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Índice
Capítulo 1 Triángulos 11
Capítulo 2 Líneas notables en el triángulo 19
Capítulo 3 Congruencia de triángulos 27
Capítulo 4 Aplicaciones de congruencia 35
Capítulo 5 Repaso 41
Capítulo 6 Polígonos 45
Capítulo 7 Cuadriláteros 52
Capítulo 8 Circunferencia 59
Capítulo 9 Ángulos en la circunferencia - Cuadriláteros inscriptibles 67
I Bimestre
Capítulo 10 Proporcionalidad y semejanza 74
Capítulo 11 Relaciones métricas 80
Capítulo 12 Polígonos regulares 89
Capítulo 13 Áreas de regiones triangulares 95
Capítulo 14 Áreas de regiones poligonales 101
Capítulo 15 Relación de áreas 107
Capítulo 16 Repaso 115
Capítulo 17 Áreas de regiones circulares 120
Capítulo 18 La recta en el plano cartesiano 127
II Bimestre
Geometría
Capítulo 19 Circunferencia 136
Capítulo 20 Parábola 141
Capítulo 21 Geometría del espacio (Ángulo diedro – triedro) 144
Capítulo 22 Geometría del espacio (poliedros regulares) 149
Capítulo 23 Repaso 157
Capítulo 24 Geometría del espacio (prisma – cilindro) 161
Capítulo 25 Geometría del espacio (pirámide – cono – esfera) 167
Capítulo 26 Puntos notables 175
Capítulo 27 Relaciones métricas 180
Capítulo 28 Repaso 185
III Bimestre
Capítulo 29 Áreas de regiones triangulares y poligonales 189
Capítulo 30 Áreas de regiones circulares relación de áreas 194
Capítulo 31 Repaso 199
Capítulo 32 Plano cartesiano – recta 204
Capítulo 33 Secciones cónicas circunferencia – parábola – elipse 208
Capítulo 34 Geometría del espacio 212
Capítulo 35 Repaso 217
Capítulo 36 Repaso bimestral 222
IV Bimestre
Introductorio
Ángulos
Es la figura geométrica determinada por la reunión de dos rayos no alineados que tienen el mismo origen.
A
B
O a Elementos
01. Vértice: O
02. Lados: OA y OB
1
2
3
Notación:
• Ángulo AOB: +AOB, AOBt
• Medida del ángulo AOB: m+AOB = a°
Clasificación de los ángulos por su medida
Ángulo agudo
a
0º < a < 90º
Ángulo recto
a
a = 90º
Ángulo obtuso
a
90º < a < 180º
Bisectriz de un ángulo
A
BO
q
q
bisectriz
bb
bisectriz
M L
Introductorio
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Ángulos adyacentes
a
q
a
b
c
d
a
b q
g
a + b + q + g = 180º a + b + q + g + f= 360º
a
b q
g
f
Observación
Ángulos complementarios
Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a
90º.
El complemento C(x) de un ángulo "x"
C(x) = 90º - x
a
b
a + b = 90º
Ángulos suplementarios
Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 180º.
El suplemento S(x) de un ángulo "x"
S(x) = 180º - x
a + q = 180º
a
q
Ángulos adyacentes suplementarios
A
B
CO
Los ángulos AOB y BOC también se les denomina par
lineal.
a
a q
q
A
B
CO
Las bisectrices de todo par lineal son perpendiculares
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos5
Ángulos opuestos por el vértice
a a
b
b
Alternos internos
a
b
a = b
Correspondientes
a
b
a = b
Conjugados
q
b
q + b = 180º
Observación
• Si: L L1 2'
a
b
q
a
b
c
L1
L2
a + b + q = a + b + c
• Si: L L1 2'
a
b
x
L1
L2
x = a + b
• Si: L L1 2'
a
b
q
f
w
L1
L2
a + b + q + w + f = 180º
• Si: L L1 2'
L1
L2
a1a2
a3
an
a1 + a2 + ... + an = 180º (n - 1)
Introductorio
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Práctica
BLOQUE I
01. Del gráfico, calcule el valor de "y" cuando "x" toma su
mínimo valor entero.
2x - y
x+y
y - x
a) 46º b) 88º c) 78º
d) 68º e) 64º
02. Si: m∠AOM=m∠MOB, m∠AON=m∠NOC,
m∠MON=20º, m∠BOC=?
A B
CO
M
N
a) 50º b) 60º c) 20º
d) 40º e) 30º
03. Si: m∠BOP = m∠POC, m∠AOP = 60º,
m∠POD-m∠COD=20º, m∠AOB=?
A P
DO
B
C
a) 30º b) 20º c) 40º
d) 10º e) 60º
04. Calcule x, si: L L1 2'
a
a
b b
x
110º
130º
L1
L2
a) 55º b) 60º c) 35º
d) 45º e) 30º
05. Calcule "x", L L1 2'
a
a
w
w
L1
L2
x 3x
a) 18º b) 36º c) 12º
d) 24º e) 32º
06. Calcule el valor de "x"
O a
a
q
q
N
M
x
100º
a) 170º b) 175º c) 185º
d) 165º e) 160º
07. Si: L L1 2' , calcule: x
2q
2x
2w
q
x
w
L1
L2
a) 70º b) 48º c) 60º
d) 40º e) 72º
08. Si: a b' y el DABC es acutángulo. Calcule el máxi-
mo valor entero de "x"
A
B
C
a
bx
150º
a) 61º b) 60º c) 59º
d) 58º e) 57º
Geometría
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09. En la figura, L L1 2' y a - b=40º. Calcule a y b
a
b
80º
L1
L2
a) 70º y 30º b) 50º y 10º c) 80º y 40º
d) 60º y 20º e) 75º y 35º
10. En la figura, L L1 2' . Calcule el valor de "x".
5x
3x
a
a
b
b
m
m
n
n
L1
L2
a) 20º5' b) 22º c) 22º30'
d) 24º20' e) 25º10'
11. En la figura, L L1 2' y m + n = 250º. Calcule "x"
a
a
b b
n
x
m
L1
L3
L2
a) 55º b) 45º c) 50º
d) 40º e) 44º
12. En la figura, L1//L2// L3 y w - q=40º, Calcule "x"
a
a
b
b
q
x
w L1
L3
L2
a) 80º b) 70º c) 75º
d) 90º e) 60º
13. En el gráfico, calcule el máximo valor entero de "y".
x - 2y 3y + x
a) 50º b) 35º c) 41º
d) 40º e) 52º
14. Si: L L1 2' , calcular: "a"
a
2a
3a
4a
L1
L2
160º
a) 16º b) 20º c) 5º
d) 0º e) 15º
15. Se tiene el par lineal. Calcule el máximo valor de "y"
P
Q
RO
x - 2y 3y
a) 45º b) 50º c) 59º
d) 61º e) 60º
Introductorio
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Tarea domiciliaria
01. Si el doble del suplemento de un ángulo, aumentado
en su mitad coincide con el ángulo. Calcule el com-
plemento del ángulo mitad.
a) 12º b) 14º c) 16º
d) 18º e) 20º
02. El complemento de la diferencia entre el suplemento
y el complemento de un ángulo es
a) 15º b) 60º c) 90º
d) 0º e) 5º
03. Sean los ángulos consecutivos AOB y BOC, se trazan
las bisectrices OM del m∠AOC y ON del ∠BOC. Si
∠MON mide 20º.
Calcule: m∠AOB
a) 30º b) 32º c) 36º
d) 40º e) 45º
04. El complemento de la diferencia que existe entre el
suplemento de un ángulo y su complemento es igual
a los
5
4 de la diferencia que existe entre el suplemen-
to y el suplemento del suplemento del mismo ángulo.
Calcule la medida del ángulo.
a) 80º b) 85º c) 90º
d) 70º e) 75º
05. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y
COD, luego se trazan las bisectrices OX de AOB y
OY de COD, si m∠AOC=25º, mXOY=45º
Calcule: m∠BOD
a) 56º b) 60º c) 58º
d) 65º e) 70º
06. En un plano alrededor del punto O se trazan los rayos
OA , OB, OC, OD y OE , de modo que los ángulos
AOB, BOC, COD, DOE, y EOA; son proporcionales
a 1, 2, 3, 4 y 5.
Se trazan OX y OY bisectrices de los ángulos COD
y DOE.
Calcule: m∠XOY
a) 42º b) 66º c) 84º
d) 90º e) 96º
07. Del gráfico, calcular el valor de la razón aritmética
entre x e y, cuando "x" toma su mínimo valor entero.
5x
x - y
2y+x
a) 8º b) 3º c) 4º
d) 5º e) 6º
08. Se tienen ángulos consecutivos AOB, BOC y COD
cuyas medidas están en progresión aritmética de ra-
zón "r". Si: OA y OD son rayos opuestos. Calcule
la medida del ángulo formado por las bisectrices del
mayor y menor ángulo.
a) 120º b) 130º c) 110º
d) 125º e) 105º
09. Si los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD se en-
cuentran en progresión aritmética. Si: m∠AOD=102º
Calcule: m∠BOC
a) 64º b) 36º c) 51º
d) 27º e) 34º
10. La media geométrica de dos ángulos es 4º y la media
armónica
17
32 ¿Cuánto mide el menor de ellos?
a) 16º b) 32º c) 10º
d) 1º e) 2º
11. Dados los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que
m∠AOB=xº y m BOC
x
1
c
+ = Calcule la medida del
∠AOC; sabiendo que es lo mínimo posible.
a) 1º b) 2º c) 1,5º
d) 3º e) 2,5º
12. En la figura, calcule "x"
a a
x
80º80º
35º
170º
a) 55º b) 60º c) 65º
d) 70º e) 75º
13. Del gráfico, calcule el mayor valor entero de "x", si el
triángulo ABC es acutángulo.
A
B
C
x
32º
L1
L2
a) 50º b) 44º c) 56º
d) 57º e) 58º
Geometría
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14. En el gráfico L L1 2' ; calcule:
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6, si: a + b + q = 120º
a b q
L1
L2
a1
a4
a2
a5
a3
a6
a) 270º b) 300º c) 360º
d) 600º e) 420º
15. En el gráfico "y" asume su mayor valor entero. Calcu-
le el valor de "y"
A
B
CO
y-2x x+2y
a) 69º b) 70º c) 71º
d) 72º e) 73º
16. Si: L L1 2' y la medida del ángulo ABC es agudo,
calcule el menor valor entero impar de "x"
A B
C
a a
b
b
x
L1
L2
D
E
a) 46º b) 47º c) 45º
d) 43º e) 44º
17. Calcule la razón aritmética del máximo y mínimo va-
lor entero que puede tomar "x", si "a" es la medida
del ángulo agudo, en el gráfico L L1 2'
a
x
L1
L2
83º
a) 90º b) 85º c) 87º
d) 88º e) 86º
18. Si L L1 2' , q es agudo. Calcule el mínimo valor en-
tero de a
a
a
b
b
q
30º L1
L2
30º+b
a) 89º b) 44º c) 46º
d) 31º e) 61º
19. En el gráfico mostrado, calcule "b", de tal manera que
"q" sea la medida de un ángulo máximo.
q = [116 - x (x + 4)]º
bq
a) 60º b) 58º c) 75º
d) 62º e) 56º
20. Según la figura: 2a - b > 38º, calcular el mínimo va-
lor entero de x, si: L L1 2'
a 2a
b
b q
q
x
L1
L2
a) 112º b) 119º c) 129º
d) 132º e) 138º
Introductorio
www.trilce.edu.pe10
1 Triángulos
Definición
A
B
CE H
F
Elementos
01. Vértices: A, B, C
02. Lados: ,AB BC y AC
03. Ángulos
1
2
3
Interiores: , ,A B C+ ++
Exteriores: , ,EAB FBC BCH+ + +
1
4
4
2
4
4
3
Notación: DABC, TABC, etc.
Se denomina región triangular a la reunión de los
puntos interiores con el conjunto de puntos de sus
lados.
Observación
Propiedades básicas
01.
aº
º
wº
aº + qº + wº = 180º
02.
e1
%
e2
%
e3
%
e e e 3601 2 3 c+ + =
% % %
03.
aº
bº
qºxº
yº
zº
x = bº + qº
y = aº + qº
z = aº + bº
04.
a
b c
b - c < a < b + c
Geometría
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05.
x = a + q + g
a
q
g
x
06.
a
b
c
d
a + b + c + d + e = 180º
e
07.
