geometria-clemens

Esta es una vista previa del archivo. Inicie sesión para ver el archivo original

GEOMETRIA
CON APLICACIONES Y SOLUCION DE PROBLEMAS
GEOMETRIA
CON APLICACIONES Y SOLUCION DE PROBLEMAS
STANLEY R. CLEMENS 
PHARES G. ODAFFER
Illinois State university
THOMAS J. COONEY
university o f Georgia
versión en español de 
Adúison-Wesley iberoamericana
con la colaboración de
Manuel López Mateos
Universidad Nacional Autónoma de México
^ Addison Wesley Longman
Argentina • Chile • Costa Rica • Colombia • Ecuador • España • Estados Umdos 
Mexico • Peru • Puerto Rico • Uruguay • Venezuela
Versión en español de la obra titulada Geometry with Applications and Problem Solving, de
S. R. Clemens, P. G. O'Daffer y T. J. Cooney, publicada originalmente en inglés por 
Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading, Massachusetts, E.U.A.
© 1984 por Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
Esta edición en español es la única autorizada
Cuarta reimpresión, abril 1998
Créditos de las fotografías
Geometria generada por computador
1. Ramtek Corporation
2. NASA/Jet Propulsion Laboratory
3. National Center for Atmospheric Research/High 
Altitude Observatory/NCAR SM M /C/T: Solar 
Maximum Mission (NASA/GSFC) 
coronagraph/Polarim eter Experiment
4. Ramtek Corporation,/NASA/Jet Propulsion Laboratory
5. Brookhaven National Laboratory/New York University 
Medical Center
6. Lawrence Livermore National Laboratory
7. M atrix Instruments Inc.
8. M atrix Instruments Inc.
9. M atrix Instruments Inc.
Geometria de un chip de silicio
1. Intel Corporation
2. Intel Corporation
3. National Semiconductor Corporation
4. Bell Laboratories
5. National Semiconductor Corporation
6. National Semiconductor Corporation
7. Intel Corporation
8. Intel Corporation
9. Intel Corporation
10. Bell Laboratories
Carreras de computación
1. NCR Corporation
2. Alex Cameron/Tandem Computers, Inc.
3. Alex Cameron/Tandem Computers, Inc.
4. Prime Computer, Inc.
5. Bell Helicopter,Textron
La geometría y computadores en la industria
1. General M otors Corporation
2. TRW, Inc.
3. California Com puter Products, Inc. (CalComp)
4. Anacomp, Inc.
5. Tandy C orporation—TRS-80™. TRS-80 es una marca 
registrada de Radio Shack Division of Tandy Corporate
6. Sperry-Univac, una division o f Sperry Corpöralion
7. Lawrence Livermore National Laboratory
8. Engineered Systems, Inc., Om aha, Neb.
9. Alex Cameron/Tandem Computers, Inc.
10. National Semiconductor C orporation
11. Alex Cameron Tandem Computers, Inc.
12. Copyright Peter Menzel
13. Triiog
© 1989 por Addison-Wesley Iberoamericana, S. A.
Wilmington, Delaware, E.U.Á.
© 1998 por Addison Wesley Longm an de México, S.A. de C.V.
Boulevard de Las Cataratas núm. 3 
Jardines del Pedregal 
01900, México, D.F.
Reservados todos los derechos. Ni todo el libro ni parte de él pueden ser reproducidos, 
archivados o transmitidos en forma alguna o mediante algún sistema electrónico, mecánico 
de fotorreproducción, memoria o cualquier otro, sin permiso por escrito del editor.
Im preso en México - Printed in México 
ISBN 968 444 306 4
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 - DO - 89 9 0 7 6 5 4 3 2 1 8
^ r ' . ' c ' x . .
[vl
hfcbrea de los autores
Stanley R. Clemens es profesor asociado de m atem áticas en la Illinois State 
University. Se graduó en bachillerato y m aestría en el Bluffton College y la Indiana 
U niversity, respectivamente, y realizó el doctorado en m atem áticas en la University 
of N orth Carolina. La obra del doctor Clemens sobre geom etría com prende varios 
artículos, adem ás de los libros Laboratory Investigations in Geometry y Geometry:
An Investigative Approach, am bos publicados po r Addison-W esley Publishing 
Com pany, Inc.
Phares G. O ’D affer es profesor de m atem áticas en la Illinois State University. Se 
graduó en bachillerato y m aestría en esa m isma universidad, y realizó el doctorado 
en enseñanza de las m atem áticas en la University of Illinois. Ex profesor de 
m atem áticas de grado preuniversitario, el doctor O ’Daffer es au to r y coau to r de 
num erosos artículos y libros de texto, incluyendo Investigations in Geometry y 
Geometry: An Investigative Approach, publicados por Addison-W esley Publishing 
Com pany, Inc. Tam bién ha sido presidente del Illinois Council of Teachers of 
M athem athics.
Thom as J . Cooney es profesor de enseñanza de las m atem áticas en la University of 
G eorgia. Ex profesor de geom etría de grado preuniversitario, se graduó en 
bachillerato y m aestría en la University of Toledo, y realizó el doctorado en 
enseñanza de las m atem áticas en la University of Illinois. El doctor C ooney ha 
escrito varios artículos y libros de texto sobre enseñanza de las m atem áticas y fue 
presidente de la School Science and M athem atics Association.
2S0075
prefacio
Geometría con aplicaciones y solución de problemas es un texto que destaca la relación 
estrecha que existe entre los conceptos geométricos y sus aplicaciones en el m undo 
que nos rodea. Los autores realizaron esta obra basándose en las siguientes ideas:
La geometría surge a partir de la observación de cosas simples y relaciones 
comunes. En este libro se tra tarán teorem as —conclusiones básicas- m otivados 
p o r algún problem a físico, para después aplicarlos a dicho problem a y 
solucionarlo. La m ayoría de las lecciones están estructuradas alrededor de esos 
teorem as y presentan casos de la relación que se analiza favoreciendo el desarrollo 
del razonam iento inductivo.
La capacidad de redactar pruebas debe desarrollarse empezando con las 
situaciones más sencillas. El lector em pezará a desarro llar su capacidad de prueba 
con problem as cortos, sencillos y que contienen un solo concepto. Estos llevan 
gradualm ente al estudiante a pruebas más com plejas en los capítulos posteriores.
Los estudiantes de geometría deben desarrollar su capacidad en el marco del 
pensamiento crítico, el razonamiento lógico y la resolución de problemas. La 
resolución de problem as es uno de los aspectos fundam entales de esta obra. A cada 
conjunto de problem as se agregan ejercicios y soluciones. Estas oportunidades 
p a ra experim entar y aplicar el razonam iento inductivo son im portantes para el 
desarrollo creativo.
El estudio de la geometría no debe aislarse del mundo ni de otras áreas de las 
matemáticas. El lector encontrará páginas especialmente interesantes sobre los 
siguientes temas: técnicas para la solución de problem as, repaso de álgebra, la 
geometría en nuestro m undo (aplicaciones de la geom etría en diferentes áreas; 
gráficas con com putadores y pasatiempos), y un prim er capítulo en el que se hace 
una revisión prelim inar con ejemplos de la geom etría en el m undo, cóm o usarla en 
la solución de problem as y su papel en actividades recreativas.
Con la idea de que este texto resultara práctico para el estudio de la geometría, 
se incluyeron o tras características:
El lenguaje es breve pero preciso. H ay profusión de ilustraciones y fotografías.
Los ejercicios se clasificaron en tres niveles denom inados A, B y C, y van desde 
problem as num éricos sencillos hasta pruebas excitantes.
L a m ayor parte de los problem as im pares incluyen su respuesta.
Al final del libro se encuentran una lista de símbolos, un glosario de térm inos 
geométricos y listas de teorem as y postulados.
El resumen de cada capítulo prepara al lector para el exam en del mismo.
Los teorem as geométricos se cubren en forma to tal, lo que perm ite al lector 
abo rdar o tros tem as de m atem áticas con cierta confianza.
En Geometría con aplicaciones y solución de problemas se orienta al lector para 
el éxito, pero no sin desafíos. Al concluir este curso, el estudiante verá que el 
m undo físico resulta m ás com prensible y que la capacidad que desarrolló en el 
estudio de la geom etría es útil en la solución de problemas.
Stanley R. Clemens 
Phares G. O ’Daffer
Thom as J. Cooney
[vii]
índice general
i
USO de la geometría: Revisión preliminar 1
Definiciones y construcciones 8
1.1 Punto, recta , p lano y espac io 10
1.2 R e lac iones e n tre puntos, rec tas y p lanos 12
1.3 A lg u n a s fig u ra s geo m é tricas básicas 16
1.4 S egm en tos y ángu los ; co n g ru e n c ia y m ed ic ión 20
1.5 B ise c trice s de l segm en to y de l ángu lo 24
1.6 R ectas y p lanos pe rp e n d icu la re s 28
1.7 P o lígonos
C onceptos im p o rta n te s 36 R esum en 37 
E xam en 38
3 2 ,
Técn icas pa ra la so lu c ió n de p rob lem as 
D ibu je oe un d ia g ra m a 39
La ge o m e tría en nuestro m undo 
D iseño In te rio r: tese lados 40
2á fa Razonamiento en geometría 42
2.1 El p roceso de l razonam ien to inductivo 44
2.2 G ene ra lizac iones fa lsa s y co n tra e je m p lo s 48
2.3 D e sa rro llo de la g e o m e tría po r m e d io de l razonam ien to
deductivo 52
2.4 T ipos de p ro p o s ic io n e s «S i-Entonces» 56
2.5 R ec ip roca , in ve rsa y co n tra rre c ip ro c a . 60
2.6 E squem as de razonam ien to 64
2.7 P ostu lados de geom etría 68
2.8 A lgunos pos tu lados s o b re m ed ic ión 
C onceptos im p o rta n te s 76 R esum en 77 
Exam en 78
72
R epaso de á lg e b ra
La ge o m e tría en nuestro m undo Fotogra fía , lentes
79
80
.-y.
