 
 
 
Resolución:
 
α
β
β
α 
 
 
 + = + = b
 
 + = + = a
 a + b = 9
& = a + b = 9 ̀ = 9
EJERCICIOS PROPUESTOS
 
 
8
 = 
 9 
 
 
Editorial
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GEOMETRÍA 
8
9
 
 
 
 = = 9
 
8 
 
 
 
 
 = = 9
8
 
 
 
 
 
 
 
9
8
 
 
 + + = +
9
8
8 
 
 
 
 
 + = a + = 9 - a 
 
a a 9 a+
9 + a 9 a+
9 
 
 
 
 
 9
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8
 
 
 
 = = 
- - - 
 - -
8
9C
la
ve
s
Editorial
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RAZÓN GEOMÉTRICA DE SEGMENTOS
 
 
 
 
 
Ejemplo:
8 
 
 
 = 8 = 
 8= =
SEGMENTOS PROPORCIONALES
 
 
Ejemplo:
 = 8 = = 
 = 8 
8
= = 
8
= = 
 
=
DIVISIÓN ARMÓNICA DE UN SEGMENTO
 
 
 
 
 
 
=
 
= & = 
 
 
 
TEOREMA DE TALES
 
 
 
 
)
 
)
 
)
 
)
 
)
 
 
 =
COROLARIO DEL TEOREMA DE TALES
 
 
 
 
 
)
 
*
& =
 
 
)
 
*
& =
SEMEJANZA DE SEGMENTOS
Editorial
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GEOMETRÍA 
TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
 
 
 
β β
 
 
 ̀ =
TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
 
 
 
 
 
ω
ω
 2 
 
 ̀ =
TEOREMA DEL INCENTRO
 
 
 
 
 
β β
 
 
 ̀ = +
TEOREMA DE MENELAO
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̀ = 
TEOREMA DE CEVA
 
 
 
 
 
 
 
 ̀ = 
SEMEJANZA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS
 
 
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 nco de e e cicio
 
 biunívoca 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = = =
 
a 
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
 
 
 
α θ
β
 
θα
β
 
 
 
 
 
 = = =
CRITERIOS DE SEMEJANZA EN TRIÁNGULOS
Caso I. 
 
α β
 
α β
 + = + + = +
 ̀ a 
Caso II. 
 
 
α α
 + = +
= =
 ̀ a 
Caso III. 
 
 
 = = =
 ̀ a 
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GEOMETRÍA 
PROPIEDADES
 
 
 
 
*
 
 ̀ 
 
 
 
 
 ̀ 
EJERCICIOS RESUELTOS
 + = 9
 
 = = 
Resolución:
 
 
 
 = 
 = = 
 + = 9 + + = 
 = 
 = = 
 = ̀ = 
 
 
 
 = = = 8
Resolución:
α
α
8
-
 
 
8
=
-
 ̀ = 
 
 
 = = 
Resolución:
α α
 
 
 = = 
 
8
= 
 
= 
 ̀ = 
 = = = 
+ = +
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5 nco de e e cicio
 Resolución:
φ φ φ
 
 = = 
 a = ̀ = 8
 
8 
 
 
Resolución:
 a 
8
α α8
=
 ̀ = 
 
 
 
+ = + = 9 
 = 
Resolución:
α
α α
9
 
 = = 
 a 9= ̀ = 
EJERCICIOS PROPUESTOS 1
 = = = 8 
 
 
 
 
 = 
 = 8 = 
 
9
 
 
 = 
 = = 
8
 
 
 = = 
8
 = = = 8
 
 
 
 
8
9 9
 
 
 
 = = 
 8
8 9
 = = 8 
 
Editorial
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GEOMETRÍA 5
9
8
8 
9 
 
 
 = = = 
 
 9 
 
8
 + = + 
 
 = 8 = 
9 8
 
 
 
 = = 
8
8
 = 
θθ + 
 
α
α
8
 
 8
 = = 
 = = 
β
β
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 = = 
8
Editorial
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52 nco de e e cicio
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + 
 - 88
C
l
a
v
e
s 
 
 
 
 
 
 
 8 
9
 
8
9
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RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
Teorema de las cuerdas. 
 
 
 = 
 
 
Nota:
 
 = 
 ̀ = 
Teorema de las secantes. 
 
 
 
 
 
 
 ̀ = 
Nota:
θ
 
 
 
 ̀ = 
Teorema de la tangente. 
 
 
 
*
 
 
 
 ̀ = 
Rayos isogonales. 
 