A
B
C
a
b
q
a
b
c
Si: c a
b c
< <
> >
"
"
θ α
β θ
)
Si: c b
b a
< <
> >
"
"
θ β
β α
)
08.
a
b c
d
a + b = c + d
09.
a
b
cx
x = a + b + c
10.
x + y = a + b
a
b
x
y
11.
A
B
C
D
AB + BC > AD + DC
12.
p < PA + PB + PC < 2p
A
B
C
P
p: semiperímetro del DABC
13.
A
B
C
a
b
c
b2 = c2 + a2
b > a
b > c
14. T. Acutángulo (a < 90º)
a
b
c
a
a2 < c2 + b2
15. T. Obtusángulo (a > 90º)
a
b
c
a
a2 > c2 + b2
Capítulo
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01
Problemas resueltos
01. En la figura, AB = AC = CD. Calcular: x
A
B
C
q
x
D
2x-q
2xq
A
B
C
q
x
D
2x-q
180º-4x
x+q
3x-q
Resolución
• Prolongamos BA → m∠ externo en A=3x - q
• Unimos B con C, m∠ABC = m∠BCA = 2x
• D BCD: BC = CD
• D ABC: equilátero
⇒ 2x = 60º
x = 30º
x
02. Del gráfico mostrado: AB = BP = PQ = QC. Calcular: q
P
Q
4q
q
C
B
A
P
Q
2q
2q
3q 3q
4q
q q
C
B
A
Resolución
• D ABP: 10q = 180º
q = 18º
x
Geometría
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03. En la figura, AB < FC; BC = FC. Calcular: x, si es un número entero.
x
4º
F C
B
A
x
4º
F C
B
A
4º+x
4º+x
172º-2x
Resolución
• Sabemos: 4 + x < 90º ⇒ x < 86º
• Si: AB < FC; AB < BC
⇒ 172º - 2x < 4º
172º - 4 < 2x
x > 84º
• Luego: 84º < x < 86º
x = 85º
x
Capítulo
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01
Práctica
01. Calcular "x" en función de a, b y c.
a
b
c
x
a) c - a + b b) a - b + c c) a b c
3
+ +
d) c - a - b e) c - 2(a + b)
02. En la figura; AB = BC = CD
Calcular la medida de "x"
A
B
C
2x
x60º D
a) 80º b) 50º c) 60º
d) 40º e) 20º
03. Calcular "x", si: PQ = PM
P
Q R
M
N
x
80º 40º
50º
a) 45º b) 40º c) 30º
d) 37º e) 60º
04. Calcular "x", si: AB = BC = AD
A
B
Cx
100º
60º
D
a) 50º b) 60º c) 70º
d) 80º e) 75º
05. Los lados de un triángulo isósceles miden 9m y 19m
calcular su perímetro.
a) 37m b) 48m c) 50m
d) 47m e) 37m y 47m
06. Si: AC = AB, AE = AD. Calcular "x"
A
B
C
x
20º
D
E
a) 5 b) 10 c) 15
d) 20 e) N.A.
07. Calcular "x", si: RS = 5; QR = PQ = 8; PS = 13
P
Q
R
x
60º
S
a) 100º b) 90º c) 75º
d) 110º e) 120º
08. En la figura, calcular los valores enteros que puede
tomar "x"
3x+6
12
2x
a) 3; 4 y 5 b) 2; 3 y 4 c) 4; 5 y 6
d) 3 y 4 e) 2; 3; 4; 5 y 6
09. ¿Cuál es el menor valor entero que puede tomar "x"?
7 x+2
a) 4 b) 7 c) 5
d) 6 e) 3
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos15
10. En un triángulo ABC, se traza BP ("P" está en AC) de
tal manera que: BP = PC
Calcular la medida del ángulo ABC, sabiendo ade-
más que: m∠ABP - m∠BAC = 40º
a) 90º b) 100º c) 110º
d) 80º e) 180º
11. En la figura, determinar el menor valor entero de "K"
K
12
9+K
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 1
12. En la figura, ¿cuál es el segmento que tiene mayor
longitud?
A B
C
80º
46º
47º
50º 65º
D
E
a) AB b) BE c) ED
d) AC e) BD
13. Exteriormente al triángulo isósceles ABC (AB = BC)
se traza el triángulo equilátero BCD.
Calcular: m∠CAD
a) 10º b) 18º c) 25º
d) 30º e) 45º
14. En un triángulo ABC; se traza BP ("P" está en AC) de
tal manera que AB = BP = PC
Hallar la m∠ABP, si: m∠BCA = 40º.
a) 10º b) 20º c) 30º
d) 40º e) 50º
15. En un triángulo ABC (AB = BC) se ubica el punto "D"
en AB, tal que: CD = AC
Hallar m∠CBA, si: m∠DCA = 25º
a) 20º b) 50º c) 25º
d) 15º e) 12º30'
Capítulo
www.trilce.edu.pe16
01
Tarea domiciliaria
01. En la figura, calcular "q"
50º
11q
12q
a) 12º b) 10º c) 15º
d) 18º e) 5º
02. Calcular "b", si: AB = BE = EC
A
B
C
b
32º
E
a) 92º b) 86º c) 96º
d) 78º e) 84º
03. Si: aº + bº = 240º, calcular m∠ACB
A
BC
a
b
a) 60º b) 70º c) 80º
d) 50º e) 40º
04. Si: AB = BE = EC, calcule m∠ABC
A
B
C
40º
E
a) 65º b) 60º c) 80º
d) 75º e) 55º
05. Calcular el máximo valor entero de "x"
x
a) 14º b) 16º c) 15º
d) 12º e) 18º
06. En un triángulo ABC; donde A=60º, sobre AC y BC
se ubican los puntos D y E respectivamente, de tal
manera que: AD ≅ EB ≅ BA y m∠BED = m∠EBA.
Hallar: EDC
a) 50º b) 20º c) 18º
d) 30º e) 40º
07. Calcular el máximo valor entero de "x"
x
9
6
a) 16 b) 15 c) 12
d) 13 e) 14
08. Si: CD = BD, hallar: m∠ABD
A
B
C
80º 40º
D
a) 20º b) 60º c) 40º
d) 30º e) 10º
09. Calcular la relación correcta para "x"
x
9
1711
5
a) 7 < x < 13
b) 4 < x < 28
c) 6 < x < 14
d) 4 < x < 14
e) 6 < x < 28
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos17
10. Si: a > 90º, AC es un número entero. Calcular la
suma del máximo y mínimo valor entero que puede
tener "x"
A
B
C
a
x
D8
10
2
a) 18 b) 19 c) 20
d) 21 e) 22
11. En el siguiente gráfico calcular "x", si: AD=BD=DC
A
B
C
x
D
a) 60º b) 30º c) 45º
d) 50º e) 40º
12. Si el triángulo ABC es equilátero y BD = BC. Calcu-
lar "x"
A
B
C
x
4x
D
E
a) 14 b) 16 c) 18
d) 20 e) 24
13. En la figura, AB = AD = DC. Calcular "x"
A
B
C
D
26x
6x
4x
a) 3º b) 5º c) 8º
d) 2º e) 4º
14. Del gráfico, calcular "x"
a
2a 2b
b
q q
x
w w
a) 40 b) 20 c) 30
d) 45 e) 52
15. Los lados de un triángulo miden 14; x - 4 y x + 6.
Calcular el menor valor entero que puede tomar "x".
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
16. En un triángulo obtusángulo ABC; obtuso en "B";
AB=2; BC=8. Calcular
la medida de AC si es nú-
mero entero.
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
17. En un triángulo ABC se conoce que: AB=8 y BC=6.
Calcular el mínimo valor entero de AC si la medida
del ángulo B es mayor de 90º
a) 9 b) 10 c) 11
d) 8 e) 12
18. En un triángulo ABC; M en AB, N en AC, AB=AC,
ACB = 70º y BM ≅ MN ≅ AN. ¿Cuánto mide el án-
gulo MBN?
a) 20º b) 30º c) 10º
d) 15º e) 18º
19. En un triángulo PQR, m∠QPR=80º, m∠PQR=40º.
Además D ∈ PQ, m∠PRD=50º y E∈QR, tal que:
PR=RE
Calcule la m∠EDQ.
a) 90º b) 80º c) 100º
d) 110º e) 120º
20. Se tiene un triángulo ABC, m∠B=78º, exteriormente
y relativo al lado AC se ubica el punto D, tal que la
m∠DAB=81º y m∠ADC=141º
Calcular la m∠ACD, si: BC = CD
a) 10º b) 9º c) 18º
d) 20º e) 30º
Capítulo
www.trilce.edu.pe18
01
2 Líneas notables en el triángulo
Mediana
A
B
CMb b
BM: mediana
Bisectriz
a a
q
q
L
A A
B B
C C
BI: bisectriz interior L : bisectriz exterior
I
Altura
HA F
AB
BC C
BH: altura AF: altura
Mediatriz
L
b bA
B
C
L: mediatriz de AC
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos19
Ceviana
EFA A
B B
C C
BF: ceviana BE: es ceviana exterior
Relaciones angulares
01.
a
a qq
x
B
+x B90
2
c c=
02.
90x B
2
c c= -
a
a q
q
x
Bº
03.
a
a
q q
x
Bº
x B
2
c=
04.
H IA
B
C
bºaº
xº x
2
c
c c
=
α β-
BH: altura
BI: bisectriz del ángulo ABC
Puntos notables
Ortocentro
Punto de concurrencia de las alturas o sus prolongaciones,
en un triángulo.
Ejemplo:
A
B
C
H
H: Ortocentro del DABC
Baricentro
Punto de concurrencia de las medianas en un triángulo.
Ejemplo:
A
B
C
D
E
F
G
G: Baricentro del DABC
BG = 2(GF)
AG = 2(GE)
CG = 2(GD)
Capítulo
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02
Incentro
Punto de concurrencia de bisectrices interiores de un
triángulo.
Ejemplo:
b b
a a
q
q
I
A
B
C
I: Incentro del DABC
Excentro
Punto de concurrencia de dos bisectrices exteriores con
una interior.
Ejemplo:
A
B
C
b
b
a
a
q
q
E
E: Excentro relativo a BC del DABC
Circuncentro
Punto de concurrencia de las mediatrices de los lados de un triángulo.
Ejemplo:
O
A
B
C O: Circuncentro del DABC
Propiedades
01.
a a qqa
b
x
x a b
2=
+
02.
aa
q q
a
b
x
x a b
2=
+
03.
b
baa
q q
m
x
w w
x m45
4
c= -
04.
A C
O
y
x
B
O : circuncentro
x = 2y
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos21
Problemas resueltos
01. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), se traza la altura AH. Calcular m∠HAC, si: m∠B=80º.
x
80º
50º
A
B
C
H
Resolución
• Si: AB = BC
⇒ mA mC 50c= =t t
• D AHC: x + 50º = 90º
x = 40º
02. En un triángulo ABC; la medida del ángulo A excede a la medida del ángulo C en 36º. Hallar la medida del mayor
ángulo formado por la mediatriz de AC con la bisectriz del ángulo exterior B.
P
Q
a
M
xB
CA
T
18º+a
18º+a
36º+a
90º-a
90º-a
Resolución
• m∠ TBX = 36 + 2a
• m∠ BPQ = 90º - a
• D BQP: x = 18º + a + 90º - a
x = 108º
03. En un triángulo ABC (B = 90º), se traza la altura BH, la bisectriz del ∠HBC intersecta en P a HC. Si: AB=5, hallar
el máximo valor entero de BP.