3
Triángulos y congruencia
vili Ind ice gene ra i
8 2
3.1 T riá n g u lo s congruen tes 84
3.2 P ostu lados s o b re la co n g ru e n c ia 90
3.3 P ruebas: uso de los pos tu lados sobre la cong ruenc ia 96
3.4 P ruebas: uso de d e fin ic io n e s 100
3.5 P ruebas: uso de postu lados y d e fin ic iones 104
3.6 Prueba de la co n g ru e n c ia de á n gu los y segm entos 110
3.7 P ruebas: so lape de tr iá n g u lo s 116
3.8 Pruebas: cadenas de congruenc ias 120
C onceptos im p o rta n te s 122 R esum en 123
Exam en 124
R esum en g loba l (Caps. 1 a 3) 125
La g e o m e tría en nuestro m undo
A rq u ite c tu ra : dom os geodés icos 126
Prueba de teoremas mediante propiedades básicas 128
4.1 Pasos p a ra la p rueba de un teo rem a 130
4.2 Uso de la p ro p ie d a d de sum a y res ta de igua les 138
4.3 Prueba de teo rem as: uso de su p le m e n to s y com p lem en tos 144
4.4 P rueba de teo rem as: uso de á n gu los ve rtica le s 150
4.5 P rueba de te o re m a s : uso de á n gu los ex te rio re s 154
4.6 U so de la p rueba in d ire c ta 158
C onceptos im p o rta n te s 164 R esum en 165
Exam en 166
T écn icas p a ra la so lu c ió n de p rob lem as H acer una tab la -l 167
¿ r Rectas y planos paralelos 168
5.1 D e fin ic iones bás icas 170
5.2 T eorem as sob re rec tas pa ra le la s 174
5.3 El pos tu lado de las rec tas pa ra le la s 180
5.4 M ás te o rem as sob re rec tas pa ra le la s 184
C onceptos im p o rta n te s 190 R esum en 191
Exam en 192
R epaso de á lg e b ra 193
La g e o m e tría en nuestro m undo M in e ra lo g ía : s im e tría 194
Ind ice genera l ix
Triángulos
196
1986 1 C la s ifica c ió n de los tr iá n g u lo s
. , , 202
6.2 T riá n g u lo s isósce les
6.3 M ed idas de los á n gu los de un tr iá n g u lo
6.4 El te o re m a de la co n g ru e n c ia LAA
6.5 El te o re m a de la co n g ru e n c ia de la h ipo tenusa y e l cateto
C onceptos im p o rta n te s 220 R esum en 221
Exam en 222
T écn icas p a ra la so lu c ió n -d e p rob lem as H acer una ta b la -ll 223
208
212
216
Más sobre triángulos
2 2 4
7.1 El te o re m a de P itágo ras
7.2 T riá n g u lo s espec ia les
7.3 T eorem as de la co n cu rre n c ia en tr iá n g u lo s
7.4 D es igua ldad de i tr iá n g u lo
7.5 D esigua ldades en un tr iá n g u lo
C onceptos im p o rtan tes 252 R esum en 253 
Exam en 254 
R esum en g lo b a l (Caps. 4 a 7)
La ge o m e tría en nuestro m undo G rá ficas p o r com pu tado r: 
d ise ñ o a s is tid o po r co m pu tado r
Cuadriláteros y polígonos
8.1 C u a d rilá te ro s
8.2 P a ra le log ram os
8.3 C u a d rilá te ro s que son p a ra le lo g ra m o s
8.4 El te o re m a de l segm en to m ed io
8.5 R ectángu los, rom bos y cuadrados
8.6 T rapec ios
8.7 Los á ngu los de un po lígono
C onceptos im p o rta n te s 296 R esum en 297 
Exam en 298
R epaso de á lgebra 
La geom etría en nuestro m undo
A rq u ite c tu ra : ei re c tá n g u lo áureo
226
232
236
244
248
255
256 
258
260
264
270
276
282^
288
292
299
300
r
x Ind ice gene ra l
9 Semejanza
9.1 P ropo rc iones
9.2 T eo rem a fundam en ta l de la p ro p o rc io n a lid a d
9.3 P o lígonos sem e jan tes
9.4 El pos tu lado de la sem e janza AAA
9.5 T riá n g u lo s rec tángu los y tr iá n g u lo s sem e jan tes
9.6 T eo rem as de la se m e janza LLL y LAL
9.7 Razones tr ig o n o m é trica s ; una ap lica c ió n de los tr iá n g u lo s
sem e jan tes
9.8 R azones tr ig o n o m é trica s de á n gu los espec ia les 
C onceptos im p o rta n te s 336 R esum en 337
Exam en 338
T écn icas pa ra la so luc ión de p rob lem as 
T ra b a ja r hac ia a trás
10 Círculos
10 .1 D e fin ic iones básicas
10.2 La m ed ic ión en g rados de los arcos
10.3 C uerdas y d is ta n c ia s desde el cen tro
10.4 P e rpend icu la res a las cue rdas
10.5 Tangen tes a los c írcu los
10.6 Tangen tes desde un pun to a un c írcu lo
10.7 M ed idas de á n gu los in sc rito s
10.8 A n g u lo s fo rm a d o s po r cue rdas
10.9 A n g u lo s y segm en tos fo rm a d o s po r tangen tes y secantes 
C onceptos im p o rta n te s 386 R esum en 387
Exam en 388 
R esum en g loba l (Caps. 8 a 10)
La g e o m e tría en nuestro m undo 
A g rim e n su ra : el teo d o lito
302
304
308
312
316
322
326
330
334
339
340
342
346
350
354
360
364
368
374
378
389
390
Ind ice g e n e ra l x¡
Area y perímetro
11.1 P ostu lados de l á rea
11.2 A rea de p a ra le lo g ra m o s
11.3 A reas de tr iá n g u lo s y tra p e c io s
11.4 A re a de po lígonos re g u la res
11.5 C om parac ión e n tre pe rím e tro s y á reas de po lígonos
sem e jan tes
11.6 La razón en tre la c ircu n fe re n c ia y el d iá m e tro de un c ircu lo
11.7 A re a de c írcu los
C onceptos im p o rta n te s 426 R esum en 427 
Exam en 428 
R epaso de á lg e b ra 
La ge o m e tría en nuestro m undo
G rá ficas p o r com pu tado r: tra n s fo rm a c io n e s
12I sólidos
12.1 P irám ides y p rism as
12.2 A re a de p rism as y p irá m id e s
12.3 V o lum en de p rism as
12.4 V o lum en de p irá m id e s
12.5 A re a y vo lu m e n de c ilin d ro s
12.6 A rea y vo lum en de conos
12.7 A re a y vo lum en de esfe ras
12.8 P o lied ros re g u la re s
C onceptos im p o rtan tes 468 R esum en 469 
Exam en 470 
T écn icas p a ra la so lu c ió n de p rob lem as 
H ágase un d ib u jo p rec iso 
La geom etría en nuestro m undo N avegación
392
394
398
402
408
412
416
420
429
430
432
434
440
444
448
452
456
460
464
471
472
xii Ind ice genera l
13 Transformaciones y simetría 474
13.1 R e flex iones sob re rec tas 476
13.2 Uso de las re flex iones sob re rec tas en la so luc ión
de p ro b le m a s 480
13.3 T ras lac iones
13.4 R otaciones
13.5 S im e tría 
C onceptos im p o rta n te s 498 R esum en 499
E xam en 500 
Técn icas p a ra la so lu c ió n de p rob lem as
Exam en de casos esp e c ia le s 501
484
488
494
14 Geometría de coordenadas 502
14.1 S is tem a de coo rdenadas ca rte s ia n a s 504
14.2 Punto
m ed io de un segm ento 508
14.3 La pend ien te de una rec ta 512
14.4 P end ien tes de rec tas p e rp e n d icu la re s y p a ra le la s 516
14.5 La fó rm u la de la d is ta n c ia 520
14.6 La ecuac ión de la rec ta 524
14.7 La ecuac ión de l c írc u lo 528
14.8 Uso de las coo rdenadas en la p ru e b a de te o rem as 532
14.9 T ra n s fo rm a c io ne s y g e o m e tría de coo rdenadas 536
C onceptos im p o rtan tes 538 R esum en 539
Exam en 540
R esum en g loba l (Caps. 11 a 14) 541
S ím bo los 542
T ab la de cuad rados y ra íces cu a d ra d a s 543
P ostu lados y te o rem as 544
G lo sa rio 553
R espuestas se lecc ionadas 559
Ind ice de m a te rias 593
R econoc im ien tos 600
identificación de figuras geométricas 
en la naturaleza
Es posible que haya sido la naturaleza la que proporcionó al ser hum ano las 
prim eras nociones de geometría. H ay m uchos ejemplos de formas geométricas en el 
m undo físico. Con el paso de los siglos, el hom bre empezó a clasificar esas formas, 
les dio nom bre y creó definiciones para describirlas.
1. N óm brese po r lo m enos una figura geom étrica sugerida po r las fotografías.
2. Los triángulos, cuadriláteros, pentágonos y hexágonos son ejemplos de las 
figuras geométricas llam adas polígonos. Escríbase la letra de cada fotografía 
que sugiera un polígono y dése su nombre.
3. Con frecuencia se busca la relación que existe entre dos o más figuras 
geométricas. Se dice que tres puntos son colineales (están en la m isma recta), 
que dos rectas son paralelas (nunca se tocan), o que dos ángulos son 
congruentes (tienen el mismo tam año). Escríbase la letra de cada fotografía que 
sugiera una relación y dése su nom bre.
4. D escríbase por lo menos un objeto natural que no aparezca en las fotos y que 
sugiera una figura geom étrica o una relación.
2
Observación de figuras geométricas 
en nuestro mundo
En todas las épocas el hom bre ha utilizado las sencillas form as geométricas que 
sugiere la naturaleza para la creación de objetos útiles e interesantes. D ebido a que 
estam os rodeados de objetos, es comprensible la im portancia que tiene poder 
hablar sobre ellos. Al com unicarnos con o tras personas, para describir el medio en 
que vivimos, necesitamos un lenguaje de geometría.
1. N óm brese po r lo m enos una figura geométrica o relación sugerida por cada 
fotografía.
2. C om o ilustra el balón de fútbol, el m undo de los deportes es rico en ejemplos
de figuras geométricas. Dense otros ejemplos de «geom etría en los deportes».
3. El dom o geodésico es una m uestra de que el m undo del diseño y la
arquitectura están profundam ente im buidos de figuras geométricas. El lector 
puede encontrar ejemplos de «geom etría en la arquitectura» o de «geometría 
en el diseño» en su propia com unidad, en revistas o en libros de consulta.
4. Elabórese un álbum de recortes (con fotos o dibujos tom ados de revistas) con 
el títu lo «La geom etría en nuestro mundo».
3
uso de la geometría en la resolución 
de problemas
El estudio de la geom etría proporciona m uchas técnicas útiles para la solución de 
problemas. Las relaciones entre los conceptos geométricos, llam ados teoremas, son 
la base de estas técnicas. C ada uno de los problem as siguientes se resuelve 
em pleando uno o m ás de los teorem as que se estudiarán en este libro.
Problema 1 Solución
Con una escuadra de carpintero u o tro objeto 
con una «esquina cuadrada», encuéntrese el 
centro del tablero de una m esa redonda grande, 
de m anera que se pueda construir una base 
adecuada para ella.
1. Dibújese esta «mesa-de billar» y hágase un 
d iagram a exacto que muestre el pun to de la 
banda en el cual debe pegar la bola blanca 
p ara que rebote y golpee a la bola roja.
2. Con ayuda de un objeto circular, trácese un 
círculo en un papel. Ahora, con un m étodo 
sim ilar al que se usó en el problem a 2, 
encuéntrese el centro del círculo.
Las líneas de co lor cruzan el punto m edio de las 
dos cuerdas del circulo.
¿Hacia qué punto de la banda debe lanzarse la 
bola blanca para que rebote y golpee a la roja?
Problema 2
Piense en una imagen especular 
de la bola roja. La bola blanca 
debe lanzarse hacia el punto P.
Solución
Problema 3 Solución 4 pies
Si sólo se dispone de una cuerda y una cinta de 
m edir, ¿cómo podría m arcarse una esquina 
cuadrada para un cam po de juego?