 
 
 
θ θβ β
 +
 +
 ̀ + = +
Teorema de las isogonales. 
 
 
 
 
 
 
θ θ
RELACIONES MÉTRICAS
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 nco de e e cicio
 +
 ̀ = 
Teorema del producto de dos lados. 
 
 
 
 
 
 ̀ = 
Proyección ortogonal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
θ
 = 
)
 ! 
)
 
 
 
)
)
 
 
)
 
)
 
 
 
)
 ̀ = 
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS REC-
TÁNGULOS
α
α
θ
θ
 
 
 
 
 a a 
Propiedades:
 
 
 
 
 = = 
 =
 
 
 
 
 
 
 = + 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 = 
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GEOMETRÍA 
 
 
 
 
= +
Nota:
 
 
 = 
 
 
 
 =
 
 
 
 
= +
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULO OBLI-
CUÁNGULOS
Teorema de proyecciones. 
 
 
 
 
Primer caso: 
 
 
 - = - 
Segundo caso: 
 
 
 = 
Teorema de Euclides
Primer caso: 
 
 
 
 
 
 
q 1 9
θ
 
 = + - 
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 nco de e e cicio
Segundo caso: 
 
 
 
 
 
 
θ
θ 2 9
 
 = + 
Teorema de Stewart. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̀ + = + 
Teorema de la mediana. 
 
 
 
 
 
 
 ̀ + = + 
Teorema del cálculo de la bisectriz interior. 
 
 
 
 
 
θ θ
 
 ̀ = 
Teorema del cálculo de la bisectriz exterior. 
 
 
 
 
 
 
θ
θ
 
 2 
 ̀ = 
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GEOMETRÍA 
Teorema de Herón. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̀ = - - -
 
=
+ +
EJERCICIOS RESUELTOSResolución:
 
 = & = 
& = 
 = 
 ̀ + = + = 
 
 
 
 = 8 = 
 Resolución:
8
/
 = =
 = 
9=a ^k h ̀ = 
 = 
 + + = 
 Resolución:
 
 = + 
 = + 
 = + 
 
 = + + + 
 = + ̀ = 
 
 + = 8
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 nco de e e cicio
Resolución:
-
 
 
 = + + 
& = + 
 = # 8 ̀ = 
 = = 
 Resolución:
 
 = 
 = 
 + = 
 + = ̀ =
 
 = = 9
αα
Resolución:
α
9
α
α
 
 = = 
 = = = 
 
 = 9 ̀ = 
 = = = =
 Resolución:
 = 
 
 = + & = 
 
 = + ̀ = 
EJERCICIOS PROPUESTOS 1
 = = 
 
8
 = 
Editorial
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GEOMETRÍA 
 
 
 
 
 
 
8
 = = 
 = 
8
 = = 
 
 
 
 
9
8 
 
 
 
8
9 = 8 
 
 
 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
8
9
 = = 
8
 = = 
 
8
 
 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 
 = 
Editorial
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6 nco de e e cicio
 
 = = 
 
 
 
 
 
 
!
 = + = 
 + 
8
8
 
 
 
 = 
!
 = 
 
 
 
 
8 
 
 
 
9
9 
 
 = 9 = = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 -
+ 
 
 
C
l
a
v
e
s
8
9
 
8
9
EJERCICIOS PROPUESTOS 1
 
9 8
 
 
x
x
α
α
 
 
αα
8
O8
Editorial
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GEOMETRÍA 6
 
 
 
 
 
 
8 
α
9 
 
α
9
8
 
 
8
 
 
 
 
 
α
 
8
αα
 
 8
α
α 
 
 
 9
 
θ
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62 nco de e e cicio
 
 
 
 
8
9
8 a = + 
8 α
8
9 = 
 
 
 
 
C
l
a
v
e
s
8
9
 
 
8
9
Editorial
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REGIÓN PLANA
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA
 
 
REGIONES EQUIVALENTES
 
 
 
 
 1 2 1 2 & = = 
REGIONES CONGRUENTES
 
 
 
 , & = 
ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES
Región triangular. 
 
 Fórmula básica. 
 
 
 
 = 
 
 = 
 
 = 
Fórmula trigonométrica. 
 
 
 
 
θ
 = = + = q
& = 
CÁLCULO DE ÁREAS
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 nco de e e cicio
• Triángulo equilátero
 = = = 
T = 
Fórmula de Herón. 
 
 
 
 
=
+ +
 
= - - -T
Fórmula en función del inradio. 
 
 
 
 
 = 
Fórmula en función del circunradio. 
 