P
2a
a
a
q
q
x
H
5
C
B
A
a+q
Resolución
• m∠ ABH = m∠C=q
• m∠ A = m∠HBC = 2a
• D ABP: isósceles, AB = AP = 5
• ABP:
5 - 5 < x < 5 + 5
0 < x < 10
xmáx = 9
Capítulo
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02
Práctica
01. En el gráfico, calcular "x"
b b
q q
4x8x
a) 10º b) 12º c) 15º
d) 18º e) 20º
02. En el gráfico, calcular "x"
3a3b b a
x
x
100º
a) 10º b) 12º c) 16º
d) 18º e) 20º
03. Calcular : x
A
B
C
a
a
x
w
w 160º
a) 80º b) 100º c) 60º
d) 120º e) 70º
04. En un triángulo ABC, calcular la medida del ángulo
formado por las bisectrices interiores de los ángulos A
y C, sabiendo que la suma de los ángulos exteriores
de A y C es 260º
a) 120º b) 130º c) 110º
d) 100º e) 140º
05. En el gráfico mostrado, calcular: x
A
B
C
b
b
x
w
w 80º
D
E
a) 70º b) 85º c) 120º
d) 95º e) 130º
06. El ángulo que forman las bisectrices interiores de los
ángulos A y C del triángulo ABC mide 46º. Hallar la
medida del Bt .
a) 92º b) 98º c) 88º
d) 78º e) 64º
07. En un triángulo ABC, m∠A + m∠C = 85º; se traza la
altura BH, luego se trazan las perpendiculares HM y
HR a los lados AB y BC. Calcular la m∠MHR.
a) 95º b) 85º c) 90º
d) 70º e) 87º
08. En el gráfico, calcule: m∠MRP
P
Q
R
2a
2q
a a
q
q
M
N
48º
a) 126º b) 133º c) 123º
d) 124º e) 125º
09. En el gráfico adjunto: a + b + q + w = 150º
Calcular: x
b
a
q
a
a
b
b
x
w
a) 100º b) 105º c) 110º
d) 115º e) 120º
10. AM es una mediana de un triángulo ABC de baricen-
tro "O". Si: (AO) . (OM) = 32. Calcular : AM
a) 6 b) 8 c) 12
d) 16 e) 15
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos23
11. En el gráfico, calcular "x"
q q
a
a
5x7x
a+x
a) 20º b) 10º c) 12º
d) 15º e) 18º
12. En un triángulo rectángulo ABC (m∠B=90º) se traza
la bisectriz BD. Hallar la medida del ángulo formado
por las bisectrices de los ángulos BAC y BDC al cor-
tarse.
a) 25º b) 30º c) 45º
d) 22º30' e) 15º
13. En un triángulo rectángulo ABC cuyo ángulo interior
C mide 20º, se trazan sobre la hipotenusa AC la altura
BH y la bisectriz BD del ángulo ABC
Calcule la medida del ángulo HBD
a) 15º b) 20º c) 25º
d) 30º e) 35º
14. En el triángulo rectángulo ABC (recto en B) se traza la
altura BH y la bisectriz interior AQ que se cortan en P,
tal que: BP = PQ. Hallar: m∠C
a) 20º b) 30º c) 40º
d) 50º e) 60º
15. En un triángulo acutángulo dos de sus lados suman
28u, calcule el mayor valor entero que puede tomar
la altura relativa al tercer lado.
a) 11u b) 12u c) 13u
d) 14u e) 15u
Capítulo
www.trilce.edu.pe24
02
Tarea domiciliaria
01. En el gráfico AE es una bisectriz, calcular: x
x
120º
40º
E
A
B
C
a) 50º b) 80º c) 60º
d) 70º e) 45º
02. En la figura, calcular: x, si: AB = BC
A
B
C
q q
x
28º
a) 75º b) 76º c) 70º
d) 65º e) 80º
03. En el gráfico, calcular: x
q
q aa
x
120º
A
B
C
a) 30º b) 20º c) 40º
d) 50º e) 60º
04. Calcular "x" si AD es bisectriz interior del ángulo BAC,
DC = CE
A
B
C
2x
x
D
E
a) 30º b) 36º c) 40º
d) 45º e) 50º
05. Calcular: x
q q
a a
x3x
20
º
a) 10º b) 15º c) 20º
d) 30º e) 40º
06. En la figura, BE es bisectriz exterior del triángulo
ABC, si AB = 5u y BC = 8u.
Calcular: AE
A
B
C
2q4q
E
a) 10u b) 11u c) 12u
d) 13u e) 14u
07. En la figura, calcular: x, si BF es bisectriz exterior del
DABC y AE = EC
x 32º
E
FA
B
C
a) 64º b) 48º c) 32º
d) 70º e) 60º
08. En la figura, calcular: x
b
b
q
q
ax
65º
x+a
a) 10º b) 15º c) 20º
d) 25º e) 30º
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos25
09. Calcule: m∠MLN, si: m∠BAC = 80º
A
B
C
b
bq
q
a a
M
N
L
w
w
a) 10º b) 15º c) 20º
d) 25º e) 30º
10. En la figura; AC = AB, calcular: BD. Si: CD = 13 y
BE = 4
A
B
C
q
q
a
a
D
E
a) 8 b) 9 c) 7
d) 6 e) 6,5
11. En un triángulo ABC la medida del ángulo formado
por la bisectriz interior del ángulo A, y la bisectriz ex-
terior del ángulo C es siete veces la medida del ángu-
lo B, calcule la medida del ángulo B
a) 12º b) 18º c) 24º
d) 36º e) No existe
12. En un triángulo acutángulo ABC se traza la altura BH.
Las bisectrices de los ángulos BAH y HBC se inter-
sectan en "P"
Calcule la m∠APB, si: m∠ABC = 70º
a) 95º b) 100º c) 105º
d) 110º e) 120º
13. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BI y
en su prolongación se ubica el punto "M" de modo
que: IC = MC. Si: m∠BAC - m∠BCA = 30º
Calcule la m∠ICM
a) 40º b) 60º c) 35º
d) 30º e) 45º
14. En un triángulo ABC se traza la ceviana BD (D ∈ AC).
Si I y H son incentros de los triángulos ABD y BDC
respectivamente. Hallar m∠ABC, si:
m∠AID + m∠DHC = 260º
a) 160º b) 100º c) 150º
d) 140º e) 130º
15. El ángulo que forman las bisectrices exteriores de los
ángulos P y Q miden 64º. Calcular m∠RPQ. Si en el
triángulo PQR: PQ = PR
a) 42º b) 62º c) 76º
d) 78º e) 64º
Capítulo
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02
3 Congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes, si tienen sus lados y ángulos respectivamente de medidas iguales.
A P
B Q
C R
a a
b b
c c
m ∠ A = M ∠ P AB = PQ
m ∠ B = m ∠ Q BC = QR
m ∠ C = m ∠ R AC = PR
DABC ≅ DPQR
"No es necesario que los tres lados y los tres ángulos sean de medidas iguales para determinar que dos triángulos sean
congruentes".
"Es necesario y suficiente que tres elementos del primer triángulo sean congruentes a otros tres respectivos elementos
del otro triángulo. Por lo menos uno de estos tres elementos debe ser un lado".
Postulados para la congruencia de triángulos
Primer caso
(Postulado A - L - A) un lado y los ángulos adyacentes a él.
,
q qa a
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos27
Segundo caso
(Postulado L - A - L) Un par de lados y el ángulo entre ellos.
,
a a
Tercer caso
(Postulado L - L - L) tres lados.
,
Cuarto caso
(Postulado L - L - A) dos lados y el ángulo que se opone al mayor de dichos lados.
a a,
Capítulo
www.trilce.edu.pe28
03
Problemas resueltos
01. Del gráfico, calcular "x", si: AB = CD
x
50º
65º
DA
B
C
E
x
x50º
50º 50º
65º
65º
DA
B
C
Resolución
• Trazar: DE = DB (E ∈ BC)
• m∠BDE = 50º
• D ABD ≅ D EDC (LAL)
• Propiedad: m∠C = 50º
⇒ D DEC: x + 50º = 65º
x = 15º
02. Del gráfico, calcular: x
x
20º2
0º
10º10
º
E
A
B C
D
70º80º
x
x
20º2
0º
10º10
º
E
A
B C
D
Resolución
• D BDC: BD = DC
• D ABD ≅ D CDE (ALA)
• Propiedad de congruencia: AD = ED
• D ADE:
2x + 20º = 180º
x = 80º
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos29
03. De la figura; AB = CD; AC=BE. Calcular: q
A
B
C
q
35º
45º
50º
D
E
A
B
C
q
35º
45º
50º
D
E
Resolución
• D ADE: isósceles
m∠AED = 50º (AD = AE)
• D ABE ≅ D ADC (LLL)
• Propiedad: AD = ED
• D ADE: m∠AEB=35º
⇒ 35º + q = 50º
q = 15º
Capítulo
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03
Práctica
01. Calcule: x
a
ab
b
x
20º
20ºA
B
D
E C
a) 15º b) 10º c) 20º
d) 25º e) 35º
02. En el gráfico, AP=QC, calcule: x
A
B
C
P
Q
q
q
x
20º
45º
a) 35º b) 20º c) 15º
d) 25º e) 30º
03. En la figura: AB=BC, AE=CD, mBED mBDE=
% % .
Calcular la medida de 2x, si m BAC x3] = y
m CAE x2] =
A
B
C D
E
a) 40º b) 60º c) 30º
d) 45º e) 20º
04. En el gráfico mostrado, calcular "x" siendo los triángu-
los ABC y EFC equiláteros.
A
B
Cx
E
F
12º
a) 12º b) 24º c) 36º
d) 48º e) 30º
05. Si: AB = BC, calcular "AN", si: BM = 4
A
B
C
M
N
a) 4 b) 4 2 c) 3
d) 3 2 e) 5
06. Si: ABCD es un cuadrado, calcular "x"
A
B C
x
16º
D
a) 70º b) 72º c) 74º
d) 79º e) 80º
07. Calcular "PQ", si: ABCD es un cuadrado, AP=3 y
CQ=7.
A
B C
P
QD
a) 8 b) 10 c) 12
d) 6 e) 9
08. Si: EF=FN; EP=4 y MP=3, calcular "MN"
P
M N
E
F
a) 8 b) 6 c) 7
d) 11 e) 10
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos31
09. Calcular "AQ", si: AB = CQ y AB + PQ = 24
P
QA
B
C
a
a a
a) 12 b) 16 c) 18
d) 24 e) 28
10. Si: AC = AE; BF = 7u y FC = 5u, calcule: EF
A
B
CD
E
F
a) 12u b) 15u c) 17u
d) 19u e) 24u
11. Si: BF = BC y AF = EC, calcular "x"
A
B
Cx
130º50º
E
F
a) 60º b) 50º c) 70º
d) 80º e) 75º
12. Calcular a
A
B
C
2a
6a
8a
E
a) 20º b) 12º c) 15º
d) 10º e) 18º
13. En la figura, AB = BC, los triángulos ABE y BCD son
equiláteros, calcular: m∠EDC
A
B
C D
E
a) 15º b) 18º c) 30º
d) 24º e) 20º
14. Calcular "x", si: AD = BC
A
B
C
x
40º
70º
D
a) 20º b) 40º c) 30º
d) 50º e) 18º
15. Calcular "x", si los triángulos AFB y BEC son equilá-
teros.
