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TRIÀNGULO Es aquella figura geométrica formada por la unión de tres puntos no colineales mediante segmentos, dichos segmentos viene a ser los lados del triángulo y dichos puntos no colineales los vértices. B Notaciòn ∆ABC:Triángulo ABC A C Elementos: - Vértice: A,B y C - Lados: 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ - Perímetro (2p) (2p) = a + b + c - Semi perímetro (p) (p) = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 Regiones determinadas en el plano por el triángulo y sus ángulos asociados En la figura, las medidas de los ángulos: Interiores → 𝛼, 𝛽, 𝜃 Exteriores → x, y, z Propiedades fundamentales del triángulo. En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores es igual a 180°. 𝛼 + 𝛽 + 𝜃 = 180º En todo triángulo, la suma de las medidas de dos ángulos interiores es igual a la medida del tercer ángulo exterior, no adyacente a ellos. 𝑥 = 𝜃 + 𝛽 𝑦 = 𝛼 + 𝜃 𝑧 = 𝛼 + 𝛽 En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos exteriores (una por vértice) es igual a 360°. 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 360º Teorema Existencia 𝑐 ≤ 𝑏 ≤ 𝑎 𝑏 − 𝑐 < 𝑎 < 𝑏 + 𝑐 𝑎 − 𝑐 < 𝑏 < 𝑎 + 𝑐 𝑎 − 𝑏 < 𝑐 < 𝑎 + 𝑏 Teorema Correspondencia b a c b a c 𝑠𝑖: 𝑎 > 𝑐 → 𝛼 > 𝛽 Propiedades auxiliares del triángulo. 𝛼 + 𝛽 + 𝜃 = 𝑥 CLASIFICACIÒN 𝛽 + 𝛼 = 𝑚 + 𝑛 𝑥 + 𝑦 = 𝑎 + 𝑏 𝜃 + 180° = 𝑥 + 𝑦 𝜃 + 𝛼 = 𝑥 + 𝑦 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 2 𝑥 = 𝑎 − 𝑏 2 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 2 a 𝑥 = 45° − 𝑎 4 Según sus lados: Triángulo Escaleno: Triángulo Isósceles: Triángulo Equilátero: Según sus ángulos: Triángulo Acutángulo: Triángulo Rectángulo: Triángulo Obtusángulo: 𝑎 ≠ 𝑏 𝑏 ≠ 𝑐 b 𝑎 ≠ 𝑐 𝛼 < 90° 𝛼 = 60° 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 𝛼 + 𝛽 = 90° 0° < 𝛼 < 90° 0° < 𝛽 < 90° 0° < 𝜃 < 90° 90° < 𝛽 < 180° 𝑎2 + 𝑏2 < 𝑐2 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. En un triángulo ABC, AB = 5 m, AC = 7 m y m𝐴𝐵�̂� > m𝐵𝐴�̂� > m𝐵𝐶�̂�. Halle el valor entero del perímetro del triángulo. A) 12 B) 15 C) 16 D) 18 2. En un triángulo ABC, P y Q son puntos de 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ respectivamente, el ángulo externo del triángulo ABC de vértice B y el ángulo 𝑄𝑃�̂� son congruentes. Si PQ = 4 m y PC = 3 m, halle el número de valores enteros de a (QC = a m). A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 3. En la figura, AB = BC y BE = BD. Halle x. A) 100° B) 90° C) 87° D) 80° 4. En la figura, BP = QC. Halle x. A) 30° B) 15° C) 20° D) 25° 5. En la figura, AB = BC, AP = 6 m y AQ = 5 m. Halle el número de valores enteros de a (PQ = a m). A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 6. En la figura 1 se muestra un terreno de perímetro 300 m, ampliamos dicho terreno y queda como la figura 2 que tiene perímetro entero. Si AM = MB, BN = NC y metro lineal de malla metálica cuesta S/ 5, ¿cuánto gastará como mínimo el dueño en cercar su nuevo terreno (figura 2)? A) S/ 1480 B) S/ 1500 C) S/ 1505 D) S/ 1515 7. En la figura, α – θ = 18°. Halle m𝐷𝐸�̂�. A) 16° B) 17° C) 18° D) 19° 8. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , las bisectrices de los ángulos BAD y ACB forman un ángulo recto. Si m𝐴𝐵�̂� = 40°, halle la medida de 𝐵𝐴�̂�. A) 80° B) 70° C) 50° D) 60° 9. En un triángulo acutángulo ABC, m�̂� – m�̂� = 20°. Halle la medida del ángulo que forma la altura y la bisectriz exterior trazadas desde el vértice C. A) 70° B) 60° C) 50° D) 80° 10. En un triángulo rectángulo ABC, se prolonga 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ hasta un punto D, se traza la perpendicular 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ a la prolongación de 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ (E en la prolongación de 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ). Halle la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos 𝐵𝐴�̂� y 𝐶𝐷�̂�. A) 80° B) 100° C) 120° D) 90° 11. En la figura, m𝐵𝐴�̂� = m𝐴𝐷�̂� = 80°. Halle x. A) 50° B) 60° C) 80° D) 90° 12. En la figura, AB = AE, AF = FE, FD = DC, EC = FC y m𝐹𝐷�̂� = 40°, halle m𝐵𝐴�̂�. A) 45° B) 75° C) 65° D) 55° 13. En la figura, los triángulos AED y BCD son congruentes. Si BC = 8 m y ED = 5 m, halle mayor valor entero de AB. A) 10 B) 11 C) 14 D) 15 14. En la figura, α + β = 180°. Halle x. A)120° B)130° C)100° D)140° 15. En la figura, halle x. A) 100° B) 90° C) 150° D) 120° 16. En la figura, halle x – y. A) 30° B) 40° C) 60° D) 50° 17. En un triángulo ABC, D es un punto de 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . Si m𝐵𝐴�̂� = 80°, m𝐵𝐶�̂�= 40° y BC = AB + AD, halle m𝐷𝐵�̂�. A) 25° B) 30° C) 36° D) 40° 18. En un triángulo ABC, m�̂� + m�̂� = 50°, halle la medida del ángulo que determinan las alturas 𝐴𝐻̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐿̅̅̅̅ . A) 40° B) 50° C) 80° D) 35° 19. En la figura, AB = AE = BD. Halle x. A) 11° B) 8° C) 9° D) 10 20. Según los traumatólogos una de las causas de dolores de cuello y espalda en el trabajo con laptop se produce porque el monitor 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ es perpendicular tablero 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Si m𝐵𝐷�̂� = 75° y m𝐴𝐵�̂� = 45°, halle la medida del ángulo entre la varilla 𝐷�̂� y el monitor. A) 100° B) 110° C) 120° D) 130°