 
 
 
 = 
Fórmula en función del exradio. 
 
 
 
 
 
 = 
 
 = 
 = 
FÓRMULAS ADICIONALES PARA REGIONES 
TRIANGULARES RECTANGULARES
 
 
 
 
 = 
Editorial
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GEOMETRÍA 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
& = 
 
 
 
 
 
 
 = 
RELACIÓN ENTRE ÁREAS DE REGIONES TRIAN-
GULARES
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = = & =
9
9
 
 
 
 
 = = & =
9
9
 
 
 
 
 
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 nco de e e cicio
 
 
& =
9
9
Propiedad:
 
& = 
 
 
 
 
 
1.er caso
θθ
 + = + = q
& =
9
9
2.° caso
α
θ
 a + q = 8
& =
9
9
 
 
 
 
 
θα θα
 T a T 
& = = = = =
9
9
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES
Región cuadrangular. 
 
 
Fórmula general. 
 
 
 
 
θ
β
 
 = q
 
 = b
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GEOMETRÍA 
 
 = 
 
 = 
ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL
 
 
 
 
 
& = +c m
 
 = 
Teorema. 
 
 
 
 
 
 
& = 
AREA DE UNA REGIÓN PARALELOGRÁMICA
Región romboidal. 
 
 
α α
 
 
 = 
 = a
Región rombal. 
 
 
 
 = 
Cuadrado
 = 
 = 
Rectángulo
 = 
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 nco de e e cicio
RELACIÓN DE ÁREAS EN REGIONES CUADRAN-
GULARES
Cuadrilátero convexo
 
 
& =
 
Cuadrilátero no convexo
 
 
& =
Cuadrilátero convexo
 
 
& = 
FÓRMULAS EN REGIONES TRAPECIALES
1. 
 
 
& = 
 = 
2. 
 
& =9
3. 
 
 
& = 
EN REGIONES PARALELOGRÁMICAS
1. 
& =9
 
 
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GEOMETRÍA 
2. 
& + =T T
3. 
 
 
& + =T T
ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES
Círculo. 
 
Área de un círculo
 = π 
 = π
Corona circular. 
 
 = π - 
 = π
 
 
Sector circular. 
 
α
 
 
a 
 
 = π α
 
 
 = 
Segmento circular. 
 
 
θ
 
 
 
q 
 
 = θπ θ-
TEOREMA DE REGIONES EXTERNAS
 
 
 
 
 
 
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 nco de e e cicio
 
 
 
 = + 
LÚNULA
 
 
 
 
LÚNULAS DE HIPÓCRATES
 
 
 
 = + 
Nota:
 = 4 = 4 = 4
EJERCICIOS RESUELTOS
 
 
!
 
!
 Resolución:
α
θ
α
 = a + q = 9
 
!
 = q + a = 9
 + = q + a = 9 
 + = 
 = π c m ̀ = π 
 
 
 
!
 = 9 
 = = 
 
Resolución:
9
φ θ
φ
θ
 a =
 = 
 = = 
 = = 
^ ^h h
 = ̀ = 
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GEOMETRÍA 7
 = 
 = 
Resolución:
 
 = = = = 
 = 
8
π - 
8
π - 
8
π
 = 
8
8π - -^ ^ ^h h h9 C
 ̀ = 9π
 
 
 
 
 
 
Resolución:
 = 
 = =
 
 = ̀ = 
 
 
 
 
 
Resolución:
 
 a &=
+
=
+
 a &=
+
=
+
 = 8
 
 
 = 
 
Resolución:
 =
 
 = - 
 
 = - 
 = # & = # ̀ = 
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72 nco de e e cicio
EJERCICIOS PROPUESTOS 1
 = 
 
 
 = + = + 
 = + = + 
 = + 
 
 
9
9
 
 
 
 
8
 
 
 
 
 
9 + 8 + 
 + + 8
 + 
 
 
 
 
 8 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 + = 9 
 
 = = 8 
 
8 
9 
 
9π
π
9
8π
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
9
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GEOMETRÍA 7
 
 = = 
 
 =
 8 
 
 
 
 
 
9
 9
 
 
 
 
 8π + 
π 
π + 
π 
π 8 
C
l
a
v
e
s
8
9
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 2
 
 
 
 
 + = 
 + = 
 = + 
 = + 
 = + 
 = + 
 = + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 -^ h 
 -^ h -^ h 
 
 
 ! 
 