A
B
C
x
F
E
a) 60º b) 90º c) 110º
d) 120º e) 150º
Capítulo
www.trilce.edu.pe32
03
Tarea domiciliaria
01. Si: BP=4, PQ=7 y AB=BC
Calcular : AP + QC
A
B C
P
Q
a) 11 b) 8 c) 14
d) 15 e) 18
02. Si: BC=CE; AC=CD y m∠BAC = 32º
Calcular "x"
A
B
C
x
D
E
a) 118º b) 104º c) 108º
d) 148º e) 138º
03. En el gráfico, calcule a, siendo AB=CD
A
B
C
a
a
D
a) 45º b) 40º c) 37º
d) 30º e) 25º
04. Si: AB=BC, AM=3 y CN=5, calcular : MN
A
B
C
M
N
a) 13 b) 11 c) 6
d) 10 e) 8
05. Si: AF=EC; EF=8u y FB=5u. Calcular: AC
A B
C
D
F
E
a) 16u b) 18u c) 15u
d) 17u e) 13u
06. En el gráfico, las regiones ABP y PHC son congruen-
tes, calcule:
PB
PC
P
HA
B
C
a) 2 b) 3 c) 4
d)
2
3 e)
2
5
07. Calcular "a" en la figura:
4aq
q68º
a) 34º b) 17º c) 24º
d) 18º e) 19º
08. Si: BC = CE; AB = 7 y ED = 9
Calcul: AD
A
B
C
a
a a
D
E
a) 7 b) 9 c) 16
d) 18 e) 14
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos33
09. En el gráfico: BC - AB=6u y AP=QC. Calcule: PQ
A
B
C
P
Q
b
b
q q
a) 2u b) 4u c) 6u
d) 3u e) 5u
10. Si: AC=BE, BC=CD, CDE es equilátero, calcular: x
A
B
C
x 20º
D
E
a) 45º b) 40º c) 20º
d) 30º e) 50º
11. Los triángulos ABC y AED son equiláteros, calcular:
BD. Si: CE=12cm
A
B
C
D
E
a) 12 cm b) 6 cm c) 8 cm
d) 18 cm e) 24 cm
12. En la figura mostrada, calcular: a, si: EC=2AB
A
B
C
a
a
E
a) 30º b) 60º c) 26º30'
d) 22º30' e) 18º30'
13. Calcular: CH, si: AM = MC; AH=5 cm y HM=6 cm
M
H
A
B
C
a) 11 cm b) 12 cm c) 13 cm
d) 14 cm e) 15 cm
14. En el gráfico: AB=BC, QC=1u y PQ=2u
Calcule: AQ
A
B C
P
Q
a) u11 b) 3u c) u2 3
d) u13 e) 4u
15. Si ABC es equilátero y BQ = AR
Calcular: x
Q
R
xS
A
B
C
a) 50º b) 60º c) 40º
d) 90º e) 45º
16. En un triángulo equilátero ABC se trazan las cevia-
nas interiores AN y BD que se intersectan en "R". Si:
m∠BRN=60º, AD=3 m y BN=7 m
Calcular: AB
a) 4u b) 8u c) 12u
d) 14u e) 10u
17. En un triángulo equilátero ABC se trazan las cevianas
AR y BQ, tal que: AQ = CR. Hallar:
BQ
ARc m
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 3
1
18. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza
la altura BH, en el triángulo BHC se traza la ceviana
interior HM de tal manera que MC=AB
Hallar: m∠MHC. Si: HC=BH + 2AH
a)
2
53 b)
2
37 c) 53º
d) 37º e) 30º
19. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, sobre AC se
construye exteriormente el triángulo rectángulo isós-
celes CDA. Hallar la distancia de "D" a BC. Siendo:
AB=4, BC=8
a) 8 b) 6 c) 5
d) 7 e) 10
Capítulo
www.trilce.edu.pe34
03
4 Aplicaciones de congruencia
Teorema de la bisectriz de un ángulo Teorema de la recta mediatriz de un segmento
O aa
H
F
E
EF EH
OF OH
,
,
A B
P
b b
PA = PB
El DAPB es isóceles.
Teorema de los puntos medios Teorema de la menor mediana en el triángulo rectángulo
A
B
C
M N
a
a
c
c
MN AC
2=
MN : base media
MN // AC
BM AC
2=
A
B
CM
b
b b
En el triángulo isósceles
A
B
C
H
F G
E
Si: AB = BC
AH = EF + EG&
P
Q
S
A
B
C
H
Si: AB = BC
CH = PQ - PS&
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos35
Triángulos notables
• De 30º y 60º
a
30º
60º
2a
a 3
• De 45º y 45º
b
b
45º
45º
b 2
• De 37º y 53º
37º
53º
3k
4k
5k
• De
2
53c
53º/2
n
2n
• De
2
37c
37º/2
L
3L
• De 15º y 75º
a
15º75º
h
h a
4=
• De 30º y 75º
h b
2=
b
30º75º
h
•
a
8º
82º
5 2 a
7a
•
16º
74º
25b7b
24b
•
n
14º
76º
4n
n 17
Capítulo
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04
Problemas resueltos
01. En un triángulo ABC se traza la mediana AM y la altura BH que triseca el ángulo B. Hallar m∠HBC.
B
C
P
aa
a
M
a
a aH
1424314243
2a 2a
Resolución
• Trazar MP ⊥ BC
• HB = BP y HM = MP = a
• D PMC: 30º y 60º
• m∠C = 30º
m∠HBC = 60º
02. Si: AE=22 y EC=26, calcular: BE.
A C
4qq
E
B
2q
2q
M
x
x
22 6
A C
4qq
q
E
B
123
Resolución
• Trazar mediana BM relativa a AC (AM = MC)
• AM = MC = MB ... (propiedad)
• D ABC:
AM = MC
22 - x = 6 + x
2x = 22 - 6
x = 8
03. En un cuadrado ABCD, "F" es punto de AB y "M" es punto medio de CF tal que: CD = DM, calcular: m∠ADM.
P
2a 2a
M
Na a
a
x
30º
60º
F
A
B C
D
Resolución
• D DMC: isósceles DM = DC = 2a
• Trazar mediana MN ⊥ BC (N ∈ BC)
• BN = NC = a
• Trazar MP ⊥ CD (P ∈ CD)
• MP = a y D MPD es notable de 30º y 60º
x + 30 = 90º
x = 60º
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos37
Práctica
01. En la figura mostrada, calcular: x
Si: BM=MA y AP=PC
CP
Q
M
B
N
x
80º
A
a) 10º b) 20º c) 30º
d) 25º e) 15º
02. En la figura, si: AM=MB y BC=2CM, calcular q
a) 32º B
C
2q
q
M
A
b) 37º
c) 36º
d) 24º
e) 18º
03. En la figura: AB=8; BP=BC=5 y m∠BAC=30º
Calcular: PC
a) 2
P
A
B
C
b) 6
c) 3
d) 8
e) 9
04. Calcular: m∠BCD, si: AB=CD y AD=BD
a) 15º
B
C
D
A
b) 30º
c) 45º
d) 60º
e) 75º
05. Si: AM=MC y HN=K, calcular: AC
a) 2K
N
HA
B
CM
b) 3K
c) 4K
d) 5K
e) 6K
06. Calcular: a, si: PC=AB; BM=MC y AN=NP
P
a
N
46º
B
C
M
A
a) 18º b) 24º c) 13º
d) 23º e) 20º
07. En el gráfico: BH=9 y HN=3. Calcular la distancia
de "E" a AC
A
B
C
q q
N
H
E
a) 6 b) 9 c) 3
d) 8 e) 5
08. En un triángulo ABC, la m∠ACB=30º, se traza la
ceviana BM de manera que la m∠ABM=90º y
AM=2MC. Calcule la m∠BAC
a) 45º b) 22,5º c) 25º
d) 30º e) 45º
09. Si: PC 8 3= , calcular: EB
B
C
P
q
q E
A
a) 8u b) 12u c) 16u
d) 8 3 u e) 16 3 u
10. Calcular el máximo valor entero que puede tomar
"x", si a es obtuso.
a) 3
x
12
a
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
11. Si: MN es mediatriz de AC y NC=15, calcular: AB
a) 7 B
C
2a
a
M
N
53º
A
b) 11
c) 13
d) 15
e) 17
Capítulo
www.trilce.edu.pe38
04
12. Calcular: BH, si: BM=MC, AO=OM y OH=2cm
B
C
O
M
HA
a) 6 cm b) 8 cm c) 5 cm
d) 10 cm e) 9 cm
13. En un triángulo rectángulo ABC, se traza la altura
BH. Calcular: m∠HMB + m∠HNB, siendo "M" y "N"
puntos medios de AB y AC respectivamente.
a) 90º b) 120º c) 150º
d) 145º e) 180º
14. Si: AL=7; LE=3 y AF=11
Hallar: x
A
q q
L
x F
E
a) 30º b) 45º c) 37º
d) 53º e) 60º
15. Si: AC=24m, calcular: BE
B
C
36º
EA
18º
a) 12 m b) 10 m c) 14 m
d) 8 m e) 9 m
16. Si: AB=7 cm y AC=16 cm. Calcular: EC
qq
E
B
CA
a) 8 cm b) 10 cm c) 11 cm
d) 9 cm e) 12 cm
17. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, la
m∠BAC=70º. Luego en AC se ubica el punto me-
dio M, exterior y relativo a BC se ubica el punto P; tal
que: AC=2(BP) y m∠PMC=80°. Calcular m∠BPC.
a) 115º b) 125º c) 110º
d) 100º e) 120º
01. Calcular "x", si: AH=7 y AB=15
A
B
C
q
q
H
P
Q
x
a) 4 b) 7 c) 9
d) 8 e) 10
02. Calcular: x, si: PC=2(AB) y AP=PB
B
CP
x
A
a) 15º b) 16º c) 36º
d) 20º e) 14º
03. Calcular: MN, si: AB=8 cm y AC=18 cm
a
a
M
N
E
B
CA
a) 6 cm b) 5 cm c) 9 cm
d) 8 cm e) 4 cm
04. Calcular: AB, si: PQ=6, AC=14 y BQ=QC
P
Q
q
q
B
CA
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
Tarea domiciliaria
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos39
05. Si: BH=8u y EH=3u, calcular: ND
A
B
C
aa
N
D
H
E
a) 5,5 u b) 6 u c) 5 u
d) 3,9 u e) 6,5 u
06. Si L es mediatriz de AC, BD=3 y AB=5, calcular:
BC
B
C
3f f
D
A
L
a) 3 b) 5 c) 6
d) 10 e) 8
07. Si: PF=20, calcular: PE
P
a
a143º
F
E
a) 15 b) 5 c) 10
d) 12 e) 8
08. De acuerdo con los datos de la gráfica, calcular: x
B
C
a a
x
D
8
10
A
a) 24 b) 20 c) 18
d) 16 e) 12
09. En un triángulo rectángulo ABC, se traza la bisectriz
interior AF . En la prolongación de AF se toma el pun-
to "D", se trazan las perpendiculares DG y DE hacia
BC y AC respectivamente. Hallar: FG, si: BF=8 cm y
DE=13 cm
a) 5 cm b) 4 cm c) 8 cm
d) 9 cm e) 6 cm
10. En un triángulo rectángulo la bisectriz interior del án-
gulo agudo mayor y la mediatriz de la hipotenusa se
intersectan en un punto sobre el cateto mayor. Calcu-
le la medida de uno de los ángulos agudos.
a) 75º b) 60º c) 53º
d) 45º e) 37º
11. Calcular: x
x
L1 L280º
FE
B
CMA
a) 100º b) 60º c) 120º
d) 80º e) 40º
12. En un triángulo ABC, m∠B=122º. Las mediatrices
de los lados AB y BC cortan al lado AC en los puntos
M y N respectivamente. Hallar la medida del ángulo
MBN
a) 58º b) 64º c) 32º
d) 54º e) 68º
13. En un triángulo ABC, A=25º y AB > BC; se traza la
bisectriz de B que corta a AC en D: La mediatriz de
BD encuentra a la prolongación de AC en E. Hallar:
m∠CBE
a) 25º b) 15º c) 50º
d) 12º e) 18º
14. En un triángulo obtusángulo ABC (obtuso en "A") se
tiene que m∠B = 2(m∠C). Si la perpendicular trazada
por "A" al lado AC corta a BC en "E" de tal manera que
EC=18 m Calcular la medida del AB.
a) 3 b) 6 c) 9
d) 12 e) 8
15. En un triángulo obtusángulo PRQ, obtuso en "R", se
traza la mediana RM de tal manera que: QR=2RM.
Si: m∠PRM= 2m∠MRQ, hallar: m∠MRQ
a) 30º b) 32º c) 40º
d) 36º e) 42º
Capítulo
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04
5 Repaso
Problemas resueltos
01. Hallar: x
B C
DA x
9
E
4
b
b
a
a FB
C
DA x
9
E
4
Resolución
• D EBC ≅ D CFD (ALA)
• Propiedad: BC = FD = 9 ⇒ EB = 5
• Propiedad: EB = CF = 5
x = BC + CF
x = 9 + 5
x = 14
02. Calcular: x, si: AE = CB
A
C
x
E
B
2a
a
aa
H
F
A
C
x
E
B
Resolución
• Trazar EF ⊥ BC (F ∈ BC)
• Prolongar AB y trazar ( )EH HAB AB= !