Se hacen 3 nudos en la cuerda a intervalos de 3, 
4 y 5 pies y se coloca com o se m uestra en la 
figura.
Solución
¿Cómo podría dividirse una vara pequeña en 5 
trozos de igual longitud, de m anera que sirvan 
com o postes para la vía de un tren a escala?
1. Con estos segmentos y un compás 
construyase un ángulo recto.
2. En una cuerda háganse tres nudos separados
3, 4 y 5 dm y utilícense para form ar un 
ángulo recto.
3. Córtese una tira de cartulina y empléese el m étodo del problem a 4 para 
dividirla en 7 partes de la misma longitud.
4. Búsquese una forma distinta para dividir una tira de cartulina en cinco partes 
iguales.
Se pone la vara en diagonal sobre una hoja de 
cuaderno rayada y se m arcan las líneas como 
m uestra la figura.
3 cm
4 cm
problema 4
Uso de la geometría como pasatiempo
M uchos conceptos de la geom etría pueden dar origen a escenas hum orísticas. Los 
rom pecabezas geom étricos pueden resultar juegos interesantes que ponen a prueba 
la inteligencia. Esperam os que el lector encuentre alguna diversión en la geometría.
O bsérvense estas «geocaricaturas».
i Reconózcanlo' 
ustedes dos nc 
tienen muncho 
c o m ú n . ^
Los «geogarabatos» tam bién son divertidos.
P
E
R
P
DICULAR
s
ín t e r
c
c
i
o'
n
T R IA N G U LO P U N T *
ANGUZ.0 RECTAS PARA lUs
1. Créese una «geocaricatura» propia.
2. Diséñese un «geogarabato» original. P a ra esto, pueden emplearse palabras 
com o «ángulo recto», «recta», «círculo», «bisecar» o «cuadrado».
Te veré en la 
intersección
\ /Te opuesto 
diez contra 
cuatro que no
A hora, inténtese trab a ja r con el 
rom pecabezas TANG RAM
Dibújese este cuadrado y córtese en 7 piezas 
com o se m uestra en la ilustración. Estas piezas 
son las del famoso rom pecabezas chino 
Tangram , que, según se dice, tiene unos 4000 
años de antigüedad.
7 1
x f '\ t i ' ' <
X ! y
/ \ :V' N // N /
Rompecabezas 1
¿Cóm o deben colocarse las 7 piezas del Tangram 
para form ar la figura siguiente?
¿Cóm o deben colocarse las 7 piezas del Tangram para form ar las figuras que 
aparecen abajo? En algunos casos se dan indicaciones con líneas de puntos. 
Dibújense las soluciones.
Solución
7. H ágase una figura con las 7 piezas del Tangram y pásese a algún com pañero 
p a ra que la resuelva.
C A P I T U L O
1.1 P u n to , re c ta , p la n o y e s p a c io 10
1 .2 R e la c io n e s e n tre p u n to s , re c ta s y p la n o s 12
1.3 A lg u n a s f ig u ra s g e o m é tr ic a s b á s ic a s 16
1.4 S e g m e n to s y á n g u lo s ; c o n g ru e n c ia
y m e d ic ió n 20
1.5 B is e c t r ic e s d e l s e g m e n to y d e l á n g u lo 24
1.6 R e c ta s y p la n o s p e rp e n d ic u la re s 28
1.7 P o líg o n o s 32
C o n c e p to s im p o r ta n te s 36 R e s u m e n 37
Técnicas para la solución de problem as
D ib u jo d e un d ia g ra m a 39
La geom etría en nuestro mundo
D is e ñ o in te r io r : T e s e la d o s 40
E x a m e n 38
Definiciones 
y construcciones
10 D efin ic iones y cons trucc iones
1.1 Punto, recta, plano y espacio
¿C ó m o p o d r ía n d esc rib irse u n p u n to , u n a rec ta , u n p la n o y el 
espacio? E s to s c u a tro c o n c e p to s so n m u y im p o r ta n te s en el e s tu d io 
de
la g eo m etría . A q u í n o se d e fin irán el p u n to , la re c ta ni el p lan o , 
s in o q u e se o b se rv a rá n o b je to s q u e los sugieren .
U n p u n to c o m o p a r te 
d e u n o b je to físico
U n p u n to c o m o la 
m a rc a m ás p e q u eñ a 
q u e se p u e d e d ib u ja r
U n p u n to es u n a idea 
o a b s tra c c ió n . U n 
p u n to n o pu ed e 
defin irse c o n té rm in o s 
m á s sencillos, es un 
té rm in o indefin ido .
U n a re c ta c o m o p a rte 
d e u n a s itu a c ió n física
U n a re c ta c o m o la 
lín e a m ás d e lg ad a 
q u e se p u ed e d ib u ja r
U n a re c ta es u n a 
id ea o ab s tracc ió n . 
C o m o n o p u ed e 
defin irse co n té rm in o s 
m ás sencillos, es un 
té rm in o indefin ido .
P I N T O
ubicación^ sin long itud .
ia jié í& ll : '¡rí ; s'alfffffi
1.1 Punto, recta , p lano y e spac io 11
U n p la n o com o 
p a r te de u n o b je to 
físico
U n p la n o c o m o el 
c o r te m á s d e lg ad o 
posib le
U n a p la n o es u n a idea
o a b s tra c c ió n . D e b id o 
a q u e n o p u e d e defin irse 
co n té rm in o s m ás sencillos,
H ay p u n to s so b re , 
d e n tro y fu e ra del 
g lobo
EJERCICIOS
E l e sp ac io c o m o lo 
q u e q u e d a a l 
d e s tru ir el g lo b o
1. Indíquese si la porción en color de cada figura 
sugiere un punto, una recta, un plano o el espacio.
Definición 1.1
El espacio es el conjunto de 
todos los puntos.
a.
2. M enciónense cinco objetos cuya forma 
sugiera un punto en alguna de sus 
partes. Identifiqúese la parte específica 
de cada objeto.
3. M enciónense tres objetos o sitüaciones 
físicas que ilustren la idea de recta o de 
una parte de ella.
4. M enciónense cinco objetos cuyas formas 
sugieran un plano en alguna de sus 
partes.
5. M enciónense tres objetos, com o el 
globo, que sugieran la idea de espacio.
E l e sp ac io es u n a 
id ea o ab s tracc ió n .
12 D e fin ic iones y construcc iones
1.2 Relaciones entre puntos, 
rectas y planos
P a r a re p re se n ta r p u n to s , se d ib u ja n p e q u e ñ a s m a rc a s e n u n p ap e l. L as 
le tra s m a y ú sc u la s a l la d o d e c a d a p u n to so n su s n o m b res ; as í, se llam an 
pun to A , pun to B y p u n to C.
U n a re c ta p u ed e c o n s id e ra rse c o m o u n c o n ju n to de p u n to s . A l d a r 
n o m b re a u n p a r d e ellos, se p u ed e lla m a r a la re c ta e n fu n c ió n de esos 
d o s p u n to s . P o r e jem p lo , los p u n to s A y B e s tá n en la rec ta , p o r lo q u e 
se lla m a recta A B ; se su p o n e q u e p o r los p u n to s A y B só lo p a s a u n a 
rec ta . O tra m a n e ra d e d ec ir e s to es: dos pun tos determ inan una recta. E n 
o casio n es, se n o m b ra u n a re c ta co n u n a le tra m in ú scu la . E n este caso , 
la re c ta A B ta m b ié n p o d r ía llam arse rec ta f ,.
U n p la n o ta m b ié n p u e d e co n ceb irse co m o u n c o n ju n to de p u n to s . Se 
d es ig n a c o n u n a so la le tra o d a n d o n o m b re a tres de su s p u n to s q u e 
n o es tén e n u n a rec ta . Así, se le lla m a plano N o plano A B C .
e s tá n en el p la n o N .
Se su p o n e q u e só lo u n p la n o co n tien e e s to s tre s p u n to s . Se d ice en to n ces 
q u e tre s p u n to s q u e n o e s tá n en u n a m ism a re c ta d e te rm in a n a l p lan o .
Al c o n s id e ra r la re c ta l c o m o u n c o n ju n to de p u n to s , p u ed e d ecirse 
q u e el p u n to A está en la re c ta £, y q u e el p u n to A es un elem ento de 
la re c ta l p a ra d e sc rib ir la m ism a s itu ac ió n . T a m b ié n p u ed e d ecirse q u e 
la rec ta t con tiene a l pun to A .
Si A , B y C so n p u n to s de la re c ta l , c o m o se m u e s tra en la figura 
sig u ien te , se d ice q u e el p u n to B e s tá en tre lo s p u n to s A y C. Si A , B y 
C n o e s tá n en la m ism a rec ta , n o se u sa la p a la b ra en tre p a ra d esc rib ir 
su re lac ión .
A • • B
• C
Se escribe: M
recta AB
o
recta l
L os p u n to s A , B y C
A
El p u n to B e s tá e n tre 
los p u n to s A y C.
1.2 R e lac iones e n tre pun tos, rec tas y p lanos 13
A lg u n as d e las re lac io n es b á s ica s de lo s p u n to s y las rec ta s en un 
p la n o se d esc rib en a c o n tin u a c ió n c o n m o d e lo s , s ím b o lo s y defin iciones.
Modelo físico, Descripción, D efinición
fig u ra símbolo
i . m n . n n f i i
í [' 
m | (
== u w w ¡ u " U i
A , B y C so n colineales. A , 
D y C so n no colineales.
A , B , C y D e s tá n e n el 
m ism o p lan o ; so n p u n to s 
coplanares. L o s p u n to s 
q u e , co m o c o n ju n to , n o 
e s tá n e n el m ism o p lan o , 
so n no coplanares.
L as rec ta s t y m se 
in tersecan en e l p u n to A.
L a s rec ta s t y m n o tienen 
u n p u n to en co m ú n , t es 
paralela a m.
Se escribe: i || m
L as rec ta s p, q y r tienen 
e x a c ta m en te u n p u n to en 
c o m ú n . S o n rectas 
concurrentes.
Definición 1.2
Los puntos colineales son
puntos que están en la misma 
recta.
Definición 1.3
Los puntos coplanares son
puntos que se encuentran en 
un mismo plano.
Definición 1.4
Las rectas intersecantes son
dos rectas con un punto en 
común.
Definición 1.5
Las rectas paralelas son
rectas que están en el mismo 
plano y no se intersecan.
Definición 1.6
Las rectas concurrentes son
tres o m ás rectas coplanares 
que tienen un punto en común.
14 D efin ic iones y cons trucc iones
EJERCICIOS_____________________
A.
1. Dibújense tres puntos que sean colineales.
2. Trácese el grupo de puntos que se * 
m uestra a continuación y, con una
regla, dibújese una recta a través de 
grupos de tres o m ás puntos colineales.
Los ejercicios 3, 4 y 5 se refieren a la figura de la derecha.
3. N óm brense conjuntos de tres puntos
colineales.
4. N óm brense conjuntos de tres puntos 
no colineales.
5. N óm brense cuatro puntos entre los 
cuales no haya tres que sean colineales.