 
 = 
 
 
9
 = 9 = = = 
 
8
 
 
 
 
 
 8 
 
 
 
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 nco de e e cicio
 
 
 
 
 
8
8 = = = 
 
 9
 9
9 
 = 9
8
 8 
 
 
 = = 
 
 8 8 
 8 
 
 8 
 - 
 - + 
 8 - 
 
 
 
 
 
 
 
 = = 
 = 8 
 = 
 
8 
 
 
9 
 
 
 
 = = = 8
 = 
 8 
 
8 8 89
9 9
 + + = 
 π 
 π 
 π 
 π 
 π 
 
 
 
 
8 
9 8 
 
 
 
 
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GEOMETRÍA 
 
 
 
 
 + + + 
 
 
8 
 
 
 + -
 
+ + + +9 C
 
+ + - +^ h9 C
 
+ - - +9 C
9 
 
 
 
)
 
)
 
 = 
 
 
 + + + + 
 + + 
 + 
 
 = = 
9
8 π
9 π
8
C
l
a
v
e
s
8
9
 
 
 
 
 
8
9
EJERCICIOS PROPUESTOS 3
 
 
 
8
9
 
 
 
 
8
 
 = = 
 
 = 
π 
π 
π 
π 
 π 
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 nco de e e cicio
 = = 
 = = = 
 
 = 
 
8 = = - 
 
α
α
α
 
 
9 = = = 8 
 
 
 
 = 
8 
 
 = = 
 
 
 
 
 9 
 8 
 
 
 = 
 8 +^ h
 
!
 = = 
 
θ
θ
 = = 
 
 
 
8
 = = 
 = = 
 
 
 
 
 
 
 
Editorial
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GEOMETRÍA 
 = = 
 + = 
9
 
 
8 
 
 
8 
 
8 
 = 
 = 
 
 
9 = 
 + = + = 
 
 
 
 
 
 
 
C
l
a
v
e
s
8
9
 
 
 
 
 
8
9
Editorial
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RECTA Y PLANOS
Representación geométrica de un Plano
 
DETERMINACIÓN DE UN PLANO
 
 
Postulado fundamental. 
 
 
 
 
& 
Teorema 1. 
 
 ! 
)
 & 
)
 
Teorema 2. 
 
)
 + 
)
 = & 
)
 
)
 
Definición de rectas paralelas. 
 
 
)
 
)
 & 
)
 
)
 
POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS 
EN EL ESPACIO
 Entre dos planos
Planos paralelos. 
 
 +
 + = Q
Planos Secantes. 
 
 
 
 
)
 1 
)
 1 
& 
 
Entre una recta y un plano
Recta contenida en un plano. 
 
 
 ! 
)
 ! ! N
&
)
 1 
Recta secante a un plano. 
 
 
GEOMETRÍA DEL ESPACIO
Editorial
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GEOMETRÍA
 + 
)
 = & 
)
 
Recta paralela a un plano. 
 
 
 
)
 
&
)
 + = 
Entre dos rectas
Rectas secantes. 
 
 
 
 
)
 + 
)
 = 
&
)
 
)
 
Rectas paralelas. 
 
 
 
)
 + 
)
 = 
)
 
)
 
&
)
 
)
 
Rectas alabeadas o cruzadas. 
 
 
 
)
 + 
)
 = Q 
)
 
)
 
& 
)
 
)
 
RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO
 
 
 
 
 
)
 + 
 
)
 = 
)
 
)
 = 
)
 
)
 = 
)
 
)
 = 
)
Teorema. 
 
 
 
)
 1 
)
 1 
 
)
 
)
 
 
)
 = 
)
 
)
 = 
)
&
)
 = 
Teorema de las tres perpendiculares. 
 
 
 
 
 
 
α
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8 nco de e e cicio
 
)
 1 
 
)
 = 
)
 = 
)
 
)
 1 
& 
)
 = 
)
 ̀ a = 9
ÁNGULO DIEDRO
 
 
 
θ
Notación:
 
*
 
*
 
+ 
q 
PLANOS PERPENDICULARES
 
 9
α
a 
 a = 9 & = 
ÁNGULO POLIEDRO
 
 
 
α
β
 
 
 
Elementos:
 
 
 
 a b
Notación: 
 
 
 
 
 
Propiedad:
 
 
ÁNGULO TRIEDRO
 
β
α γ
Notación:
 
 
 
 a b
Propiedades:
 
 
 1 + + 1 
jhsf
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GEOMETRÍA
 
 8
 
8 1 a + b + γ 1 
 
 
 
 
 - 1 1 + 2 2 
 
 
 2 & a 2 γ
Clasificación:
 
 
Por la comparación de las medidas de sus 
caras
Triedro escaleno. 
 