• CF = FB = EH = a
• D AEH: notable 30º y 60º
x = 30º
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos41
03. Calcular: x
A C
2aqq a
x
E
B
P
M
N
a
a
a
a
A C
q
q a
aa
x
E
B
Resolución
• Trazar CP ⊥ BE (BP = PE)
• Propiedad: EP = EM= EN = a ... (de la bisectriz)
• D BNE: notable 30º y 60º
x = 30º
Práctica
01. Dos ángulos internos de un triángulo están en la re-
lación de 1 a 2. Hallar el mínimo valor entero que
puede tomar el menor ángulo para que el triángulo
sea acutángulo.
a) 30º b) 32º c) 31º
d) 33º e) 34º
02. En un triángulo ABC, m∠BAC=80º, m∠ABC=40º,
D pertenece a AB, m∠ACD=50º y E pertenece a BC,
tal que AC=CE. Hallar m∠EDB
a) 80º b) 100º c) 120º
d) 90º e) 110º
03. Si el perímetro de un triángulo rectángulo es 30 u. Hallar
el mínimo valor entero que puede tomar la hipotenusa.
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
04. Se tiene un triángulo ABC donde AB=6, BC=8 y
AC=10. Se construye exteriormente el triángulo rec-
tángulo isósceles AHC. Hallar la distancia de H a BC
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 5
05. En el lado AB de un triángulo isósceles
ABC de base
AC se ubican los puntos P y Q (Q ∈ AP) y en BC el
punto R tal que: AC=CQ=QR=RP=PB
Hallar: m∠ABC
a) 10º b) 20º c) 15º
d) 25º e) 30º
06. En un triángulo ABC, las medianas BM y AN miden
15 y 12 respectivamente. Hallar el mayor perímetro
entero del triángulo ABC
a) 86 b) 82 c) 36
d) 71 e) 72
07. En un triángulo ABC la mediana AM y la bisectriz in-
terior BF se intersectan perpendicularmente.
Calcular: E
BM
AB
AB
BC
CM
AB= + +
a) 3 b) 3,5 c) 4
d) 4,5 e) 2
08. En un triángulo ABC, m∠A=2(m∠C). Se traza la
bisectriz interior BD. Calcular AD, siendo AB=6 u y
BC=10 u
a) 2 u b) 4 u c) 6 u
d) 8 u e) 10 u
09. En un triángulo ABC, m∠A=2(m∠C); la bisectriz
interior BD prolongada intersecta en E a la bisectriz
exterior del ∠C. Si: DE = 8 u, hallar: CE
a) 4 u b) 7 u c) 8 u
d) 6 u e) 10 u
Capítulo
www.trilce.edu.pe42
05
10. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) se trazan
la altura BH y la bisectriz interior AE que se cortan en
P. Calcular: PH, siendo BH = a y BE = b
a) a b
2
2+ b) a b
2
2 + c) a b
2
+
d) a b
2
- e) a - b
11. En un triángulo rectángulo ABC se ubica P en AC
de modo que ABP = 18º. Además m∠ACB = 36º y
AC=14. ¿Cuánto mide BP?
a) 9 b) 8 c) 7
d) 5 e) 6
12. En un triángulo ABC, el ángulo B mide 80º. La media-
triz de la altura BH corta a BC en F. Si: m∠BFH=80º.
¿Cuánto mide el ángulo BAC?
a) 70º b) 40º c) 80º
d) 50º e) 60º
13. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, el ángulo
C mide 35º. Sobre AC se ubica un punto D de modo
que m∠ABD=15º. Calcular AC, si: BD=5
a) 8 b) 9 c) 10
d) 7 e) 15
14. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se cons-
truye exteriormente al triángulo, el cuadrado ACDE.
Luego se traza DF perpendicular a la prolongación de
BC. Calcular: BF, si: AB + DF = 7
a) 6 b) 7 c) 5
d) 4 e) 8
15. En un triángulo acutángulo ABC se ubica el punto "L"
exterior relativo al lado BC, tal que:
m∠BAL=2m∠LAC, m∠BCE=3m∠LCE (E se en-
cuentra en la prolongación de AC). Hallar el máximo
valor entero del ángulo ALC
a) 24º b) 29º c) 19º
d) 59º e) 89º
Tarea domiciliaria
01. Calcular : x
50º
11x
12x
a) 8º b) 10º c) 12º
d) 15º e) 18º
02. Dos lados de un triángulo miden 6 y 9. Hallar el me-
nor y mayor valor entero que puede tomar el tercer
lado.
a) 3 y 15 b) 4 y 14 c) 3 y 14
d) 2 y 16 e) 4 y 15
03. En un triángulo ABC se ubica el punto interior P tal
que los triángulos APB y PBC son obtusángulos (ob-
tusos en P). Si: AP=16, BP=12 y PC=9. Hallar el
menor perímetro del triángulo ABC sabiendo que es
un valor entero.
a) 42 b) 43 c) 44
d) 45 e) 38
04. En un triángulo ABC, m∠ABC=18º y m∠ACB=14º.
Hallar la medida del ángulo que forman entre sí, las
alturas trazadas de los vértices B y C
a) 32º b) 42º c) 52º
d) 62º e) 82º
05. En un triángulo rectángulo BAC, se traza la altura AH
y la bisectriz interior BR (R en AC) que se cortan en
L. Calcular: AL, si: AC=12 y RC=9
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
06. En un triángulo ABC, se traza la ceviana CF de ma-
nera que BC = AF, m∠B=2m∠A y m∠A=20º. Ha-
llar la m∠ACF
a) 20º b) 30º c) 40º
d) 15º e) 10º
07. En el gráfico, AB=DC y AH=HE
Calcule la m∠HDE
HA
B
C
D
E
a) 28º b) 30º c) 32º
d) 38º e) 45º
08. Si: AB=20 u y AM=MC. Calcular: EC
A
B
CM
N
60º
E
a) 12 u b) 10 u c) 8 u
d) 14 u e) 15 u
09. En un triángulo acutángulo ABC, m∠C=35º, se tra-
zan las mediatrices de AC y BC cortándose en P
Calcular m∠APB
a) 35º b) 50º c) 60º
d) 70º e) 80º
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos43
10. Si: ME//AB, AL=LC, NE=4. Calcular: MN, si BN=NL
A
B
C
M
N
E L
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
11. Si: DF=FC, AB//EF y BC=12 u. Calcular: EF
A
B
C
a a
D
F
E
a) 3 u b) 4,5 u c) 6 u
d) 8 u e) 9 u
12. Calcular "x" en el rombo ABCD
53º
12
B C
DA x
a) 24 b) 20 c) 25
d) 22 e) 23
13. Si: AB=9 cm; BC=13 cm y AC=14 cm. Calcular:
MN
B
C
q qa a
M N
A
a) 18 cm b) 16 cm c) 19 cm
d) 20 cm e) 15 cm
14. Se tienen los puntos no colineales A, B y C, se trazan
las mediatrices de AB y BC cortándose en P.
Calcular: PC, si: AP=10.
a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 14
15. La mediatriz del cateto BC de un triángulo rectángulo
ABC; corta a la prolongación de la altura BH en Q.
¿Cuánto mide el ángulo ACQ, si m∠A=50º?
a) 20º b) 10º c) 15º
d) 25º e) 12º
16. El número de lados de un polígono es igual a la mi-
tad del número de diagonales. Calcular el número de
diagonales trazadas desde 3 vértices consecutivos.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
17. Si el número de lados de un polígono regular con-
vexo aumenta en 10, cada ángulo interno del nuevo
polígono es 3º mayor que cada ángulo del original.
Determinar la medida del ángulo central del polígono
original.
a) 18º b) 20º c) 15º
d) 12º e) 10º
18. Si a un polígono se le aumenta un lado, su número de
diagonales aumenta en 6. Si se le disminuye un lado,
el número de diagonales sería:
a) 9 b) 14 c) 20
d) 27 e) 10
19. Calcular: AD, si ABCD es un romboide, además:
EC=3 y CD=8
a
a
EB C
DA
a) 11 b) 5 c) 14
d) 19 e) 15
20. Hallar la medida de PQ, si ABCD es un cuadrado
cuyo lado mide 8
Q
37º
E
B
P
C
DA
a) 5 b) 6 c) 4
d) 3 e) 2
Capítulo
www.trilce.edu.pe44
05
6 Polígonos
Sean P1, P2, P3, ..., Pn una sucesión de "n" puntos
distintos de un plano con n≥3. Los segmentos P P1 2,
P P2 3, P P3 4 , ..., P Pn n1- , P Pn 1; son tales que ningún par
de segmentos con un extremo común sean colineales
y no exista un par de segmentos que se intersecten en
puntos distintos de sus extremos. Entonces, la reunión
de los "n" segmentos se denomina polígono.
b
a
P1
Pn
P6
P5
P4
P3
P2
Elementos
• Vértices: P1, P2, P3, ...
• Lados: P P1 2, P P2 3, ...
• Ángulos:
* Internos: ∠P1, ∠P2, ...
* Externos: a, b, ...
• Diagonal: P P3 5, P P4 6, ...
Clasificación
Los polígonos se clasifican en:
Por el número de lados
• Triángulo 3 lados • Eneágono o nonágono 9 lados
• Cuadrilátero 4 lados • Decágono 10 lados
• Pentágono 5 lados • Endecágono 11 lados
• Exágono (o hexágono) 6 lados • Dodecágono 12 lados
• Heptágono 7 lados • Pentadecágono 15 lados
• Octógono 8 lados • Icoságono 20 lados
Por sus lados y ángulos
• Polígono convexo • Polígono no convexo
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos45
• Polígono equilátero • Polígono equiángulo
a
a
a
a
aa
• Polígono regular
H
F I
G
E
B C
O
O
DA J
• Polígono irregular
Propiedades
• Máximo número de diagonales trazadas desde 1 vértice.
(n - 3) diagonales
• Número total de diagonales.
( )N n n
2
3
D =
-
• En los polígonos convexos, la suma de las medidas de los ángulos internos es:
Si = 180º (n - 2)
Capítulo
www.trilce.edu.pe46
06
• En todo polígono convexo, la suma de las medidas de los ángulos externos es de 360º
• En el polígono equiángulo.
eº
eº
eº
eº
iº
iº iº
iºiº
m exterior
n
360c+ =
( )intm erior
n
n180 2c
=
-
+
• En el polígono regular.
aeº
eºeº
iº
iº
iº iº
a valor del ángulo central
Se = Sa = 360º
e
n
360c ca = =
( )i
n
n180 2c c=
-
Diagonal media
Segmento que unen los puntos medios de dos lados cualquiera.
Número total de diagonales medias
( )N n n
2
1
DMc =
-
Número de diagonales que se pueden trazar desde "k" vértices consecutivos
( ) ( )N nk k k
2
1 2
c =
+ +-
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos47
Problemas resueltos
01. En un polígono regular, un ángulo interior y su ángulo exterior miden kq y q respectivamente, donde k es entero.
Hallar el menor número de lados del polígono.
qkq
Resolución
• kq + q = 180º
q(k + 1) = 180º
k 1
180cq =
+
• Pero:
n k n
360
1
180 360&c c cq =
+
=
n = 2(k + 1)
• kmínimo = 1
n = 2(1 + 1)
n = 4
02. En un nonágono cualquiera, donde sus ángulos internos están en progresión aritmética, uno de sus ángulos siem-
pre mide:
Resolución
• Smi: 180º (n - 2)
• Smi = x - 4r + x - 3r + ... + x + x + r + ... + x + 4r
Igualando:
x - 4r + x - 3r + ... + x + x + r + ... + x + 4r = 180º (n - 2)
9x = 180º (n - 2)
9x = 180º (9 - 2)
9x = 180º (7)
x = 140º
03. El número de lados de un polígono regular se duplica, su número de diagonales aumenta en 234. Hallar su nú-
mero de lados.
Resolución
( )D n n
2
3
=
-
( ) ... ( ó )D n n variaci n234
2
2 2 3
+ =
-
( ) ( )n n n n
2
3
2
468
2
2 2 3
+ =
- -
⇒ n2 - 3n + 468 = 4n2 - 6n
O = 3n2 - 3n - 468
O = n2 - n - 156
n
n
- 13
+ 12
1
2
3
n = 13
Capítulo
www.trilce.edu.pe48
06
Práctica
01. Calcular "x" en el polígono mostrado.
a) 60º x+10º x+15º
x+5º x+20º
x+25º
b) 85º
c) 93º
d) 120º
e) 75º
02. Si: m∠F=m∠E=90º y m∠B=m∠D=140º. Hallar la
m∠A, si es igual a la m∠C
a) 135º
B
C
D
F
E
A
b) 130º
c) 120º
d) 115º
e) 108º
03. Calcular: x
a) 100º x
x
x
b) 120º
c) 150º
d) 130º
e) 160º
04. Si los polígonos ABCDE y DEF son regulares. Cal-
cule: x
a) 18º B
C
x
D
F
E
A
b) 36º
c) 45º
d) 48º
e) 60º
05. Calcular cuántas diagonales faltan trazar en la figura
mostrada.