Los ejercicios 6, 7 y 8 se refieren a la figura de la derecha. 
(Si las rectas parecen paralelas, puede suponerse que lo son.)
6. Enum érense tres pares de rectas r
intersecantes.
7. Enum érense tres rectas concurrentes.
8. Enum érense todos los pares de rectas 
paralelas.
9. D ibújense cuatro rectas concurrentes.
ACTIVIDADES
(Ejercicio 2)
(Ejercicios 6-8)
Los d iseños conoc idos com o h ilo ra m a s son 
c re a c io n e s in te resan tes e labo radas en su to ta lidad 
con lineas rec tas de h ilo o cuerda . Estos d iseños 
pueden s e r s im p le s o m uy com p licados.
Para te n e r una idea de cóm o se hacen los 
h ilo ra m a s , se tra za rá un ángu lo y se m arcará 
com o se m ues tra a con tinuac ión . Con un bo líg ra fo 
de pun ta fin a o un láp iz , se unen los puntos que 
tienen el m ism o núm ero.
1.2 R e lac iones en tre puntos, rec tas y p lanos 15
B.
10. Es im portante observar que tres puntos pueden ser 
colineaies aunque las rectas no estén marcadas.
M enciónense grupos de tres puntos colineaies de la figura 
siguiente.
11. A unque no se haya dibujado, hay una recta que pasa por 
cada p ar de puntos. Cítense dos de estas rectas en la figura.
12. Enum érense tres rectas que serían paralelas a B ? si 
estuvieran dibujadas.
13. M enciónense tres rectas que serían paralelas a EF si 
estuvieran dibujadas.
14. Enum érense cuatro rectas que unan los puntos m arcados 
con letras y sean concurrentes en el centro de la figura.
15. Los puntos A, B, C y D de este cubo son coplanares. 
¿Cuántos conjuntos de cuatro puntos coplanares hay en el 
cubo?
16. Con frecuencia se usan rectas p a ra describir (o representar) 
la realidad física; entre las rectas paralelas, las 
concurrentes y los puntos colineaies, ¿cuáles se em plearían 
para describir cada uno de los casos siguientes?
a. In iciar un fuego con una lupa.
b. L a luz procedente de una linterna.
c. El uso de un telescopio de refracción.
(E jercicios
10- 11)
A B
17. ¿Es posible d ibujar cuatro rectas que se intersequen en un 
punto? ¿Es posible d ibujar cuatro rectas que se 
intersequen en dos, tres, cuatro, cinco, seis o m ás puntos? 
H ágase un dibujo que ilustre cada caso.
SOLUCION DE PROBLEMAS
¿C uán tas rec ta s pueden de te rm in ar s e is puntos, si 
hay una rec ta que p a sa por c ad a p ar d e puntos?
— m— «------- 9— •--------- ®— *
se is puntos colineaies, una recta
E xperim én tese y co m p ru éb ese si s e is puntos 
pueden co lo ca rse de tal m an era que determ inen 
se is rec tas . C olóquense s e is puntos p a ra 
determ inar s ie te , ocho, nueve... ca to rce rec tas.
se is puntos, en tre los que no hay 
tres que sean colineaies; quince rectas
16 D efin ic iones y cons trucc iones
1.3 Algunas figuras geométricas básicas
Y a q u e las rec tas, lo s p la n o s y lo s e sp ac io s se 
c o n s id e ra n conjuntos de puntos, re su lta ú til defin ir 
la s figu ras g eo m é trica s c o m o c o n ju n to s y p u n to s .
U n a f ig u r a plana es u n a f ig u ra c o n to d o s los 
p u n to s en u n p la n o , p e ro n o to d o s en u n a rec ta . / a a 
U n a f ig u ra espacial n o tie n e to d o s su s p u n to s
en u n so lo p la n o . TI . .. ,„ . r , , , . Un triangulo es una
R ev isem os p rim e ro a lg u n a s id eas b asicas figura plana, 
so b re co n ju n to s .
U n a c a ja es u n a figura 
espacial
Subconjunto. Si todo elemento 
de un prim er conjunto se 
encuentra tam bién en un 
segundo conjunto, el prim ero 
es un subconjunto del segundo.
Ejemplo
Unión. L a unión de dos o más 
conjuntos es un conjunto que 
contiene todos los elementos de 
estos conjuntos.
Ejemplo
Intersección. L a intersección de 
dos conjuntos es el conjunto 
que contiene aquellos 
elementos com unes a am bos 
conjuntos.
Elemplo
L a re c ta A B es u n L a unión de las rec ta s ( y
subcon jun to del p la n o N . m co n tien e to d o s los
p u n to s de las d o s rectas.
A c o n tin u a c ió n se describ en a lg u n a s figu ras g eo m é trica s b ásicas con 
m o d e lo s , s ím b o lo s y defin iciones.
L a intersección d e las 
rec ta s l y m es el 
p u n to A.
B
segmento AB A y B so n los ex trem os. 
Se escribe: A B
A es el ex trem o . 
Se escribe: À È
Definición 1.7
Un segmento, AB. es el 
conjunto de los puntos A y 
B y de todos los puntos que 
están entre A y B.
Definición 1.8
Un rayo, A B , es un 
subconjunto de una recta que 
contiene un punto A dado y 
todos los puntos que están en 
el mismo lado de A, com o B.
Modelo físico, Descripción, Definición
figura símbolo
1.3 A lgunas fig u ra s ge o m é tricas bás icas 17
B es el vértice. B A y B C son 
los lados. E l in te r io r de 
L A B C es la in te rsecc ió n de 
lo s p u n to s del la d o A de S ? 
c o n los del la d o C de XÉ.
Definición 1.9
U n ángulo es la unión de dos 
rayos no colineales que tienen 
el mismo extremo.
A , B y C so n vértices. A B , 
B C y A C so n lados.
Se escribe: A A B C
Definición 1.10
U n triángulo es la unión de 
tres segmentos determ inados 
po r tres puntos no colineales.
A , B, C y D so n vértices. 
A B , B C , CD y A D so n 
lados.
Se escribe: 
c u a d r ilá te ro A B C D
Definición 1.11
U n cuadrilátero es la unión de 
cuatro segmentos 
determ inados po r cuatro 
puntos, entre los cuales no 
hay tres que sean colineales. 
Los segmentos se intersecan 
sólo en sus extremos.
L o s p u n to s A y B e s tá n en 
el c írcu lo . E l p u n to _ 0 es el 
c en tro del c írcu lo . A B es un 
diám etro del c írcu lo . O B es 
u n radio del c írcu lo .
Se dice: c írcu lo 0 
Se escribe: O 0
Definición 1.12
U n círcrno es el conjunto de 
todos los puntos de un plano 
que están a una distancia fija 
de un punto dado del plano.
18 D efin ic iones y cons trucc iones
EJERCICIOS______________________________
A.
Dibújese seis veces la recta que se m uestra abajo. En cada 
dibujo resáltese una de las siguientes figuras:
1. S C . 2. BD . 3. CA- 4. A D . 5. S<5. 6. DB.
A B C D (Ejercicios 1-6)
Dibújese y dése el nom bre de la figura apropiada en cada uno 
de los ejercicios 7 a 12.
7. ¿ A B C . 8. Z X Y Z . 9. A DBF. 10 . L A . 11. BA. 12. CD-
En los ejercicios 13 a 15, elíjanse dos sím bolos que se refieran 
al mismo ángulo.
13. L A B C , L C A B , L C B A .
14. L C A B , L B A C , L C B A .
15. L A C E , L C A B , L B C A .
16. A A B C y A B A C son dos nom bres 
para el triángulo que se m uestra a la 
derecha. A este mismo triángulo se le 
pueden d ar otros cuatro nombres,
¿cuáles son?
17. Dibújese un círculo con un compás. M árquese su centro,
un rad io y un diám etro. P o r último, escríbase el nom bre
del círculo.
18. Elíjanse cuatro puntos, A, B, C y D, en el circulo y 
dibújese el cuadrilátero ABCD.
ACTIVIDADES"1 .......... ■
Para e la b o ra r este d iseño, d ib ú je se un c írcu lo .
D espués, con el com pás a b ie rto a la long itud 
de l ra d io y co locado a in te rva lo s igua les a lo 
la rg o del c írcu lo , trácense los arcos.
C om plé tese un d iseño com o éste. Luego, 
e la b ó re n se y co lo ré e n se o tros d ise ñ os usando 
c írcu lo s y segm entos po r el p roced im ien to 
d e sc rito an tes. Pueden hace rse concu rsos de 
d ise ñ os con re g la y com pás.
1.3 A lg u n a s fig u ra s g e o m é trica s bás icas 19
19. N óm brense con símbolos las cuatro rectas trazadas en 
esta figura. N óm brese una recta que no se haya trazado.
20. N óm brense ocho segmentos trazados. N óm brense ahora 
varios que no lo estén.
En los ejercicios 21 a 24, elíjanse los dos símbolos que hacen
referencia al mismo conjunto de la figura.
21. M A B , p . 22. A E ,A d ,q .
23. BC, CB, B D . 24. BC , BD , DB.
25. N óm brense seis ángulos distintos de la figura.
26. Trácense y recórtense dos triángulos 
com o A DEF. Coloqúense estos 
triángulos i untos para form ar tantos 
cuadriláteros com o sea posible.
27. ¿Es CD el mismo segmento que £>C? ¿Por qué?
28. ¿Es CD el m ismo rayo que DC ? ¿Por qué?
(Ejercicio 26)
A •
29. M árquense tres puntos como los que 
se m uestran a la derecha. C on ellos, 
trácense L B A C , L A B C y L A C B .
¿Consiste la figura resultante en tres 
rectas o en tres segmentos? ¿Es un 
triángulo? ¿Por qué?
30. Cítense po r lo m enos ocho triángulos 
en esta figura.
31. Dibújese esta figura y trácese un segmento que añada 
exactam ente o tros tres triángulos.
32. Cítense por lo m enos ocho cuadriláteros en esta figura.
B
C
SOLUCION DE PROBLEM AS_____
¿Cóm o podrían un irse se is p a lil lo s de m anera que 
se fo rm en cua tro tr iángu los?
(S ugerenc ia : con independenc ia de l tam año de los 
p a lillo s , se n e ce s ita rá bastan te espacio .)
20 D efin ic iones y cons trucc iones
1.a segmentos 
y ángulos; 
congruencia 
y medición
E l h o m b re q u e ap a rece en el d ib u jo c o r ta rá 
u n a ta b la p a ra q u e
m id a 0.5 m de la rg o y 
ten g a u n b o rd e c o n á n g u lo de 45°. P rim e ro , 
tiene q u e m edir.
L o s de ta lle s so b re las p ro p ie d a d e s básicas 
de la m ed ic ió n d e á n g u lo s y seg m en to s se 
p re se n ta rá n e n la secc ión 2.8.
L a m edición de la longitud a s ig n a u n n ú m e ro re a l a c a d a segm en to .
A
L a long itud d e A B es 3.5 cm.
Se escribe: A B = 3.5.