 
 ! ! ! 
& 
a ! b b ! γ a ! γ
Triedro isósceles. 
 
 
 
 = 
& 
 a = γ
Triedro equilátero. 
 
 
 
 = = 
& 
 a = b = γ
Propiedad:
 
θ
θ
 + = + 
 
& +
Por el número de caras rectas (de medida igual a 90°)
Triedro rectángulo. 
 9
Triedro bi-rectángulo. 
 9 
 9
Triedro tri-rectángulo. 
 9 
 9
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82 nco de e e cicio
SÓLIDO GEOMÉTRICO
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuerpo redondo
(esfera)
Poliedro
(pirámide)
POLIEDRO
 
 
 
 
 
Diagonal del poliedro: 
 
Sección plana: 
 
 
 
 
 
Teorema de Euler
 
 
 
 + = + 
 
 
 
 
 
 
 
+ = - 
+ 
 
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= - -
 
 
#
=
-
=
-
 
 
 
POLIEDRO CONVEXO Y POLIEDRO NO CONVEXO 
(CÓNCAVO)
 
 
 
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GEOMETRÍA
Poliedro convexo
 
Poliedro no convexo o cóncavo
 
 
POLIEDRO REGULAR
 
 
 
 
1. Tetraedro regular. 
 
Notación: 
 
 = =
 
 =
 =
2. Hexaedro regular o cubo. 
 
 
 
 
 Notación: 
=
 = 
 = 
3. Octaedro regular. 
 
 
 
 
Notación: 
 
=
 =
 =
4. Dodecaedro regular.
 
 
 
 
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 nco de e e cicio
5. Icosaedro regular. 
 
 
POLIEDROS CONJUGADOS
 
 
 
 
 
 
PRISMA
Superficie prismática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Superficie prismática abierta
Superficie prismática cerrada
Prisma. 
 
 
Características. 
 
 
 
Nota:
 
 
 
Sección transveral. 
 
Sección recta. 
 
 
 
 
 
 
Notación: 
 
 = 
 = 
 
 
 = + 
 
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GEOMETRÍA
 
 = 
 
 = 
 
 
CLASIFICACIÓN:
Prisma oblicuo. 
 
 
 
 1 1 
Prisma recto. 
 
 
 = = 
Prisma regular. 
 
PARALELEPÍPEDO
 
Paralelepípedo rectangular, rectoedro u ortoedro.
 
 
 
 
 = + + 
 
 = + + 
 
 = 
TRONCO DE PRISMA
 
 
 
Tronco de prisma triangular oblicuo. 
 
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 nco de e e cicio
 - 
 
 = = + +c m
 = = + +c m
CILINDRO
Método para generar una superficie cilíndrica
 
 
 
Superficie cilíndrica abierta
generatriz
directriz
Cilindro. 
 
 
Características. 
 
 
 
 
 
 
 
Sección recta de un cilindro
 
 
 = 
 
 = + 
 
 = = 
 
 
CLASIFICACIÓN:
Cilindro recto. 
 
 
 = = 
Cilindro oblícuo. 
 
 
 1 1 
Cilíndro circular recto. 
 
 
 
 
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GEOMETRÍA 
 
 
Sección axial de un cilindro de revolución.
 
 
Nota:
 
 
 
 
 
 
π
 
 = π
 
 = π + 
 
 = π
Cilindro oblicuo de sección recta circular. 
 
 
 
 
 = π
 
 
 = + 
 
 = 
Nota:
 
 
 
 
 
 
 
 = π
 
 
Tronco de cilindro. 
 
 
Tronco de cilindro oblicuo de sección recta circular
 
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 nco de e e cicio
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notación: 
 
 
 
Notación: 
 
 
 = ! 
 
 = + 
 
 =
^ h
Propiedad
 
 
 
 
 
 
=
+
 
=
+c m
 = π
 
=
+c m =
+c m
PIRÁMIDE
Generación de una superficie piramidal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pirámide. 
 
 
 
 
 
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GEOMETRÍA 
 
 
 
 
 
 
 
 
& a 
 
= = = = 
 
= = =
 
= = =
Tronco de pirámide. 
 
 
 
 
 
 
 
 = ! 
 
 = + + 
 
= + + 
 
Pirámide regular. 
 
 
h
β
θ
 
 
 
 
 = 
 
 = 
 
 
 = + 
 
Tronco de pirámide regular. 
 
 
 
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9 nco de e e cicio
 
=
Tronco de cono. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= + +^ h
 
Cono circular recto o de revolución. 
 