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
06. Si ABCDEF es un polígono regular. Calcule: x
B C
x
D
F E
A
a) 15º b) 30º c) 45º
d) 60º e) 75º
07. Al disminuir en 2 el número de lados de un polígono,
su ángulo central aumenta en 6º. ¿Cuántos lados tie-
ne el polígono inicial?
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 15
08. Si a un polígono regular se le aumenta un lado, su án-
gulo interior aumenta en 12º. ¿Cuál es el polígono?
a) cuadrado b) pentágono c) hexágono
d) octógono e) heptágono
09. Si a un polígono se le aumenta en 4 a su número
de lados; entonces la suma de sus ángulos internos
se duplica. Hallar el número de vértices del polígono
regular.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
10. Desde cuatro vértices consecutivos de un polígono
convexo se trazan 25 diagonales, calcular el número
de lados.
a) 9 b) 7 c) 6
d) 8 e) 10
11. Al disminuir en 2 el número de lados de un polígono
convexo, se obtiene otro polígono con 15 diagona-
les menos. Hallar el número de lados del polígono
original.
a) 10 b) 8 c) 9
d) 6 e) 7
12. Calcular "x" en el hexágono regular:
a) 10º
x
80º
b) 30º
c) 20º
d) 40º
e) 50º
13. Si el ángulo central de un polígono disminuye en 5º,
el número de diagonales aumenta en 7. Calcular el
número de lados del polígono original.
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos49
Tarea domiciliaria
01. ¿Cuántas diagonales faltan trazar al polígono?
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
02. Calcular: x
x
x+10º
x+20º
x+30º x+40º
a) 98º b) 128º c) 100º
d) 88º e) 108º
03. Calcular b en el siguiente polígono regular:
b
a) 30º b) 90º c) 120º
d) 150º e) 80º
04. Desde (n - 4) vértices consecutivos de un polígono
convexo se trazan (4n + 3) diagonales. Calcular el
número de ángulos rectos a que equivale la suma de
las medidas de los ángulos interiores de dicho polí-
gono.
a) 8 b) 10 c) 20
d) 12 e) 15
05. En la figura, calcular: a + b + q + w
b
a
q
w
67º
a) 540º b) 607º c) 720º
d) 617º e) 507º
06. En el siguiente pentágono regular, calcular: x
B
C
D
EA
x
a) 36º b) 24º c) 18º
d) 15º e) 32º
07. Calcular: a en la figura:
a
a
a) 108º b) 120º c) 135º
d) 140º e) 150º
14. ABCDEF... y PQDRS... son polígonos regulares de 50
y 30 lados respectivamente. Calcule la m∠QDE
B
C
P
Q
RD
F
E
A
S
a) 150º46' b) 160º30' c) 160º48'
d) 106º48' e) 150º30'
15. Al disminuir en 2 el número de lados de un polígono,
su ángulo central aumenta en 6º. ¿Cuántos lados tie-
ne el polígono inicial?
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 15
Capítulo
www.trilce.edu.pe50
06
08. Calcular: x, si ABCD es un cuadrado y CDE es un
triángulo equilátero.
B C
x
D
E
A
a) 15º b) 45º c) 30º
d) 60º e) 90º
09. Calcular la medida del ángulo formado al prolongar
los lados adyacentes de 2 ángulos consecutivos de
un decágono convexo, sabiendo que la suma de las
medidas de los 8 ángulos restantes es 1200º
a) 50º b) 60º c) 30º
d) 45º e) 40º
10. Hallar: x, si ABCDE es un pentágono regular y AGFE
es un cuadrado.
x
FGB
C
D
EA
a) 20º b) 15º c) 17º
d) 25º e) 18º
11. ¿Cuántos lados tiene el polígono en el cual al aumen-
tar su número de lados en tres; su número total de
diagonales aumenta en 15?
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
12. Determinar el polígono convexo tal que al duplicar
su número de lados, la suma de sus ángulos internos
queda triplicada.
a) triángulo b) pentágono
c) cuadrilátero d) hexágono
e) ninguna
13. Hallar la suma de las medidas de ángulos internos del
polígono que tiene 77 diagonales.
a) 1400º b) 1260º c) 2160º
d) 1080º e) 1800º
14. La suma de las medidas de los ángulos internos, ex-
ternos y centrales de un polígono es igual a 2700º.
Calcular el número de diagonales.
a) 78 b) 84 c) 64
d) 72 e) 65
15. Desde 4 vértices consecutivos de un polígono regular
se trazan 105 diagonales. Calcular la medida del án-
gulo externo de dicho polígono.
a) 10º b) 15º c) 8º
d) 12º e) 20º
16. Calcular la medida del ángulo interior de un polígono
regular, cuyo lado mide 3. Si su número de diago-
nales es 5 veces su semiperímetro. (numéricamente)
a) 120º b) 160º c) 135º
d) 150º e) 130º
17. Si el pentágono es regular, calcular: x
x
48º
a) 10º b) 11º c) 12º
d) 13º e) 14º
18. Si la figura es un polígono regular, calcular: x
x
a) 120º b) 108º c) 135º
d) 140º e) 162º
19. En la figura, calcular: f, si:
a: medida del ángulo interior del exágono regular.
b: medida del ángulo interior del pentágono regular.
g: medida del ángulo exterior del icoságono regular.
w: medida del ángulo interior del dodecágono regu-
lar.
b
a
gf
w
a) 150º b) 108º c) 120º
d) 144º e) 135º
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos51
7 Cuadriláteros
Son aquellas figuras determinadas al trazar cuatro rectas secantes y coplanares, que se intersectan dos a dos. Los
segmentos que se determinan son sus lados y los puntos de intersección son sus vértices.
B
C
b
a
q
w
D
A
Convexo
a + q + w + b = 360º
B
C
b
a
qx
D
A
No convexo
x = a + b + q
Clasificación
Trapezoides
B
C
D
A
Trapezoide asimétrico Trapezoide simétrico
B
C
D
A
Trapecios
B C
DA
/BC AD
Bases
/
1 2 344 44
B C
DA
T. Escaleno
Capítulo
www.trilce.edu.pe52
07
B C
DA
a a
T. isósceles
B C
DA
T. rectángulo
Paralelogramos
B C
b
b
a
a
DA
//
//
AB CD
BC AD
B C
DA
a!90º
Romboide
B
C
D
A
Rombo
B C
DA
Rectángulo
B C
DA
Cuadrado
Propiedades
En el trapecio
M N
a
b
:
//
MN Base media
MN Bases
MN a b
2=
+
M N
a
b
:
//
MN Base media
MN Bases
MN a b
2=
-
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos53
En el paralelogramo
O
B C
DA
AO = OC
BO = OD
B
C
a
b
m
n
DA
a + b = n + m
En todo cuadrilátero
B
C
P
Q
R
D
A
S
" PQRS es un paralelogramo
(2p)PQRS = AC + BD
Si: 2p = a + b + c + d
& p < AC + BD < 2p
B
C
a
b
c
d DA
x m n
2=
+
b
b
a
a
m n
x
ba
a
b
x
x b a
2=
-
Si: a + b = 90º
8x
7x
6x
5x
4x
3x
2x
x
Capítulo
www.trilce.edu.pe54
07
Problemas resueltos
01. En
un cuadrilátero VRFS, m∠SRF=12º, m∠RSV=39º, m∠RSF=18º, m∠VHS=90º, H ∈ RS, HS=2 y
m∠VRS=12º. Hallar: FS.
R
L
30º
18º12º
12º 39º39º
51º
60º
H
F
S
2
T
V
Resolución
• Prolongar RF y RV
• Trazar SL y ST perpendiculares a dichas
prolongaciones.
• Propiedad: SH = ST = SL = 2
• D FLS:
x = 2(LS) = 2(2) ⇒ x = 4
02. En un trapecio ABCD, BC//AD, "M" es punto medio de AB, trazar CN (N ∈ AD) que intersecta a DM en su punto
medio Q. Hallar: QN, si: CQ=6.
B C
Q
M
N
x
DF
6
EA
Resolución
• Trazar ME//QN ⇒ QN=x y ME=2x
• Trazar BF//ME ⇒ ME=2x y BF=24x
• Luego BF//CN ⇒ BF = CN
4x = x + 6
3x = 6
x = 2
03. Dado el siguiente gráfico, hallar: x
PQ
M
4x
10x
6B C
DA
N
PQ
M
4x
10x
6B C
DA
Resolución
• Trazar MN//AD (N ∈ BQ)
• Teorema: MN = 8x ... (base media D ANM)
• Propiedad:
MN x x
2
6 10 8= + =
6 + 10x = 16x
6 = 6x
x = 1
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos55
Práctica
01. Calcular "x", si: a + b + c = 440º
a
b
c
x
a) 60º b) 80º c) 70º
d) 50º e) 40º
02. Calcular: x, si: BO = OD = OE
O
x
28º
E
B C
DA
a) 15º b) 16º c) 17º
d) 18º e) 19º
03. Según el gráfico, ABCD es un rombo. Calcular: CH,
si: NL + ND = 10. B, N y L son colineales.
A
B C
2q
q
N
L D
H
a) 20 b) 10 c) 5
d) 10 2 e) 5 2
04. Si: AC = 8, EO = 3, calcular: ED
A B
C
O
D
E
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
05. En el rectángulo ABCD; m∠BDA=26º.
Hallar: m∠ACD
a) 54º b) 64º c) 74º
d) 52º e) 44º
06. PQRS es un rombo, calcular: x, si: PH = HS
xP
Q
R
H
S
a) 30º b) 45º c) 40º
d) 60º e) 75º
07. Siendo ABCD un trapecio (BC//AD). Hallar: m∠ADC.
B C
D
8
14
6
A
4
a) 37º b) 53º c) 90º
d) 30º e) 60º
08. En el trapecio ABCD, calcule AD
2a
a
12
5B C
DA
a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) 12
09. En un rectángulo ABCD, las bisectrices interiores de
"B" y "C" se intersectan en un punto "M" de AD. Si el
perímetro del rectángulo es 36, calcular la medida de
la mediana del trapecio BMDC
a) 18 b) 12 c) 10
d) 9 e) 8
10. Si ABCD es un trapecio cuyas bases BC y AD miden
6 dm y 14 dm respectivamente. Sean P y Q los pun-
tos medios de AC y BD en ese orden. Hallar el valor
del segmento que une los puntos medios de PB y QC
a) 8 dm b) 4 dm c) 6 dm
d) 5 dm e) 7 dm
11. ABCD es un romboide y R es un punto que pertenece
a AD, tal que el triángulo ABR es equilátero y el ángu-
lo BRC sea recto. Hallar: m∠BAD - m∠RCD
a) 18º b) 60º c) 45º
d) 37º e) 30º
Capítulo
www.trilce.edu.pe56
07
12. Calcular: x, si: m∠BCM=78º y 2AD = 3BC
x
M
A
B C
D
a) 39º b) 24º c) 26º
d) 18º e) 42º
13. Si las diagonales de un trapecio dividen a la mediana
en tres partes congruentes, ¿en qué relación están las
bases?
a)
5
2 b)
4
3 c)
3
2
d)
2
1 e)
3
1
14. Hallar el perímetro de un trapecio isósceles, sabiendo
que uno de los lados congruentes tiene la misma me-
dida que la base menor además uno de los ángulos
interiores mide 60º y la base menor mide 5 m.
a) 30 m b) 18 m c) 25 m
d) 15 m e) 20 m
15. En el romboide ABCD: AB=4 y BC=10 u; luego se
trazan las bisectrices interiores de B y C que cortan a
AD en E y F respectivamente. Hallar la medida del
segmento que une los puntos medios de BE y CF.
a) 5 u b) 6 u c) 7 u
d) 8 u e) 4 u
Tarea domiciliaria
01. Calcular: x
a
a
q
q
100º
120º
x
a) 120º b) 100º c) 110º
d) 130º e) 150º
02. Si: AD=14 u y DC=8 u. Hallar la medida del seg-
mento que une los puntos medios de AP y CD
P
q
q
B C
DA
a) 2 u b) 4 u c) 6 u
d) 8 u e) 10 u
03. Calcular: x
x
53º
10
4
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
04. Si: CD=10 u, hallar la longitud del segmento que une
los puntos medios de AC y BD.
A
B C
37º
D
a) 6 b) 3 c) 2
d) 4 e) 1
05. En un trapecio ABCD, (BC//AD) y BC=AB=CD= AD
2
,
calcular la m∠D
a) 30º b) 45º c) 60º
d) 53º e) 37º
06. Calcular la mediana de la mediana del trapecio
ABCD, si: BC=4 u
q
q
A
B C
D
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos57
07. Calcular: MN, si: BC=x, AD=13 y MN=x + 5
M N
A
B C
D
a) 3 b) 5 c) 6
d) 8 e) 10
08. En la figura, calcular: x
2x
qq
w
w
3x
4x
a) 10º b) 15º c) 20º
d) 25º e) 30º
09. Si ABCD es un romboide, tal que: AB=18u. Calcular
la longitud del segmento que une los puntos medios
de AE y BD
q
q
EB C
DA
a) 10 u b) 12 u c) 13 u
d) 9 u e) 8 u
10. Calcule: DQ, si: ABCD es un cuadrado de 8 cm de
lado, además: AP cm12 2=
A
B C
P
QD
a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm
d) 4 cm e) 5 cm
11. Dado el trapecio escaleno ABCD donde: (BC//AD),
calcular la medida del ángulo formado por las bisec-
trices interiores de C y D.
a) 60º b) 40º c) 36º
d) 75º e) 90º
12. En un paralelogramo ABCD, se traza BM bisectriz del
ángulo ABC (M en AD) siendo: AM=MD; BC=10 u y
BM=6 u. Calcular la distancia de C al lado AD
a) 2,4 b) 4 c) 6
d) 3 e) 4,8
13. En un romboide ABCD, la mediatriz de BC intersecta
a AD en Q, tal que: m∠BCQ=54º y AB=AQ.
Calcular: m∠QCD
a) 28º b) 18º c) 20º
d) 24º e) 26º
14. Se tiene un cuadrilátero ABCD, donde A=150º y los
vértices B, C y D equidistan de A. ¿Cuánto mide el
ángulo C?
a) 105º b) 120º c) 108º
d) 115º e) 135º
15. En un trapezoide ABCD, las bisectrices exteriores de
B y C cortan en P; tal que: m∠BPC=104º. Calcular
la medida del menor ángulo formado por las bisectri-
ces interiores de A y D.
a) 72º b) 78º c) 76º
d) 104º e) 68º
16. Grafique al triángulo ABC y ubique un punto interior
tal como D de modo que:
m∠DAB + m∠ABC + m∠DCB = 140º y AD=DC.
Hallar la m∠ACD
a) 30º b) 20º c) 15º
d) 40º e) 10º
17. Hallar: x
B
C
a a
q
q
100º
110º
D
A
x
a) 90º b) 80º c) 75º
d) 60º e) 50º
18. Si: AB=6 u, hallar la longitud del segmento que une
los puntos medios de AB y CD
A
B C
37º
45º
D
a) 9 u b) 8 u c) 10 u
d) 12 u e) 16 u
Capítulo
www.trilce.edu.pe58
07
8 Circunferencia
Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de otro punto de su plano denominado centro. La
distancia mencionada recibe el nombre de radio.
Elementos
B
C
O
P
Q
L1
L2
F
E
A
T
• Centro: O
• Radio: OB
• Diámetro: BC
• Cuerda: EF
• Arco: EB
!
• Flecha o sagita: PQ
• Secante: L1
• Tangente: L2
• Punto de tangencia: T
• Perímetro: L = longitud de la circunferencia
L = 2pr
r → radio
p → Phi
r
L
2
≠ =
p = 3,1415926...
Posiciones relativas de dos circunferencias coplanares
Circunferencias exteriores
d
14444244443
d > R + r
R
r
Circunferencias tangentes exteriores
R d
1442443
r
d = R + r
Circunferencias secantes
R - r < d < R + r
R
d
14243
r
Circunferencias ortogonales
d2 = R2 + r2
R
d
14243
r
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos59
Circunferencias tangentes interiores
d = R - r
R
d
r
1
2
3
Circunferencias interiores
d < R - r
R
d
r1
2
3
Circunferencias concéntricas
d = cero
R
r
R
r
Esta región se denomina
corona o anillo circular.
Observación: "d" → distancia entre los centros.
Propiedades fundamentales
O
P L
r
• P → punto de tangencia
• OP ⊥ L
⇒ OP = r
B
C
O
aa
A
AB = AC
B
C
MA
O
OC AB
AM MB
=
,
AC CB,
! !
Si:
& //EF AB
AE FB,
! !Si:
&
BA
FE
Capítulo
www.trilce.edu.pe60
08
mAB mDC=
AB CD,
! !Si:
&
B C
DA
B
P
Q
F
E
A
S
T
AB EF y ST PQ, ,
Teoremas
Teorema de Poncelet
B
CA
r
r : radio
AB + BC = AC + 2r
Teorema de Pitot
B C
D
A
r
AB + CD = BC + AD
Este teorema es válido para todo
polígono circunscrito cuyo número de
lados es un número par.
Teorema de Steiner
AB - CD = AD - BCB
DA
C
Q y F → puntos de tangencia
p → semi - perímetro de la región triangular ABC.
p 2
a b c= + +
& AQ = AF = p
Observación
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos61
Q
F
B
A C
p
Circunferencia inscrita a un triángulo
Es aquella circunferencia que se encuentra en el interior
del triángulo y es tangente a cada uno de sus lados.
I
r
I: incentro
r: inradio
Circunferencia circunscrita al triángulo
Es aquella que pasa por los vértices del triángulo.
O
R
O: circuncentro
R: circunradio
Circunferencia exinscrita al triángulo
Es aquella circunferencia que se encuentra en el exterior
del triángulo y es tangente a cada uno de sus lados.
E: excentro
re: exradio E
B
A C
re
Problemas resueltos
01. En un triángulo rectángulo, el semiperímetro mide "m" y la hipotenusa mide "n". Calcular la longitud del inradio.
B
C
O
ac
A
r
n
Resolución
• Dato: a c n m
2
&+ + = a + c = 2m - n
• Poncelet:
a c n r2+ = +S
2m - n = n + 2r
2m - 2n = 2r
r = m- n
Capítulo
www.trilce.edu.pe62
08
02. En un triángulo rectángulo ABC, "I" es el incentro tal que m∠AID=90º (D ∈ AC). Se traza DE ⊥ BC. Si: AB+BC=34
y AC=26. Hallar: BE.
26
A
B
CP
qq
a
a
x
D
EF
I
G
4
4
4
Resolución
• Poncelet: AB + BC = AC + 2r
34 = 26 + 2r → r = 4
• Propiedad: IP = IQ = 4 ... (de la bisectriz)
⇒ x = FQ = 4 + 4
x = 8
03. Si: AD=6 y CD=7. Hallar: m∠CAB.
B
C
2k
D
A k+1
x
7
6
B
C
2k
D
A k+1
Resolución
• Pitot:
2k + 6 = k + 1 + 7
k = 2
• D ABC: 53º y 37º
4
5
3
x
x = 53º
Práctica
01. Calcular: CO, si: AB=8
B
C
O
M
74º
D
A
a) 3 2 b) 3 3 c) 6 2
d) 6 3 e) 2 6
02. En la figura: CD = AB + BC; AD=18
Calcular: r1 + r2
a) 9
B
C
D
A
r1
r2
b) 12
c) 15
d) 10
e) 6
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos63
03. Del gráfico, calcular: R
a) 3
R
37º
15
6
5
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8
04. En la figura: AB + CD = 20 m y BC + AD = 52 m.
Calcular: PQ
B
C
P
Q DA
a) 16 m b) 14 m c) 12 m
d) 10 m e) 8 m
05. ¿Cuánto mide el inradio del triángulo ABC
si: BC=8 + a y CD=a
A
B
C
2a
a
D
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 1
06. Si: AB=18; BC=10 y AC=12, calcular: AP, además:
P y Q son puntos de tangencia.
P
N
Q
B
A C
a) 24 b) 30 c) 18
d) 20 e) 36
07. En la figura, hallar: R + r, si: AB=40 y BC=30
Si O: centro
a) 45
O
R
r
B
C A
b) 35
c) 40
d) 30
e) 25
08. El perímetro de un triángulo rectángulo es 24 m y su
hipotenusa mide 10 m. Hallar la longitud de su inradio.
a) 1 m b) 4 m c) 5 m
d) 2 m e) 3 m
09. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide
17 m. Hallar la longitud del otro cateto si la suma
de las longitudes de los radios de las circunferencias
inscritas y circunscritas es 13 m.
a) 5 m b) 4 m c) 9 m
d) 8 m e) 7 m
10. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 y
12, hallar la medida de su inradio.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
11. Del gráfico, R = 5; r = 2. Calcular: BE
B C
R
D
E
A
r
a) 8 b) 4 c) 5
d) 7 e) 6
12. Hallar la longitud de la flecha correspondiente a una
cuerda que mide cm8 3 en una circunferencia de
radio 8 cm
a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cm
d) 4 3 cm e) 2 3 cm
13. Calcular a, si T es punto de tangencia.
Si O: centro
BO P
2a4a
A
T
a) 9º b) 20º c) 30º
d) 12º e) 18º
14. En una circunferencia de centro O se trazan: un diá-
metro AB, luego las tangentes a la circunferencia en
A y B y una tangente cualquiera que corta en C y
D a las dos primeras. Calcular la medida del ángulo
CODt .
a) 80º b) 90º c) 105º
d) 120º e) 115º
15. La circunferencia ex - inscrita relativa a la hipotenusa
en un triángulo rectángulo tiene un radio de 9 cm.
Calcular la cantidad de valores enteros que puede to-
mar la hipotenusa.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
Capítulo
www.trilce.edu.pe64
08
Tarea domiciliaria
01. Calcular la longitud de la flecha correspondiente a
AB, si: AB=16; r=10
r
B
O
A
a) 25 b) 4 c) 3
d) 2,5 e) 3,5
02. En la figura, calcular: MA
B
C
R
M
N
A
r
a) R . r b)
r
R c) R - r
d) R + r e) R + 2r
03. Calcular: PC, si: AB=9, BC=15 y AC=18
B
C
P
R
AT
a) 30 b) 36 c) 18
d) 21 e) 20
04. Se tiene una circunferencia inscrita en un triángulo
ABC de manera que es tangente en "T" al lado BC
Calcular BT, si: AB=5, BC=6 y AC=7
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
05. En el gráfico, calcular x, si "O" es centro de la circun-
ferencia ex inscrita.
Ox
70º
B
A C
a) 45º b) 50º c) 55º
d) 60º e) 70º
06. En la figura mostrada, AB=8, AQ=1. Calcular la lon-
gitud de la flecha de la cuerda AB
P
Q
B
R A
a) 1 b) 2 c) 1,5
d) 2,5 e) 3
07. Calcule el perímetro del siguiente triángulo rectángulo
ABC
B
C
20
A
3
a) 20 b) 26 c) 46
d) 60 e) 50
08. Calcular: r. Si: AB=15 y BC=20
H
r
B
CA
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 8
09. En una circunferencia de radio 13 m, se tiene una
cuerda AB que mide 24 m. Calcular la longitud de la
sagita de AB.
a) 5 m b) 8 m c) 7 m
d) 6 m e) 4 m
10. Si: BC+AD=30 y AB+CD=18, calcular: EF
F
E
B
C
DA
a) 4 b) 5 c) 7
d) 6 e) 4,5
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos65
11. En una circunferencia de centro "O", se ubica la cuer-
da BC de 80 m de longitud. Si el radio de la circun-
ferencia mide 41 m. Hallar la distancia de "O" hacia
la cuerda.
a) 7 m b) 9 m c) 10 m
d) 11 m e) 12 m
12. Desde un punto que dista 13 m del centro de una
circunferencia se puede trazar una tangente que mide
12 m. Hallar la longitud del radio de la circunferencia.
a) 4 b) 5 c) 6
d) 8 e) 9
13. Un cuadrilátero está circunscrito a una circunferencia.
Si dos lados opuestos miden 6 dm y 8 dm, hallar el
perímetro del cuadrilátero.
a) 14 dm b) 28 dm c) 30 dm
d) 24 dm e) 15 dm
14. Los lados de un triángulo ABC miden AB=57,
BC=43 y AC=60. El lado AC es tangente en el punto
E a la circunferencia inscrita en el triángulo.