----------B
h h 
cen tím etro s
>3 < 4 ^
H a y u n a m a n e ra especia l p a ra d e sc rib ir d o s seg m en to s de la m ism a lo n g itu d .
Se dice: A B es co n g ru e n te 
c o n CD.
Se escribe: A B = CD 
A lg u n as veces se m a rc a n 
los seg m en to s p a ra 
m o s tra r q u e son 
co ngruen tes.
L a m edición de ángulos a s ig n a a c a d a á n g u lo u n n ú m e ro rea l e n tre 0 y 180.
Definición 1.13
D os segmentos son 
congruentes si tienen la 
m isma longitud.
L a m edida en grados de 
¿ A B C es 40.
Se escribe: m L A B C = 40 
A lg u n as veces se escribe 
q u e L A B C m id e 40°.
H ay u n a m a n e ra especial d e d e sc rib ir d o s án g u lo s d e la m ism a m ed id a .
Se dice: L A B C es 
c o n g ru e n te c o n L D E F .
Se escribe: ¿ A B C s ¿ D E F .
Definición 1.14
D os ángulos son congruentes
si tienen la m isma medida.
1.4 S egm entos y ángu los ; co n g ru e n c ia y m ed ic ión 21
L os d ise ñ a d o re s em p lean g ra n v a r ie d a d d e in s tru m e n to s y técn icas de 
d ib u jo p a r a e la b o ra r p la n o s ex ac to s de p ro y e c to s d e c o n s tru c c ió n . E n 
g eo m e tría , se d eb e c o n o c e r el u so d e d o s in s tru m e n to s — la reg la sin 
g ra d u a r y el co m p ás— p a ra h a c e r tip o s especia les de d ib u jo s lla m a d o s 
construcciones. L as d o s c o n s tru c c io n e s q u e se d e sc rib en a c o n tin u a c ió n 
u tiliz an el co n c e p to d e c o n g ru e n c ia d efin ido an tes.
Construcción 1 . constrúyase un segmento congruente
con un segmento dado. (Cópiese un segmento.)
1. Abrase el 
compás a la 
longitud del 
segmento 
dado.
2. Trácese un 
rayo que tenga 
mayor longitud 
que el segmento 
dado.
Segmento dado
Construcción 2. construyase un ángulo congruente con 
un ángulo dado. (Cópiese un ángulo.)
1. Trácese un 
arco que 
interseque 
ambos rayos 
del ángulo 
dado.
Abrase el 
compás a la 
medida de la 
abertura del 
ángulo dado.
2 . Trácese un 
rayo que sirva 
como un lado 
del ángulo 
copia.
Angulo dado
5. Con el
compás a esa 
misma 
abertura 
trácese un 
arco.
Angulo dado
3. Con el mismo 
compás, abierto 
como en el 
primer paso 
(1 ), trácese un 
arco que cruce 
el rayo.
S. Trácese el 
segundo lado 
para
completar la 
copia del 
ángulo ciado.
L os tre s tip o s d e án g u lo s ex is ten tes se definen a c o n tin u a c ió n . E m p léese la 
co n s tru c c ió n 2 p a r a tra z a r t re s án g u lo s c o n g ru e n te s co n ca d a u n o d e los 
siguientes:
■ 90°
Definición 1.15
U n ángulo agudo es un
ángulo que mide m enos de 90°
D
Definición 1.16
U n ángulo recto es un ángulo 
que mide 90°.
K l
Definición 1.17
Un ángulo obtuso es un 
ángulo que m ide más de 90°.
Con el mismo
compás, cópiese 
un segmento 
sobre el rayo.
22 D efin ic iones y construcc iones
EJERCICIOS
A.
1. C on una regla g raduada en 
centím etros, encuéntrese la longitud de 
este segmento. A B = _L
2. Trácense segm entos de las longitudes siguientes:
CD - 8 cm E F = 5.6 cm GH = 7.5 cm
Con la regla sin g raduar y el com pás, construyanse tres 
segmentos congruentes con cada uno de los dibujados.
3. Escríbase una proposición con s o con £ («no es 
congruente con») para cada uno de los tres pares de 
segm entos siguientes.
/»— - 2 X1 M N
A • B
Trácense estos ángulos en un papel. Con un transportador, 
lo T S r d e c a lT n g u t: “ “ Pr° ' ° ngarSe
5. 6. 7.
m L I H J =m ¿ A B C = X m¿_ D E F = _L
8. Clasifiquense los ángulos de los ejercicios 4 a 7 en aeudos 
rectos y obtusos.
9. Con una regla sin g raduar y un com pás, construyanse 
ángulos congruentes con cada uno de los que aparecen en 
los ejercicios 4 a 7.
ACTIVIDADES!
Se neces ita una m a tr iz de puntos de 5 x 5. Dos 
puntos son ex trem os de un segm ento . Dos 
segm en tos con un ex trem o com ún d e te rm in an un 
ángu lo .
a. ¿Cuántas lo ng itudes d ife re n te s de segm entos 
pueden tra za rse en una m a tr iz de 5 x 5 ?
b. ¿Cuántas m ed idas d ife re n te s de ángu los 
pueden tra za rse en una m a triz de 5 x 5?
1.4 S egm entos y ángu los ; co n g ru e n c ia y m ed ic ión 23
B.
10. N óm brense cuatro ángulos rectos en esta figura.
11. N óm brense cuatro ángulos agudos. -
12. N óm brense cuatro ángulos obtusos.
Los segmentos con longitudes a y b se m uestran a continuación 
4 13. Construyase un segmento con longitud 2a.
14. Construyase un segmento con longitud a + b.
15. Construyase un segmento con longitud b — a.
Se m uestran los ángulos con m edidas x e y.
16. Construyase un ángulo que m ida x + y.
17. Construyase un ángulo que m ida x - y.
18. Construyase un ángulo que m ida 3y.
19. U n avión vuela en dirección sureste. ¿C uántos grados gira 
al cam biar su curso hacia el sursuroeste?
c.
20. Construyase A A B C con lado A B y 
ángulos A y B.
21. Síganse estas instrucciones p a ra dividir el segm ento AB 
tres segmentos congruentes.
a. Trácese un rayo a p artir del pun to A y m árquense 
sobre él tres segmentos congruentes.
b. Trácese EB.
c. Empléese la construcción 2 para copiar 
L A E B en D y después en C.
d. Los lados_de los ángulos copiados 
dividen A B en tres segmentos 
congruentes.
en
l B A- ■B
_ SOLUCION DE PROBLEMAS
Un g ra n je ro q u ie re s e p a ra r es tas once ove jas 
cons truyendo once c o rra le s exactam ente 
con cua tro va lla s rectas.
¿Cóm o puede hacerlo? W
(Las va lla s se pueden cruzar.)
24 D efin ic iones y construcc iones
1.5 Bisectrices 
del segmento 
y del ángulo
E n u n d ia m a n te d e bé isb o l, la seg u n d a base 
e s tá a la m ism a d is ta n c ia d e las d o s lineas 
de fo u l. H om e, la p r im e ra base , la seg u n d a 
b a se y la te rc e ra base, e s tá n en las e sq u in as 
de u n c u a d ra d o . ¿E s tá el m o n tíc u lo del 
la n z a d o r en el p u n to m ed io en tre:
a. hom e y la s e g u n d a base?
b . la p r im e ra base y la te rcera?
c. n in g u n a de las an te rio res?
L a m a rc a c ió n de u n d ia m a n te de béisbo l in c luye los c o n c e p to s y los 
p ro c e d im ie n to s de c o n s tru c c ió n q u e se ex p lican a c o n tin u ac ió n .
El ra y o BD es la bisectriz 
de ¿LABC. T o d o s los 
p u n to s d e B Ú e s tá n a la 
m ism a d is ta n c ia d e los 
la d o s d e L A B C .
El p u n to C_es el punto 
m edio d e A B .
R S , M T , la re c ta i y el_ 
p la n o N in te rsecan a PQ 
en el p u n to m ed io M , y 
so n b isec trices de PQ.
Definición 1.18
La bisectriz de un ángulo 
A B C es un rayo BD en el 
interior de L ABC, de 
m anera que L A B D « L DBC.
Definición 1.19
El punto medio de un 
segmento es un punto C 
entre A_y B, de m anera que 
A C = CB.
Definición 1.20
L a bisectriz de un segmento 
es cualquier punto, segmento, 
rayo, recta o plano que 
contenga al punto medio del 
segmento.
1.5 B ise c trice s de l segm en to y de l ángu lo 25
A c o n tin u a c ió n se d esc rib en lo s m é to d o s p a ra b iseca r
u n á n g u lo y un 
segm en to .
Construcción 3. Bisecar un ángulo.
1. Dado el ángulo 2. Con S como
ABC , centro,
trácese un
arco que
A ¿p. interseque
ambos lados
ael ángulo
C
en F y G.
4. Con G como 5. Unanse B y
centro y la misma el punto de
abertura de compás \p intersección
que en el « • « ' y ' J de los arcos
tercer paso, - — I A para marcar
trácese un la bisectriz
arco que cruce \ \ M del ángulo.
al primero.
Construcción 4. Bisecar un segmento.
1. Dado el 2. Con A como
segmento centro y el
de recta AB, compás con
una abertura
mayor que la
mitad de AB,
trácese un arco
semicircular.
3. Con F como 
centro, trácese 
un arco en 
el interior 
del ángulo.
3. Con S como centro 
y el compás con 
la misma abertura 
que en 2, trácese 
un arco 
semicircular 
que interseque 
al prim er arco.
4. Unanse los 
dos puntos de 
intersección 
para
completar la 
construcción 
de la
bisectriz de 
AB.
E s te d ia g ra m a m u e s tra có m o la 
b isección de u n á n g u lo re su lta ú til en la 
m a rc a c ió n d e u n d ia m a n te d e béisbol. 
O b sérv ese q u e el m o n tíc u lo del la n z a d o r 
e s tá so b re la b isec triz d e l án g u lo , a 60 
p ies y 6 p u lg a d a s d e hom e. N o e s tá so b re 
u n a re c ta q u e v a y a d e la p r im e ra b a se a 
la te rce ra , n i e s tá en el p u n to m ed io d e la 
re c ta q u e v a d e hom e a la seg u n d a base.
26 D e fin ic iones y construcc iones
EJERCICIOS_________
P ara constru ir e s to s d iseñ o s e s n ecesa rio b iseca r ángulos.
1. C onstru y ase y co lo rée se 
uno de e s to s d iseños.
1. Trácese un segmento AB. Biséquese AB.
2. Trácese un segmento AB. Construyase un pun to N de tal 
m anera que A N = {AB.
3. ¿Qué o tras fracciones de A B se pueden construir?
4. Trácense ángulos cuya m edida se aproxim e a la de los ángulos 
A, B y C. Construyanse las bisectrices de estos ángulos.
6. La bisectriz de L X Y Z es Y T . Escribanse los nom bres 
de los ángulos congruentes que se forman.
ACTIVIDADES
2. Con un co m p ás y una 
reg la , co n s tru y ase un 
d iseño original que 
req u ie ra la b isección 
de ángulos.
5. Trácese este triángulo. Biséquese 
ángulo. ¿Son concurrentes las 
bisectrices de los ángulos?