 
 
 
 = 
*
 
=
 
Notación: 
 
 = 
 = 
 
 = + 
 
 
CONO
Superficie cónica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cono. 
 
 
 
 
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GEOMETRÍA 9
TRONCO DE CONO CIRCULAR RECTO O DE RE-
VOLUCIÓN
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= + +^ h
ESFERA
Superficie esférica y partes notables
Superficie de revolución. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Superficie esférica. 
 
 
 = π
 
 
 
Zona esférica. 
 
 
 
 
 = π
 
Casquete esférico. 
 
 
 = π = π
 
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92 nco de e e cicio
SÓLIDO DE REVOLUCIÓN:
 
 
 
 
Esfera: 
 
 
 
=
Cuña esférica. 
 
 
 
 
α
α
π α=
Sector esférico. 
 
 
 
 
 
=
 
 
 
TEOREMA DE PAPPUS – GULDIN
Superficie de revolución. 
 
 
 
 
 = π
 
 
 
 
 
 
Sólido de revolución. 
 
 
 
 
 = π
 
 
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GEOMETRÍA 9
 
 
 
 
EJERCICIOS RESUELTOS
 
 
 
Resolución:
 = # 
 
 
 
 
 
& = c m ̀ = 
 
 
 
 
 
Resolución:
 = 
 = 
 
 
 
 = 
 = # 
 
 = 
 & = = c m 
& = 
 = 
 = 
 
 
 
 
 
 
Resolución:
 = π
 = π
 
& = 
+
=
+
= 
 a 
=
- & = - 
 =
+
=
 ̀ = π = π
 
 
 
 
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 nco de e e cicio
 Resolución:
 = 
 
 = 
 = + = 
 = & = 
 = + 8 = & = 
 + = ` = 
 
 
 
Resolución:
 
 = 
π = π ̀ = 
 = = = 
 
 
 Resolución:
 
 = π^ h
 = π 
 
+^ ^h h = + ^ h
 + = + 
& = 
 = π = 8π 
 
 
 
 
Resolución:
 
 
 
 = + + 
 
 
 = + = - 
 = = + + + - 
 = 9 & = = 
 ̀ = 
8 
π 
 
 
Resolución:
 = 
 
 # = 
 = π
 = π + π = π
& π + π = π
& = 8
 = = 
 = 
8
 ` = π 
9 
 8π 
π 
 Resolución:
 
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GEOMETRÍA 
 
= c m 
 8
π
π
=
&
9
=c m & = 
 ̀ = =c m
 
 
 
 
Resolución:
 
 = π 
 = 
& = & = 
 
 = π = π 
 
 
 
 
Resolución:
 = 
=
 
 
 
 
& 
& = 
 = # #
^ h> H
 = 9 
 
 
 
 
 
 Resolución:
 
π
π
= =
 
 = 
 
 
 
 = 
` =
EJERCICIOS PROPUESTOS 1
 
 
 
8
8 8
 
 8 
 
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 nco de e e cicio
8
 
 
8
9 
 
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9
 9
 
 
 
 
 
8 
 8
 
 8
 
9 
 
 
 
 
 
8
 
 
 + = 9
 π
 π
 π
 π
 π
 
 
π
L
9π
8π
π
π
 = = 
 
 = 
 
8π
π
8 π
π
9 π
 
 
 
 
Editorial
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GEOMETRÍA 
 - - -
 - π
 
 
 
π 8π π
π π
 
 
 
 
 
 
 
 
8
 
 8 
 
8
88
8
8
8 
 
 8 
8
9 
 
 
 
 
 
 
8
8
 
 
 
8
 
 
 
9
 
 
 
π 8π π
π π
C
l
a
v
e
s
8
9
 
8
9
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SISTEMA DE NÚMEROS REALES
 
 
 2 1 $ 
 # 
 
 
 + ! R 
 + = + 
 + + = + + 
 ! R 
 = 
 = 
Axioma de existencia y unicidad del elemento 
inverso aditivo
 ! R R 
 - 
 + - = - + = 
Interpretación geométrica de los números rea-
les en la recta numérica real o eje x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eje x-----∞ +∞
Distancia entre dos puntos. 
 
 
 = - 
PLANO CARTESIANO
 
R 
 
 R#R = R 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
eje x
eje y
origen de coordenadas
-
-
-
-
-
-
--3
-3
+3
+3
 gg
h
h
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Editorial
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GEOMETRÍA 
Ubicación de un punto en el plano cartesiano
Postulado.Notación de par ordenado
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
R = ! R ! R
 
 
Distancia entre dos puntos. 
 
