Geometria Moderna: Circunferência e Cíclicos

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Unidad 2. Geometría Moderna 1 Circunferencia y cuadrilateros cíclicos
Cuadriláteros
Por tres puntos no alineados, pasa siempre una circunferencia. En efecto, si tenemos tres puntos A, B y
C en el plano, éstos pueden ser considerados como vértices de un triángulo, las mediatrices de sus lados
se cortan en el circuncentro que es el centro del círculo que pasa por A, B y C.
Cuatro puntos tomados al azar no se encuentran por lo general sobre una circunferencia. Cuando cuatro
puntos (o más) se encuentran sobre una circunferencia decimos que son concíclicos (o más brevemente
cíclicos). Un polígono se dirá inscrito en una circunferencia si sus vértices están sobre una circunferencia,
y el círculo se dice circunscrito al polígono. También diremos que el polígono es cíclico.
Diremos que dos lados de un cuadrilátero son adyacentes o bien lados opuestos, de acuerdo a si tienen o no
un vértice común. Dos vértices son vértices adyacentes o bien vértices opuestos dependiendo si pertenecen
a un mismo lado o no. Las rectas que unen vértices opuestos se llamarán diagonales. Por ejemplo, en el
cuadrilátero ABCD, AB, BC, CD, DA son los lados y AC, BD las diagonales
Para un cuadrilátero ABCD podemos, además de ver ángulos en A, en B, en C, y en D considerar otros
ocho ángulos, que se forman con los lados del cuadrilátero y las diagonales AC y BD, que denotaremos
por a,b,c,d,e,f,g,h
Si el cuadrilátero es cíclico se tiene:
1. a=d
2. b=g
3. c=f
4. e=h
5. ∠ A+ ∠ C = 180 pues
∠ A = ∠ BAD =
1
2
∠ BOD
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∠ C = ∠ DCB =
1
2
∠ DOB
Por lo tanto
∠ A+ ∠ C = ∠ BAD + ∠ DCB =
1
2
∠ BOD +
1
2
∠ DOB = 180o
6. ∠ B + ∠ D = 180
Teorema 1. El cuadrilátero ABCD es cíclico si y sólo si
AC ·BD = AB · CD +BC ·AD
Demostración. Prolongamos el lado BC hasta O
Si suponemos que el cuadrilátero ABCD es cíclico entonces
α = ∠ DAC = ∠ CBD
β = ∠ ACD = ∠ ABD
γ = ∠ ADC = ∠ ABO
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Colocamos O de tal manera que γ = ∠ OAB = ∠ CAD
Los triángulos OAB y ACD son semejantes, se tiene entonces que
AB
AD
=
OB
CD
⇒ AB · CD
AD
= OB (1)
Por otro lado los triángulos OAC y BAD son semejantes
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de manera que
OC
BD
=
AB
AD
⇒ AC ·BD
AD
= OC (2)
Si el cuadrilátero ABCD es cíclico entonces
OC = OB +BC
utilizando (1) y (2) tenemos que
OC = OB +BC ⇒ AC ·BD
AD
=
AB · CD
AD
+BC ⇒ AC ·BD = AB · CD +BC ·AD
Para el regreso necesitamos un ejercicio previo
Ejercicio Demuestre que en el cuadrilátero ABCD, si los triángulos ABC y AED son semejantes entonces
también lo son los triángulos ABE y ACD
Solución Si los triángulos ABC y AED son semejantes entonces
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AB
AE
=
AC
AD
=
BC
DE
⇒ BC ·AD = AC ·DE
de la última igualdad tenemos
AC
AD
=
BC
DE
⇒ BC ·AD = AC ·DE (3)
También se tiene
AB
AE
=
AC
AD
⇒ AC
AB
=
AD
AE
Esto quiere decir que los lados AC y AB son proporcionales y también los lados AD y AE y como
los ángulos ∠ DAC y ∠ EAB son iguales
entonces los triángulos ADC y AEB son semejantes y por lo tanto
AB
AC
=
EB
DC
⇒ AB ·DC = EB ·AC (4)
Sumamos (3) y (4) y se tiene
BC ·AD +AB ·DC = AC ·DE + EB ·AC = AC[DE + EB]
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Ahora bien según la �gura
DE + EB ≥ BD
Si el punto E cae en la diagonal DB entonces DE + EB = BD por lo que
BC ·AD +AB ·DC = AC ·DE + EB ·AC = AC[DE + EB] = AC ·DB
Además el ángulo ∠ ADE = ∠ ADB = ∠ BCA, y de la semejanza de los triángulos AEB y ADC
se tiene
∠ ABE = ∠ ACD, es decir, que los ángulos entre diagonales y lados opuestos son iguales y, por lo
tanto, el cuadrilátero ABCD es cíclico
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