1.5 B ise c trice s de l segm en to y de l ángu lo 27
B.
Para realizar los ejercicios 7 a 10, deben usarse las 
construcciones. Si se desea, puede copiarse el ángulo recto 
ABC. N o debe utilizarse el transportador.
7. Construyase un ángulo de 45°. 8. Construyase un ángulo de 22^°.
9. Construyase un ángulo de 135°. 10. C onstruyase un ángulo de 67^°.
11. Trácense dos ángulos agudos; llámense L J y L K.
Construyase un tercer ángulo que m ida j ( m / - J + m ¿ K).
N o debe utilizarse el transportador
12. Dibújense las cuatro direcciones 
señaladas en una brújula. C on una 
regla y un com pás, trácese una recta 
que apunte hacia el nornoreste.
(E jercicios 7-10)
c.
13. Constrúyase un ángulo de 112^°. 14. Construyase un ángulo de 82
15. Constrúyase un ángulo de 157-j0. 16. Constrúyase un ángulo de 97^°.
17. En este diagram a, BF biseca a L EBG, 
m L A B C = 90, m L A B E = 20, 
m L G B C = 24. ¿Qué es m L A B F = ?
18. Constrúyase un segmento de longitud
4CD - \A B . A ----------------------------
O •D
_ SOLUCION DE PROBLEMAS
Un com pás oxidado p ie rde su m o v im ie n to y s ie m p re tiene 
la m ism a aue ríu ra .
Un co m p á s p legable , en cam b io , vue lve a ce rra rse en 
cuan to se se p a ra de l papel.
1. B iséquese AB con:
a. un com pás p legab le
b. un com pás o x idado con 
abe rtu ra de C a D.
A • B
C D
2. B iséquese un á n g u lo con:
a. un com pás p legab le . b. un com pás oxidado.
28 D efin ic iones y construcc iones
1.6 Rectas y planos 
perpendiculares
E n n u e s tra v id a c o tid ia n a h a y m u c h o s e jem p lo s de rec ta s y p la n o s 
p e rp e n d ic u la re s . A lg u n o s d e esto s e jem p lo s se em p lean e n las defin iciones 
sigu ien tes.
Modelo físico Figura, descripción
------------ J L —
— -------- ? — —
90°^ _j90°
90° 90°
t es p e rp e n d ic u la r a m.
Se escribe: l _L m.
A p a r t i r de p ro p o s ic io n e s sim ples q u e p u ed en d e m o stra rse , se in te rp re ta rá 
e s ta d e fin ic ión de perpendicular in c lu y en d o los sig u ien tes co n cep to s:
1. C uando dos rectas son perpendiculares, todos los ángulos que se form an 
miden 90c (ángulos rectos) y son congruentes.
2. C uando dos rectas se intersecan para form ar uno, dos o 
tres ángulos de 90° (ángulos rectos), form an cuatro 
ángulos rectos y son perpendiculares.
3. C uando dos rectas se intersecan p a ra form ar un p ar de ángulos 
congruentes con un lado com ún, las rectas son perpendiculares.
Definición
Definición 1.21
D os rectas son 
perpendiculares si al
intersecarse form an ángulos 
rectos congruentes.
Definición 1.22
U na recta es perpendicular a 
un plano si es perpendicular 
cada una de las rectas del 
plano que intersecan a la 
recta.
L a re c ta ( es p e rp e n d ic u la r 
a las rec ta s m, n, p, etc.; 
p o r ta n to , la re c ta l es 
p e rp e n d ic u la r a l p lan o .
L a re c ta m del p la n o B es 
p e rp e n d ic u la r a l p la n o A; 
p o r ta n to , el p la n o B es 
p e rp e n d ic u la r a l p la n o A .
Definición 1.23
D os planos son 
perpendiculares si en uno de
ellos hay una recta que es 
perpendicular al otro.
1.6 R ectas y p lanos p e rp e n d icu la re s 29
l
I M D t es la b isec triz 
p e rp e n d ic u la r d e CD.
Definición 1.24
L a bisectriz perpendicular de 
un segmento es una recta 
perpendicular al segmento y 
contiene su punto medio.
r
A
A B es la d is ta n c ia del 
p u n to A a la re c ta ( .
Definición 1.25
La distancia entre un punto y 
una recta es la longitud del 
segmento trazado desde el 
pun to perpendicular a la 
recta.
E n la c o n s tru c c ió n 4 se tra z ó la b isec triz p e rp e n d ic u la r d e u n seg m en to . 
L as sig u ien tes so n o tra s d o s c o n s tru c c io n e s im p o r ta n te s q u e in c lu y en 
rec tas p e rp en d icu la re s .
Construcción 5. constrúyase una perpendicular a una recta 
que pase por un punto dado de la recta.
1. Dados una 2. Trácese un arco 3 . Trácense dos arcos 4. Trácese la
recta t y un a cada lado de P. que se crucen arriba perpendicular
punto P d e t , a la recta t 
por P.
P
Construcción 6. constrúyase una perpendicular a una recta 
que pase por un punto dado fuera de la recta.
1. Dados una 
recta í y un 
punto P fuera 
de la recta t ,
2. Trácense dos 
arcos que 
corten la
3. Trácense dos 
arcos que se 
crucen por
4. Trácese la 
perpendicular 
a la recta t , 
por P.
P
30 D e fin ic io n e s y cons trucc iones
EJERCICIOS_________
A.
B.
1- / / = Z 2. ¿Qué puede concluirse sobre las rectas j y /c? j
2. m L 3 es 90. ¿Qué puede decirse sobre las rectas m y n y 
los ángulos 1, 2 y 4?
3. Trácese un segm ento PQ. Construyase la bisectriz perpendicular de PQ.
4. Trácese una recta l . Constrúyase una recta perpendicular a t 
que contenga al pun to A de L
Trácese una recta m y un punto P que no esté en m.
Constrúyase una recta perpendicular a m que pase po r P.
Cítense cuatro rectas que sean perpendiculares 
al plano ABCD.
Cítense cuatro pares de planos perpendiculares. ^
n
m 1 2
4 J j
90“
8. La recta r es perpend icu la r a l p lano Z . ¿Qué puede 
decirse sobre las rectas r , m y n i
9. Constrúyase un rectángulo con lados 
congruentes con AB y CD.
A - > B
C
á
(Ejercicios 6, 7)
r
n y /
Z
---------------- - D
ACTIVIDADES!
Estas in s tru cc io n e s m uestran cóm o usa r una ho ja de 
p lá s tico de c o lo r pa ra c o n s tru ir una p e rp e n d icu la r a 
una rec ta que pase po r un pun to que no está en la 
rec ta (C onstrucc ión 6). E xp liqúese cóm o re a liz a r las 
cons trucc iones 3, 4 y 5 de este ca p ítu lo usando la 
ho ja de p lástico .
C o lóquese la ho ja de p lá s tico p e rp e n d icu la r al 
p lano sob re e l que se tra b a ja rá (m esa, pape l, etc.), 
con un bo rde p ró x im o a l pun to P, de ta l m anera que 
la im agen v isu a l de la m itad de la rec ta (, fren te a la 
ho ja de p lás tico , es té exactam en te a la m itad de la 
rec ta l que está de trás de d ich a ho ja ..H ágase el 
d ib u jo ju n to a l bo rde p a ra p ro d u c ir la p e rp e n d icu la r a 
la recta l p o r el punto P.
1.6 R ectas y p lanos p e rp e n d icu la re s 31
j \ 10. Construyase un triángulo con un ángulo_de 45_ 
y lados congruentes con los segm entos PQ y RS. 
(No se debe utilizar el transportador.)
Q
- S
11. Apliqúese la construcción 5 para hacer 
un cuadrado con lados A B
12. Trácese un triángulo_/l BC. Apliqúese la_construcción 6 para trazar 
un punto D sobre BC de m anera que AD sea perpendicular a BC.
13. ¿Es el plano X perpendicular al plano Y? D e acuerdo con la 
definición de los planos perpendiculares, ¿qué inform ación se 
requiere p a ra asegurarse de que los planos son perpendiculares?
A B
14. D os ciudades necesitan un servicio adicional 
de agua. Se decidió construir una plan ta 
purificadora de agua ju n to a un rio cercano 
y canalizar el agua desde la p lan ta hasta 
cada ciudad. Cada ciudad pagará la 
instalación de las tuberías que irán de la 
planta a ella. L a p lan ta debe ubicarse a la misma 
distancia de las dos ciudades.
15. O tro objetivo a cum plir al determ inar 
el punto en que debe ubicarse la 
planta purificadora de agua del 
ejercicio 14 es que las ciudades 
com partan de forma equitativa todos 
los gastos. Este plan implica que la 
longitud total de la tuberia debe ser la 
mínima necesaria. ¿D ónde debe 
colocarse la planta purificadora?
Trácese el m apa y búsquese la 
ubicación idónea de la planta.
_ SOLUCION DE PROBLEMAS
Trácese el m apa que se m uestra a 
continuación y determínese m ediante una 
construcción el pun to en que debe 
colocarse la p lan ta para satisfacer estos 
objetivos.
(E jercicios 14, 15)
Los s ig u ien tes so n cuatro cu b o s idénticos de los q u e s e han ex traído una
o m ás p o rc iones cú b icas tam bién de idéntico tam año.
C o m p árese c a d a p ar d e figuras: A y 6 , A y C, A y D, B y C, 6 y D y C y D. 
¿Cuál de e s to s p a re s podría s e r el m ism o (depend iendo de la esq u in a 
poste rio r q u e no e s tá a la vista)?
32 D efin ic iones y cons trucc iones
1.7 polígonos
L as fig u ras g eo m é trica s 
fo rm a d a s p o r lín eas rec tas 
so n m u y co m u n es en 
n u e s tro m u n d o . T a les 
figuras rec iben el n o m b re de 
polígonos.
E ste p o líg o n o tie n e ocho 
lad o s . L o s p u n to s A , B , C,
D, E , F , G y H so n sus 
vértices. A c a d a seg m en to de 
u n p o líg o n o se le lla m a lado.
Se escribe:
p o líg o n o A B C D E F G H .
Definición 1.26
Un polígono es la unión de 
segmentos que se ju n tan sólo 
en sus extremos, de tal m anera 
que: (1) com o m áxim o, dos 
segmentos se encuentran en un 
punto , y (2) cada segmento 
toca exactam ente a o tros dos.
L o s p o lig o n o s rec iben u n n o m b re p a r t ic u la r de a cu e rd o 
co n el n ú m e ro d e la d o s q u e ten g an . P o r e jem plo : tr iá n g u lo , 3 lados; 
c u a d rilá te ro , 4 lad o s; p e n tá g o n o , 5 lados; h e x á g o n o , 6 lados; h e p tá g o n o ,
7 lad o s; o c tá g o n o , 8 lad o s . U n p o líg o n o c o n n la d o s p o d r ía lla m a rse n-gono. 
L a s d efin ic iones sig u ien tes p ro p o rc io n a n m á s in fo rm ac ió n so b re los p o lígonos.