 
 
-
 
-
 
 
 = - + - 
 = - + -
División de un segmento en una razón dada.
 
 = 
 
 
 
-
-
 
α
α
β
β
 = 
 a 
-
-
= =
 
=
+
+
6 ! - 
 
=
+
+
6 ! - 
Editorial
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10 nco de e e cicio
 = = 
 
 
=
+
+ =
+
+
Punto medio de un segmento. 
 = 
 = 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
=
+
 =
+
Calculo de las coordenadas del baricentro de 
una región triangular. 
 
 
 
 
 
 
 
=
+ + =
+ +
LA RECTA
Forma de la ecuación general de la recta. 
 + + = 
 
 
 
 
+ +
=
)
 + + = 
 
& =
Inclinación de una recta. 
 
 
 
θ α
a 
q 
Pendiente de una recta. 
 
 
αθ
 
 
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GEOMETRÍA 10
 
 = a
 a 1 9 
 
 = q
 q 2 9 
Cálculo de la pendiente. 
 
 
α
α
 
 
-
-
 
)
 
 = a
 a = 
-
-
 =
-
-
Forma de la ecuación de una recta dado un 
punto y su pendiente. 
 
 
 
 
- = -
 ! 
)
 
)
 = 
-
-
=
-
-
)
 - = - 
 
 
Forma de la ecuación de una recta dado su pen-
diente y su ordenada al origen. 
 
 = + 
 
 
 
)
 - = - 
)
 = + 
 
 
Forma de la ecuación de una recta de coorde-
nadas al origen 
 
 
 
 
)
 =
-
- & =-
 
 
)
 = + 
 
)
 =- +
)
 + = 
Editorial
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102 nco de e e cicio
Forma de la ecuación simétrica de la recta
 
)
 
-
=
- 
Distancia de un punto a una recta. 
 + + = 
 
 
 + 
 + 
= 
 
 
=
+
+ +
 
Distancia entre dos rectas paralelas. 
 
 + + = 
 + + = 
 
+
+
=
+
+
=
 =
+
-
Cálculo de la medida angular entre dos rectas.
α
θ
β
)
 
)
 
 = b = a
 q = a - b
 q = a b
 q = 
α β
α β
+
-
 a = 2 b = 
 
q = 
#+
-
 
 q = = 
 
α α
 
)
 
)
 & = 
 
 
 q = 9 & # = -
 
Editorial
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GEOMETRÍA 10
 
)
 = 
)
 & # = -
 
 
Rectas paralelas a los ejes de coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
)
 
 
)
 = 
)
 
 
)
 = 
 
 = = 
CIRCUNFERENCIA
 
 
 
Ecuación ordinaria de la circunferencia. 
 
 
 
C - + - = 
 
 
 
 
 
C - + - = 
 
Ecuación general de la circunferencia. 
 
 
C - + - = 
 
C + - - + + - = 
 - = - = 
 + - = 
 C + + + + = 
 
LA PARÁBOLA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10 nco de e e cicio
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)
 
)
 
 
 
 = 
Averigüe porque se cumple esta relación
 
 
 
 
 
 
+
 
 
-
 
 
 
 + 
 = 
- + + - = - -6 @
 
 - + + - = - - 
 
 - = - + - - - 
 
 - = - 
 
 - = - ! 
 
 
 
 
 
 y 
 
 
 
 y 
 
 = 
 
 
 = ! 
 
 
 
 
 
 2 
Editorial
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GEOMETRÍA 1
 
 
 1 
 
 x 
 
 
 
 
 
 - 
 
 
 
 
 
 + 
 = 
- + + - = - -
 
 - + + - = - - 
 
 - = - + - - - 
 
 - = - 
 
 - = - ! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 = ! 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
 
 1 
Editorial
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1 nco de e e cicio
EJERCICIOS RESUELTOS
 +
 + = 
 = = 
Resolución:
 
)
 + + = 
 =-
 
 
 
 
)
 + = 
 = 
 
=
+
= = + =
 
)
 
 + + = & = -
 ̀ = 
 
 = - 
 
 
 
Resolución:
 
 
- 
 = 
 
)
 = 
)
 
)
 
)
 = - 
=
- -
-
=
 =
-
-
=
-
 
-
=-c cm m & 9=
 ̀ 9= c m
 
 
 = = = 
 Resolución:
 
 
 
 = 
 
= - + - =
 
& =
 = ^ ^h h
` = 
 
 
 