Calcular : AE
a) 47 b) 54 c) 40
d) 30 e) 37
15. Calcular la longitud del radio de la circunferencia
exinscrita relativa a la hipotenusa de un triángulo cu-
yos catetos miden 9 y 12 cm
a) 16 cm b) 18 cm c) 20 cm
d) 21 cm e) 24 cm
16. En la figura, calcular AM, si M, N y Q son puntos de
tangencia, AB=5; BC=7 y AC=10
B
CQ
M
N
A
a) 5 b) 7 c) 4
d) 6 e) 3
17. Se tiene el cuadrante AOB y se traza el radio OC,
sean: AH⊥OC y CF⊥OB. Se sabe que: HC=a y
FC=b, hallar cuanto mide el radio del cuadrante.
a) a b
2
2 + b) 2a + b c) 2a - b
d) a + b e) 2b - a
18. Calcular la longitud de la flecha de la cuerda AB, si:
AB=30 y R=17
B
O
R
A
a) 8 b) 9 c) 6
d) 4 e) 5
Capítulo
www.trilce.edu.pe66
08
9 Ángulos en la circunferencia - Cuadriláteros inscriptibles
Ángulo central
B
O a
A
mABa =
!
Ángulo inscrito
C
q
B
A mBC
2
q =
!
Ángulo seminscrito
b
H
F
E
mEFH
2
b =
!
Ángulo exinscrito
B
C
f
A
mABC
2
f =
!
Ángulo interior
B
C
q
D
A
mAB mCD
2
q = +
! !
Ángulo exterior
x mAB mAC
2=
-
! !
B
C
xA
B
C x
D
A
x mAB mCD
2=
-
! !
a
q
a + q = 180º
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos67
Polígono inscrito
R
Circunferencia: circunscrita
Radio: circunradio
Polígono circunscrito
Circunferencia: inscrita
Radio: inradio
r
Cuadrilátero inscrito
Llamado también cuadrilátero cíclico, es aquel que tiene sus cuatro vértices sobre una misma
circunferencia.
Propiedades
Primera propiedad
B
C
a
q
DA
a + q = 180º
Segunda propiedad
a = q
B C
a q
DA
Tercera propiedad
a = q
a
q
Capítulo
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09
Cuadriláteros inscriptibles
Un cuadrilátero será inscriptible cuando cumple cualquiera de los tres casos siguientes:
Caso 1
Dos ángulos opuestos suman 180º.
b
a
a
b
Si: a + b = 180º &
Caso 2
Un ángulo interior es igual al opuesto exterior.
Si: a = q &
a
q
a
q
Caso 3
Un lado y una diagonal forman un ángulo igual al que forma el lado opuesto con la otra diagonal.
Si: a = q &
a
q
a
q
Problemas resueltos
01. Si: A, C, E y G son puntos de tangencia. Calcular: x
G
B C
2x
6x 8x
D
FE
A
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos69
b
b
b
a
a
a
G
B C
2x
6x 8x
D
FE
A
Resolución
• AB = BC
• EF = FG
• a + 6x = 180º
b + 8x = 180º
• Luego:
x14 360cα β+ + =S
180º - 2x + 14x = 360º
12x = 180º
x = 15º
02. En la semicircunferencia de centro "O", calcular: x
B
C
x
20º50º
D
A O
R
R
R
B
C
x
20º
20º
25º
50º
50º
D
A O
Resolución
• Unimos "O" con "C": OC = OB = OD = R
• mDB 50c=
!
• m C
2
50 25c c+ = =
• D OCD: isósceles
x = 25º + 20º
x = 45º
03. Si: E, T y F son puntos de tangencia, calcular: x
P Q
M
N
x
50º
D
FE
T
B
CA
130º
65º
P Q
M
N
x
50º
D
FE
T
B
CA
Resolución
• 0mEF 13 c=
!
... propiedad
• m∠EDF=65º
• Si: EP//FQ
⇒ m∠DFN = 65º
• D MFN:
x + 65º = 90º
x = 25º
Capítulo
www.trilce.edu.pe70
09
Práctica
01. En la figura mostrada, calcular: x. Si O: centro,
AH = HC
a) 3º B
C
x80º
20º
HA
O
b) 40º
c) 45º
d) 50º
e) 60º
02. Calcular: a, si: mPB mBQ=
! !
a) 60º B
C
P Qa
70º
A
b) 70º
c) 35º
d) 50º
e) 80º
03. Calcular: x, si P y Q son puntos de tangencia.
P
Q
x
20º
a) 20º b) 40º c) 25º
d) 35º e) 50º
04. Calcular mQS
!
, si: P y O son centros
Además: mAP mPB=
! !
a) 60º
BO
P
Q
A
S
b) 70º
c) 75º
d) 90º
e) 120º
05. Si ABCD es un cuadrado, calcular: x
a) 30º x
B C
DA
b) 45º
c) 37º
d) 53º
e) 60º
06. En la figura, hallar m∠ABC
a) 100º
B
C
P
Q RA
b) 110º
c) 80º
d) 90º
e) 120º
07. En la figura, P es punto de tangencia. Calcular: mAMB
!
a) 140º B
P
M
65º
A 45ºb) 130º
c) 120º
d) 110º
e) 100º
08. En la figura, calcular: x
aa
x
x 4x
a) 20º b) 30º c) 37º
d) 22,5º e) 18º
09. En una circunferencia se inscribe un cuadrilátero
ABCD donde las diagonales AC y BD se intersectan
en el punto F. Si: 60mCFD c=
% ; ( 20)mAB x= + c
!
y
(2 40)mCD x= + c
!
. Calcular: 3x
a) 55º b) 20º c) 40º
d) 60º e) 30º
10. Se traza una recta L tangente a una semicircunferen-
cia de diámetro AB, en el punto "T", se traza luego la
cuerda AP paralela a L . Si la mPAB%=52º, calcular
la medida del menor ángulo que forman la recta L y
la cuerda TB.
a) 52º b) 62º c) 72º
d) 71º e) 70º
11. Desde un punto P exterior a una circunferencia se tra-
zan las tangentes PA y PB, luego se ubica el punto C
en el arco mayor AB. Hallar la m∠HBC, si BH ⊥ AC
y m∠APB=70º
a) 25º b) 30º c) 40º
d) 35º e) 45º
12. Sea A un punto exterior a una circunferencia desde el
cual se trazan la secante diametral ABC y la secante
AEF de modo que: mFC 100c=
!
y mEF 60c=
!
. Calcu-
lar la m∠FAC
a) 25º b) 30º c) 40º
d) 35º e) 45º
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos71
13. En una circunferencia se tienen dos cuerdas con-
gruentes y paralelas, tales como AB y CD, de modo
que B y D estén a un mismo lado. En el arco AB se
ubica un punto E. ¿Cuánto mide el ángulo CEB?
a) 90º b) 105º c) 75º
d) 120º e) 80º
14. Calcular: x, en la figura mostrada.
a) 20º
x
100º
120º
b) 30º
c) 50º
d) 60º
e) 40º
15. Calcular: x
a) 40º B
x
80º 40º
A C
H
b) 80º
c) 50º
d) 60º
e) 45º
16. En una semicircunferencia de diámetro AB, en la pro-
longación de AB se toma un punto P y se traza la
tangente PT. Si la m∠PTB=32º, calcular la m∠ABT.
a) 64º b) 58º c) 68º
d) 48º e) 52º
17. La circunferencia inscrita en un triángulo ABC, es
tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos T,
H e I respectivamente. Si la m∠BAC=70º, calcular
la m∠THI.
a) 70º b) 35º c) 55º
d) 65º e) 60º
18. En una circunferencia de centro O se traza una cuer-
da AB. Si el menor arco AB es la quinta parte de la
medida del mayor arco AB, calcular la medida del
menor ángulo AOB.
a) 58º b) 52º c) 48º
d) 72º e) 60º
Tarea domiciliaria
01. Calcular: a, si mAD 100c=
!
.
B
C
a
D
A
a) 30º b) 40º c) 45º
d) 50º e) 55º
02. Según la figura, calcular: x
x
80º
45º
a) 45º b) 55º c) 65º
d) 50º e) 60º
03. Si: mABC 240c=
!
, calcular: a
a
B
C
DA
a) 20º b) 45º c) 30º
d) 75º e) 60º
04. En el gráfico P, M y T son puntos de tangencia,
mNP mMN=
! !
y mAT 40c=
!
. Calcule la m∠TPM.
P
M
N
AT
a) 40º b) 35º c) 45º
d) 30º e) 53º
Capítulo
www.trilce.edu.pe72
09
05. Hallar: mEB
!
BO
28º
E
A
a) 28º b) 56º c) 34º
d) 17º e) 51º
06. Calcular: x, si: T es punto de tangencia y B es punto
medio del arco AC.
B
C
P
x
20º
A
T
a) 60º b) 70º c) 80º
d) 90º e) 100º
07. "A" es punto de tangencia, calcular "x", además:
a+b=82º
b
a
x
A
a) 108º b) 82º c) 98º
d) 96º e) 102º
08. Calcule: AD, si: BD=4 u y AC=12 u.
B
Cq
q
D E
A
a) 6 u b) 7 u c) 8 u
d) 10 u e) 5 u
09. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices interio-
res AQ y CP formando un ángulo cuya medida es
120º. Hallar: m∠PQA
a) 30º b) 40º c) 45º
d) 60º e) 15º
10. El ángulo C de un triángulo ABC mide 50º. Si: E y
H son los pies de las alturas AH y BE y M es punto
medio de AB. Calcular la medida del ángulo EMH
a) 30º b) 45º c) 50º
d) 60º e) 80º
11. En el cuadrilátero ABCD: m∠DAB=m∠BCD=90º y
BC=CD. Calcular AC, sabiendo que la distancia de
C a AD es 4 u
a) 4u b) 3u c) 2u
d) 2 2 u e) 4 2 u
12. En un trapezoide RDGC, RG es bisectriz del ángulo
DRC y se traza CF perpendicular a RG.
Calcular: m∠FGC, si: m∠FDG=4m∠CGF, además:
m∠RDG=90º
a) 12º b) 15º c) 18º
d) 20º e) 10º
13. En un triángulo ABC, m∠A=30º y m∠C=20º. Se
ubica F en AC tal que AF=BC. Halle: m∠FBC
a) 10º b) 15º c) 20º
d) 25º e) 30º
14. Sea P un punto exterior a una circunferencia, desde el
cual se trazan las secantes PAB y PCD. Si: mBD 80c=
!
y m∠P=25º, calcular el menor ángulo que forman las
cuerdas AD y BC al intersectarse.
a) 38º b) 35º c) 50º
d) 45º e) 55º
15. Desde un punto P exterior a una circunferencia se tra-
za la tangente PT y la secante PAB. Si el arco ATB
mide 200º, calcular la m∠TBP, si: m∠TPB=40º
a) 32º b) 50º c) 60º
d) 30º e) 40º
Geometría
Central 6198 - 100 San Marcos73
10 Proporcionalidad y semejanza
Teorema de Thales
Teorema de Thales entre paralelas
Tres o más rectas paralelas, determinan sobre dos o más rectas secantes, segmentos cuyas longitudes son proporcionales.
B
C
P
Q
R
L1
L2
L3
A
Si: // //L L L1 2 3 & BC
AB
QR
PQ
=
Teorema de Thales en el triángulo
Si: //PQ AC & PA
BP
QC
BQ
=
A
B
C
P Q
Teorema de la bisectriz
La relación de lados que forman el vértice desde donde parte una bisectriz interior o exterior es igual a la relación de
segmentos que se forman en el lado opuesto o en su prolongación.
Bisectriz interior
a a
a b
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Bisectriz exterior
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nm
Capítulo
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10
Semejanza de triángulos