C
D
L os e x trem o s d e A C so n 
vértices n o co n secu tiv o s 
d e l p o líg o n o A B C D E . A C 
es u n a d e las diagonales 
d e l p o lígono .
Definición 1.27
U na diagonal de un polígono
es un segmento que toca dos 
vértices no consecutivos 
cualesquiera del polígono.
C a d a d ia g o n a l de_este 
p o líg o n o , c o m o P R , e s tá 
en el in te r io r del p o líg o n o . 
P Q R S T es u n p o líg o n o 
convexo.
J
P o r lo m e n o s u n a d e las 
d ia g o n a le s d e este p o líg o n o 
n o e s tá e n su in te rio r. 
G H I J K n o es u n p o líg o n o 
convexo .
Definición 1.28
U n polígono es convexo si
todas sus diagonales están en 
el in terior del polígono.
L os tr iá n g u lo s c o n la d o s c o n g ru e n te s tie n e n n o m b re s especiales.
1.7 P o lígonos 33
A B ^ B C ^ A C
Definición 1.29
U n triángulo equilátero es
aquel cuyos lados son todos 
congruentes entre sí.
A B ^ A C
L A es e l ángulo del 
vértice. L B y L C so n los 
ángulos de la base.
Definición 1.30
U n triángulo isósceles es un 
triángulo que tiene dos lados 
congruentes entre sí.
A lg u n o s p o líg o n o s tien en 
c a ra c te rís tic a s q u e los 
c o n v ie rte n en polígonos 
regulares.
T o d o s lo s la d o s so n de 
ig u a l lo n g itu d . T o d o s los 
á n g u lo s m id en lo m ism o.
Definición 1.31
U n polígono regular es aquel 
cuyos lados son congruentes 
entre sí, y todos sus ángulos 
tam bién son congruentes 
entre sí.
A B C D E F G es un 
p o líg o n o regular.
34 D efin ic iones y cons trucc iones
EJERCICIOS_________________ _ _
A.
En los ejercicios 1 a 4, selecciónese la figura que no es un 
polígono regular. Expliqúese por qué no lo es.
1.
3.
c.
5. ¿Cuáles de las figuras anteriores son polígonos convexos? 
P o r ejemplo, la figura le es un polígono convexo.
6. Trácese un octágono convexo. Trácese una de sus 
diagonales.
7. Trácese un octágono no convexo.
8. Identifiqúese cada triángulo como equilátero, 
isósceles o ninguno de ellos. Empléese una regla.
9. ¿Cuáles de los siguientes son polígonos regulares?
a.
a. D d. (Ejercicios 9, 10)
10. Trácense tantas diagonales como sea posible para cada 
uno de los polígonos anteriores
ACTIVIDADES
Para co n s tru ir un hexágono re g u la r puede usarse el 
m étodo de construcc ión con re g la y com pás d e scrito en las 
ac tiv idades de la sección 1.3.
Com bínese este m étodo con la b isecc ión de ángu los y la 
construcc ión de b isec trices pe rpe n d icu la re s p a ra constru ir:
a . un dodecágono regu la r
b. un octágono regu la r
c. un po lígono re g u la r de 16 lados.
B
1.7 P o lígonos 35
un polígono
12.
13.
14.
11. ABCD E es un pentágono regular. N óm brense tantos 
triángulos isósceles com o sea posible. (Si un triángulo 
parece isósceles, puede suponerse que lo es.)
Algunas letras del alfabeto pueden dibujarse 
con la forma de un polígono, pero otras no. se neces| 
Dibújense con forma de polígonos tantas dos polígonos
letras como sea posible.
U na llave de tuercas fija tiene lados paralelos. ¿Qué puede 
suponerse acerca del núm ero de caras de la tuerca a la 
que corresponde esta llave?
El vástago de la válvula de una tom a de agua para 
incendios suele tener forma de pentágono regular, en lugar 
de la form a usual de hexágono regular. ¿A qué puede ser 
debido?
15. La figura que aparece a la derecha 
contiene ejemplos de diferentes 
polígonos: desde triángulos hasta 
decágonos. Encuéntrese y cítese cada 
uno.
16. Con
un transpo rtado r y una regla, trácese un octágono 
cuyos lados tengan cinco longitudes diferentes y los 
ángulos de los vértices m idan 135°.
SOLUCION DE PROBLEMAS _
E ra tóstenes (275 a. de C.) ca lcu ló la 
c ircu n fe re n c ia de la T ie rra con un m étodo 
ingen ioso . S upuso que los rayos de l Sol eran 
p a ra le lo s , y de scu b rió que cuando el Sol se 
encon traba exactam ente sob re A le ja n d ría , sus 
ra yo s fo rm aban un á n g u lo de 7 i° con un 
poste ve rtica l s ituado a 500 m illa s , en S iena 
(Asuán). A dem ás, supuso que el ángu lo 
cen tra l a tam b ién m ed ía 7¡°. D edujo que la 
re lac ión del ángu lo ce n tra l a a 500 m illa s 
se ría igua l a la re la c ió n de l to ta l de g rados 
de un c irc u lo p a ra c o m p le ta r la long itud de la 
c ircu n fe re n c ia de la T ie rra . D efínase la 
p ro p o rc ió n y h á llese la d is tanc ia .
T ie rra
36 D e fin ic io n e s y cons trucc iones
Capítulo 1 Conceptos importantes
Términos
P u n to (pág. 10)
Recta (pág. 10)
P lano (pág. 11)
Espacio (pág. 11)
P un tos colineales (pág. 13) 
Puntos coplanares (pág. 13) 
Rectas intersecantes (pág. 13) 
Rectas paralelas (pág. 13)
Rectas concurrentes (pág. 13) 
Segm ento (pág. 16)
Rayo (pág. 16)
Angulo (pág. 17)
T riángulo (pág. 17)
C uadrilátero (pág. 17)
Círculo (pág. 17)
Segmentos congruentes (pág. 20) 
Angulos congruentes (pág. 20)
Angulo agudo (pág. 21)
Angulo recto (pág. 21)
Angulo ob tuso (pág. 21)
Bisectriz de un ángulo (pág. 24)
P un to m edio de un segmento (pág. 24) 
Bisectriz de un segm ento (pág. 24)
Rectas perpendiculares (pág. 28)
Recta perpendicular a un plano (pág. 28) 
Planos perpendiculares (pág. 28)
Bisectriz perpendicular (pág. 29)
D istancia de un punto a una recta (pág. 29) 
Polígono (pág. 32)
D iagonal de un polígono (pág. 32)
Polígono convexo (pág. 32)
Triángulo equilátero (pág. 33)
Triángulo isósceles (pág. 33)
Polígono regular (pág. 33)
Construcciones
Cópiese un segmento (pág. 21) 
Cópiese un ángulo (pág. 21) 
Biséquese un ángulo (pág. 25) 
Biséquese un segmento (pág. 25)
C onstrúyase una perpendicular a una recta 
que pase p o r un punto dado sobre la 
recta (pág. 29)
Constrúyase una perpendicular a una recta 
que pase p o r un punto dado fuera de la 
recta (pág. 29)
Capítulo 1 Resumen
1. Cítense objetos que ilustren lo siguiente:
a. Punto . b. P lano. c. Rectas paralelas,
d. Rectas intersecantes. e. Polígono.
2. Indíquese si las afirmaciones siguientes son falsas o verdaderas.
a. U n rayo láser es un ejemplo m ejor de recta que un 
rayo .
b. M N no es perpendicular a XY, porque sólo se forman 
dos ángulos rectos.
c. El punto C está en AB. £ ^ ^
d. El pun to C está en AB.
e. U n rad io es un rayo.
f. Dos segmentos son congruentes si tienen la misma 
longitud.
3. ¿C uántos extrem os tienen una recta, un rayo y un 
segmento?
4. ¿Es lo mismo AB que BA1 ¿Por qué?
5. Construyase un ángulo de 135°.
6. Dibújese un ángulo ob tuso y trácese su bisectriz. ¿Son los 
ángulos resultantes agudos, rectos u obtusos?
7. Trácese un triángulo A B C (bastante grande). M árquese el 
punto m edio de cada uno de los lados.
8. Trácese un segmento que sea congruente con AB.
9. Trácese un segmento de longitud {AB.
10. Copíense CD y P cn un papel y trácese una recta 
perpendicular a CD que pase po r P.
• - —
C
En los ejercicios 11 a 14, empléese la figura del cubo para 
identificar lo siguiente:
11. D os planos paralelos.
12. U na recta perpendicular al plano EFHG.
13. U na recta paralela al plano CDEF pero que no sea 
perpendicular al plano ABC-D.
14. L a intersección de los planos BCEG y BCFH.
38 D efin ic iones y construcc iones
capítulo 1 Examen
1 Cítense objetos que ilustren lo siguiente:
a. Recta. b. Rectas concurrentes. c. Rectas perpendiculares.
d. Polígono regular. e. Espacio,
2. Indíquese si las afirmaciones siguientes son Talsas o 
verdaderas.
a. D os puntos siempre son colinealcs.
b. Si dos ángulos son congruentes, entonces am bos son
rectos. , ------- . -----------
c. El punto D está en AB. C A D B
d. El punto D está en AC.
e. U n diám etro de un círculo es una recta.
f. U n triángulo isósceles debe tener tres lados congruentes.
3. ¿Es lo mismo AB que BA1 ¿Por qué?
4. Si dos rectas son paralelas, ¿cuántos puntos tienen en
común?
5. D ibújese un cuadrilátero no convexo.
6. Dibújese un triángulo ABC. Trácese la bisectriz de cada
ángulo.
7. Trácese un ángulo que sea congruente con ¿ A B C .
8. Sin usar el transpo rtado r, trácense cua tro ángulos rectos
con un vértice com ún. __ (Ejercicios 9, 10)
9. Trácese un segmento congruente con AB.
10. M arqúese el punto medio de AB. a
En los ejercicios 11 a 14, empléese la figura del cubo e 
identifiqúese lo siguiente:
11. U na recta paralela al plano ABUG.
12. U n plano perpendicular a É&.
13. U na recta que no sea paralela ni perpendicular a ninguna 
cara del cubo.
14. La in tersección de los p lanos AD FH y CD E t.
A
Técnicas para la solución de problemas
Dibujo de un diagrama
Puede resultar agradable resolver problem as si se conocen 
diversas m aneras de abordarlos. H ay varias técnicas para 
resolver problem as de m atem áticas; una de ellas es d ibujar un 
diagrama.
Ejemplo
En el rayo AB, A C = 5 y A B = 2. Encuéntrese BC. Como 
ayuda para resolver este problem a, se d ibujará un diagram a.
— |----------------------------------------------1---- 1----------- 1-----------1----------*
A B C
En el diagram a se observa que BC = 3.
PROBLEMAS________________________________
Dibújense diagram as y resuélvanse los siguientes problemas.
1. En el rayo Ñ P , N P = 4 y P M = 6. Encuéntrese N M .
2. En el rayo x \ , A Y = 15 e Y Z = 6. Encuéntrese Z X .
3. ¿C uántos postes se necesitan para cercar un terreno 
rectangular si entre los postes debe haber 5 pies de 
distancia y el terreno mide 20 pies por 30 pies?
