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Unidad 2. Geometría Moderna 1 Circunferencia y cuadrilateros cíclicos Cuadriláteros cíclicos Teorema 1. Si dos cuerdas de un círculo se intersecan sobre la circunferencia, el ángulo entre ellas, llamado ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo formado por los radios que llegan a los otros extremos de las cuerdas, llamado ángulo central. Es decir, un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central correspondiente. Corolario 1. Si dos pares de cuerdas que se intersecan sobre la circunferencia subtienden el mismo arco, entonces forman ángulos iguales. Cuadriláteros cíclicos Por tres puntos no alineados, pasa siempre una circunferencia. En efecto, si tenemos tres puntos A, B y C en el plano, éstos pueden ser considerados como vértices de un triángulo, las mediatrices de sus lados se cortan en el circuncentro que es el centro del círculo que pasa por A, B y C. Cuatro puntos tomados al azar no se encuentran por lo general sobre una circunferencia. Cuando cuatro puntos (o más) se encuentran sobre una circunferencia decimos que son concíclicos (o más brevemente cíclicos). Un polígono se dirá inscrito en una circunferencia si sus vértices están sobre una circunferencia, y el círculo se dice circunscrito al polígono. También diremos que el polígono es cíclico. Diremos que dos lados de un cuadrilátero son adyacentes o bien lados opuestos, de acuerdo a si tienen o no un vértice común. Dos vértices son vértices adyacentes o bien vértices opuestos dependiendo si pertenecen a un mismo lado o no. Las rectas que unen vértices opuestos se llamarán diagonales. Por ejemplo, en el cuadrilátero ABCD, AB, BC, CD, DA son los lados y AC, BD las diagonales Facultad de Ciencias UNAM Geometría Moderna I Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 1 Unidad 2. Geometría Moderna 1 Circunferencia y cuadrilateros cíclicos Para un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia podemos, además de ver ángulos en A, en B, en C, y en D considerar otros ocho ángulos, que se forman con los lados del cuadrilátero y las diagonales AC y BD, que denotaremos por a,b,c,d,e,f,g,h Si el cuadrilátero es cíclico se tiene: 1. a=d 2. b=g 3. c=f 4. e=h 5. ∠ A+ ∠ C = 180 pues ∠ A = ∠ BAD = 1 2 ∠ BOD ∠ C = ∠ DCB = 1 2 ∠ DOB Por lo tanto ∠ A+ ∠ C = ∠ BAD + ∠ DCB = 1 2 ∠ BOD + 1 2 ∠ DOB = 180o 6. ∠ B + ∠ D = 180 Corolario 2. Un cuadrilátero puede inscribirse en un círculo si y sólo si los ángulos entre cada una de las diagonales y dos de los lados opuestos son iguales. Demostración. Supongamos que en el cuadrilátero PQRS de la �gura ∠ PQS = ∠ PRS; entonces, en el circuncírculo del triángulo 4 PQR deberá estar el punto S, pues es el único punto sobre la línea RS que Facultad de Ciencias UNAM Geometría Moderna I Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 2 Unidad 2. Geometría Moderna 1 Circunferencia y cuadrilateros cíclicos subtiende al arco QR de dicho circuncírculo, ya que, por ser semejantes los triángulos 4 POQ y 4 SOR, ∠ RPQ = ∠ RSQ. Se dice que los puntos P, Q, R y S son concíclicos o que son los vértices de un cuadrilátero cíclico. Teorema 2. El cuadrilátero ABCD es cíclico si y sólo si AC ·BD = AB · CD +BC ·AD Demostración. Prolongamos el lado BC hasta O Si suponemos que el cuadrilátero ABCD es cíclico entonces α = ∠ DAC = ∠ CBD β = ∠ ACD = ∠ ABD γ = ∠ ADC = ∠ ABO Facultad de Ciencias UNAM Geometría Moderna I Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 3 Unidad 2. Geometría Moderna 1 Circunferencia y cuadrilateros cíclicos Colocamos O de tal manera que γ = ∠ OAB = ∠ CAD Los triángulos OAB y ACD son semejantes, se tiene entonces que AB AD = OB CD ⇒ AB · CD AD = OB (1) Por otro lado los triángulos OAC y BAD son semejantes Facultad de Ciencias UNAM Geometría Moderna I Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 4 Unidad 2. Geometría Moderna 1 Circunferencia y cuadrilateros cíclicos de manera que OC BD = AB AD ⇒ AC ·BD AD = OC (2) Si el cuadrilátero ABCD es cíclico entonces OC = OB +BC utilizando (3) y (2) tenemos que OC = OB +BC ⇒ AC ·BD AD = AB · CD AD +BC ⇒ AC ·BD = AB · CD +BC ·AD Para el regreso suponemos que en un cuadrilátero ABCD se cumple AC ·BD = AB · CD +BC ·AD Junto al lado AD colocamos un punto D' tal que ∠ CAD′ = ∠ BAD = α + α′ y ∠ ACD′ = ∠ ABD = β Tenemos que los triángulos 4 ABD y 4 ACD′ son semejantes por tanto AB AC = AD AD′ = BD CD′ de la primera y la última proporción obtenemos CD′ = BD ·AC AB (3) Facultad de Ciencias UNAM Geometría Moderna I Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 5 Unidad 2. Geometría Moderna 1 Circunferencia y cuadrilateros cíclicos también se tiene AB AC = AD AD′ ⇒ AB AD = AC AD′ y como ∠ BAC = ∠ DAD′ entonces los triángulos 4 ABC y 4 ADD′ son semejantes, por lo que AB AD = AC AD′ = BC DD′ ⇒ DD′ = BC ·AD AB de donde CD +DD′ = CD + BC ·AD AB = AB · CD +BC ·AD AB = AC ·BD AB = CD′ la igualdad de la expresión anterior sólo es posible si el punto D esta sobre CD′. Por lo tanto ∠ ACD = ∠ ACD′ = ∠ ABD = β lo que signi�ca que el cuadrilátero ABCD es cíclico. Facultad de Ciencias UNAM Geometría Moderna I Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 6