 
Resolución:
 
 - + - = 
+ = 
Editorial
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GEOMETRÍA 
 
= = - + - =^ h
 
& = = = 
 ̀C - + - =^ h
 = = 
 = 
 
 
Resolución:
 = = 
& 
 
*
 
*
 =
-
-
=-
 
 
*
 - = - - 
 ̀ 
*
 + - 8 = 
 
 = - = 
 = 8 9
 Resolución:
8 9
 
 =
- -
-
=- 8
9
=
-
-
=
 # = -
& 
*
 = 
*
 & + = 9
& 
 
 
 ̀ 
 
 - = 
 
 9 
 
 Resolución:
θθ-
 - = 
 
 = 9 
 & = = = q
& = 
 9= & = 
 - = - 
 ̀ - - = 
8 = 
 = 
 
Resolución:
 
 
 
 
*
 = 
)
& #
 =
-
-
= & =-
 & = 
Editorial
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1 nco de e e cicio
 
*
 - = - - 
*
 + - = 
9 
 
 
 
Resolución:
 
 
 
 
)
 
)
& = =
-
-
=
 
 ̀
)
 - = - 
 
)
 - - = 
 
 
 - - 
 
 Resolución:
 
 
 
 
 
=
+ + -^ h
=
+ + -
 = 
 
=
-
- = 
 = 
 ̀ = 
 
 
 
 
 Resolución:
P
 P = 
 = & = = 
& = 
 ! P 
 
 = & = ̀ P = 
 
 
 
 
 - - = 
 Resolución:
 
 
 
C - + - = 
 
 -
 
-
 =
 
 C 
& =
- -
& = - 
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GEOMETRÍA 1
 C 
 - = - & = 
 ̀ C - + - = 
 
 
 = 8 
 
 Resolución:
8 
 
 
 P 
 = = 8 = 
 = & = = 
& = 8 = 
8= -
-
=
 
 - = - ̀ - - = 
 - 9 
 9 
 
+ = + 
 
Resolución:
θ
θ
 9
 
 
 9
C
 C + + - 9 = 
 
 = = 
 
& = 
 9=
+
+
=
 = 9
 & = 9 9 & = 
 ̀ C + + - 9 = 
 
 
 
 = 
 
 Resolución:
 
 
 P - = - 
 P
 - = - 
& = - ̀ P - = - - 
 
 - = + - 8 = = 
 
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11 nco de e e cicio
 Resolución:
 
 = + 
 , 
& = 
 ̀ = = = 
EJERCICIOS PROPUESTOS 1
 
 -
 + - 8 = + + 8 = 
 + - 8 = + - 9 = 
 + + 9 = 
 
 
 - - = + - = 
 - - = + - 8 = 
 - - = 
 
 - 
 - + = + - = 
 - + = - + = 
 + - = 
 
 - + = 
 
8
 
 - 
 + - - = 
 - + + = 
 
 
 
 = + = 
8 8 
 + - = 
 
 
 8
 
8 
 8 - - 
 - - = 
9 
 -= + 
 = + = + 
 = - = + 
 = - 
 + + = 
 
 
 
 - + = + - = 
 + + = - - = 
 + - = 
 
 + - + 8 = 
 + + = 
8
 
 - 
 - + = + - = 
 - + = + - = 
 - + = 
 
 
 + - = 
 + + = + + = 
 + + = + + = 
 + - = 
Editorial
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GEOMETRÍA 11
 
 + - 
 
 
 + + = + + = 
 + - = + - = 
 + - = 
 
 
 + - + - + + + 9 = 
 
 -
 = - = 
 = - = - 
 = 
 
 - 
 - + = 
 + - 9 = + + = 
 + - = + - = 
 - - = 
 π 
 
 - + = - - = 
 - + = + - = 
 - + = 
8 
 = 
α
α
α
 - + - = 
 + - + = 
 - + - = 
 - + - = 
 = + = 
9 T 
 
 + = + = 
 - = - = 
 - = 
 
 
 - + = 
 - - = - 8 - = 
 - - 9 = + - = 
 + - = 
 + + = 
 
 
 + - 9 = - - = 
 - + = - + = 
 + - = 
 
 
 - + = 
8
9
 
 
 
 -
 -
 
 + - - = 
Editorial
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112 nco de e e cicio
 -
 -
 -
 
 - = - =
-
 + =
+
 - =
+
 + = 
C
l
a
v
e
s 
 
 
 
 
 
 
 8 
 9 
 
 
 
 
 
 
8
9
	Blank Page