4. Supóngase que un insecto cam ina sobre un palo vertical y 
sube dos pulgadas en dos m inutos; después, baja una 
pulgada en un m inuto; de nuevo sube dos pulgadas en 
dos m inutos, y a,sí sucesivamente. Si sigue así, ¿cuánto 
íiempo ta rdará en alcanzar un?, a ltu ra de 10 pulgadas?
5. U n a escalc:„ tiene diez escalones, cada uno mide un pie 
de ancho y un pie de altura. U na horm iga em pieza desde 
abajo del prim er escalón y sube la escalera en línea recta. 
¿Qué distancia hab rá recorrido la horm iga al llegar a la 
parte m ás alta del último escalón?
6. En una escuela se trazó un circuito para una carrera de 
fondo en las calles de una ciudad. Desde el pun to de 
salida, los corredores avanzaron 4 calles al este, 6 al norte,
2 al oeste, dos al sur, 5 al oeste, 3 al norte, 2 al oeste, 8 al 
sur y 5 más hacia el este h asta la m eta. Establézcase la 
dirección y el núm ero de calles que se recorrieron desde la 
salida hasta la meta.
Diseño interior: Teselados
U n diseñador de interiores encuentra ejemplos 
de geometría al seleccionar diseños de telas, 
suelos y papel para paredes. C on frecuencia, en 
diseño se em plea un concepto geométrico 
llam ado teselado. U n teselado es un conjunto de 
polígonos dispuestos de form a que no se 
sobreponen unos a o tros ni quedan separaciones 
entre ellos.
L a cocina que aparece en la fotografía 
tiene un suelo y un recubrim iento de azulejos 
que son ejemplos de teselados.
¿Con que polígonos es posible hacer un
teselado sobre una superficie plana?
Al colocar un papel sobre un cuadrado y 
m arcarlo varias veces, puede elaborarse un 
teselado de cuadros. En la fotografía se 
m uestran o tros teselados. Trácese en un papel 
una porción de teselado usando aquellas figuras 
de las que se m uestran a continuación que lo 
perm itan. Entre
estas figuras hay dos que no 
pueden usarse en un teselado, ¿cuáles son?
U n cuadrilátero 
cualquiera
H eptágono
T riángulo T riángulo
equilátero isósceles
Pentágono H exágono
A
Trapecio Com eta
T riángulo 
escaleno
C uadrilátero 
no convexo
41
H exágono T riángulo
D odecágono C uadrado
Trácense las figuras siguientes para m ostrar una parte de cada uno de 
los teselados que se sugieren a continuación. Coloréense de m anera que 
resulten diseños interesantes.
(4, 8, 8) (3, 4, 6 ,4) (3, 6, 3, 6) (3, 3, 3, 4 ,4 ) (3, 12,12)
O ctágono
¿Con qué com binaciones de polígonos regulares es posible hacer un 
teselado sobre una superficie plana?
Pueden crearse diseños interesantes para pisos 
form ando teselados que com binen algunos de 
los polígonos regulares que se m uestran a 
continuación. El m odelo que aqui se m uestra 
tiene un cuadrado, un hexágono y un 
dodecágono rodeando cada punto; se le 
denom ina con los núm eros (4, 6, 12), que 
señalan el núm ero de lados de cada figura 
em pleada y el orden exacto en que se 
dispusieron alrededor del punto.
(4,6,12)
C A P I T U L O 2
2.1 E l p ro c e s o d e l ra z o n a m ie n to in d u c t iv o 44
2 .2 G e n e ra liz a c io n e s fa ls a s y c o n tra e je m p lo s 48
2.3 D e s a r ro l lo d e la g e o m e tr ía p o r m e d io
d e l ra z o n a m ie n to d e d u c t iv o 52
2 .4 T ip o s d e p ro p o s ic io n e s S i - E n to n c e s 56
2.5 R e c íp ro c a , in v e rs a y c o n tra r re c íp ro c a 60
2.6 E s q u e m a s d e ra z o n a m ie n to 64
2 .7 P o s tu la d o s d e g e o m e tr ía 68
2.8 A lg u n o s p o s tu la d o s s o b re m e d ic ió n 72
C o n c e p to s im p o r ta n te s 76 R e s u m e n 77 E x a m e n 78 
Repaso de á lgebra 79
La geom etría en nuestro mundo
F o to g ra fía : le n te s 80
Razonamiento 
en geometría
43
2.1 El proceso del razonamiento
inductivo
44 R azonam ien to en geom etría
B.C. by perm ission o f Johnny H a rt and F ie ld E n terp rises, Inc.
El ra z o n a m ie n to es el p ro c e so m e d ia n te el cua l se sa c a n co n c lu sio n es a 
p a r t i r d e la in fo rm ac ió n . E n o casiones, la g en te s a c a c o n c lu s io n es b a sa d a s 
e n su s p ro p ia s o b se rv ac io n es. A l o b se rv a r v a r ia s veces q u e u n a acc ió n 
p ro d u c e el m ism o re su lta d o , se concluye , en g en era l, q u e esa acc ió n te n d rá 
s iem p re el m ism o re su lta d o . A e s ta c lase d e ra z o n a m ie n to se le llam a 
razonam ien to inductivo . Y a la c o n c lu s ió n q u e se sa c a del ra z o n a m ie n to 
in d u c tiv o se le lla m a generalización.
L os tre s e jem p lo s sig u ien tes m u e s tra n có m o p u ed e ap lica rse el 
ra z o n a m ie n to in d u c tiv o en g eo m etría .
Ejemplo 1 S u p ó n g ase q u e a lg u ien c o r tó , d e u n a h o ja de p ap e l, tre s 
tr iá n g u lo s d iferen tes.
L as e sq u in a s d e c a d a tr iá n g u lo se c o r ta ro n y c o lo c a ro n ju n ta s ta l co m o 
se m u e s tra a c o n tin u a c ió n .
¿Q u é se o b se rv a ace rca de la su m a de las m e d id a s de lo s án g u lo s? ¿Es 
eso c ie rto p a r a io d o s los tr ián g u lo s?
C o m p lé te se e s ta g en era lizac ión :
L a su m a d e las m e d id a s d e los á n g u lo s d e u n tr iá n g u lo es J L
2.1 El p roceso de l razonam ien to induc tivo 45
Ejemplo 2 S u p ó n g a se q u e a lg u ien m id ió to d o s los lad o s 
de tre s tr iá n g u lo s d iferen tes.
E n e s to s tr iá n g u lo s , la s u m a de la s lo n g itu d es d e d o s la d o s 
la lo n g itu d d e l te rc e r la d o . ¿E s ta l a firm ac ió n v e rd a d e ra p a ra 
trián g u lo s?
C o m p lé tese e s ta g en era lizac ión :
L a su m a de las lo n g itu d e s d e d o s la d o s de u n tr iá n g u lo es 
la lo n g itu d del te rc e r lado .
Ejemplo 3 S u p ó n g a se q u e a lg u ien t r a z a las b isec trices d e c ad a 
á n g u lo de tres tr iá n g u lo s d iferen tes.
¿Se e n c o n tra rá n to d a s las b isec trices de c a d a tr iá n g u lo en el p u n to P? 
¿E s esa a firm ac ió n v e rd a d e ra p a ra to d o s lo s trián g u lo s?
C o m p lé tese e s ta gen era lizac ió n :
L a s b isec trices d e los án g u lo s d e u n tr iá n g u lo j L en u n p u n to JL 
(que e s tá fuera , so b re o d e n tro ) d e l tr ián g u lo .
E l p ro c e so del 
ra z o n a m ie n to
in d u c tiv o p u e d e d escrib irse 
c o m o se m u e s tra aquí.
R azo n am ien to inductivo 
Paso 1 Se observa que una propiedad es verdadera 
para cada caso que se verifica.
Paso 2 D ado que la propiedad es verdadera en 
todos los casos verificados, se concluye 
que es verdadera para todos los demás 
casos y se establece una generalización.
es m a y o r q u e 
to d o s los
-L q u e
46 R azonam ien to en geom etría
EJERCICIOS________
A.
Com plétese la generalización de los ejercicios 1 y 2.
L Caso 1 Caso 2
E.C
A
G
F
2.
L A es un ángulo recto ¿ £ es un ángulo recto
En cada caso, ¿cuál de los tres lados del triángulo es el m ás largo?
Generalización: En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al 
ángulo recto es el lado JL.
Caso 1
C
D
A
Caso 3
Q
Y -X
D y E son puntos 
medios. ¿Qué relación 
hay entre DE y 0 8 ?
Q y R son puntos 
medios. ¿Qué relación 
hay entre QR e YZ1
P y Q son puntos 
medios. ¿Qué relación 
hay entre PQ e YZ1
Generalización: La m edida de un segmento de recta que une los puntos medios de 
dos lados de un triángulo es JL el tercer lado.
ACTIVIDADES!
Todas las cue rdas d e te rm in ad a s po r un con jun to de puntos 
en un c írcu lo d iv iden e l in te r io r de l c írcu lo en reg iones.
--------------- -------------- ---- j C l I I U I I I C I Ü
de re g iones pa ra 5, 6 y 7 puntos.
2. V e rifiq ú e se la p re d icc ió n d ib u ja n d o fig u ra s g randes 
(c írcu los de 20 cm de d iám etro , po r lo m enos) que 
m uestren la can tidad m áx im a de re g iones para 5, 6 y 7 
puntos.
Puntos
C antidad 
m áx im a de 
reg iones
1 0
2 2
3 4
4 8
5 -
6 -
7 _
Caso 3
L y e s un ángulo recto
2.1 El p roceso de l razonam ien to induc tivo 47
3.
Generalización: Si un triángulo es equilátero, entonces tiene 
ángulos J-.
4. C ada uno de los triángulos siguientes tiene dos lados 
congruentes. Trácense los triángulos isósceles y biséquense 
los ángulos form ados po r los lados congruentes. Obsérvese 
la relación que existe entre la bisectriz y el lado opuesto.
Generalización: En un triángulo con dos lados congruentes, la 
bisectriz del ángulo form ado por éstos es _! al
tercer lado. JL
5. Trácese A A B C con A B = B C = AC. 
Elíjase un punto P en el interior del 
triángulo y trácense las perpendiculares de 
P a los lados del triángulo. M ídanse h, a, b 
y c al m m más cercano. H ágase lo mismo, 
con puntos P diferentes, tan tas veces como 
sea necesario para form ular una 
generalización.
SOLUCION DE PROBLEMAS.
Este d iseño de cua tro p a lillo s re p re se n ta un espe jo con 
una m oneda en é l.
M uévanse só lo dos p a lillo s pa ra fo rm a r un espe jo del 
m ism o tam año que éste , pe ro de jando la m oneda (que no 
debe m overse) fu e ra de l espe jo .
Cada uno de los triángulos siguientes es un triángulo equilátero. 
M ídanse los ángulos. (Si es necesario, prolongúense los lados.) 
Cópiese y complétese la generalización.
2.2 Generalizaciones falsas 
y contraejemplos
E sta c a r ic a tu ra i lu s tra 
u n a s