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Geometría
Profesor: ALAN PAUL SOSA CAUTIProfesor: ALAN PAUL SOSA CAUTI
CIRCUNFERENCIA
Definición: La circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo de dicho plano
denominado centro de la circunferencia.
En el gráfico,
se tiene la
circunferencia 𝒞,
de centro 𝑂 y
radio 𝑂𝑃.
∀ 𝑷 ∈ 𝓒: 𝑶𝑷 = 𝒓
Por definición:
Observación:
En el gráfico 𝒞 es una circunferencia, de centro 𝑂 y radio
de longitud 𝑟.
Si 𝑃 ∈ 𝒞:
𝑂𝑃 = 𝑟
Si 𝑄 ∈ 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟:
𝑂𝑄 < 𝑟
Si 𝑆 ∈ 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟:
𝑂𝑆 > 𝑟
Notas:
• La longitud de una circunferencia de radio 𝑟 es 2𝜋𝑟.
• La medida angular de toda circunferencia es 360°.
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Figuras asociadas a la circunferencia:
En el gráfico,
se tiene la
circunferencia 𝒞,
de centro 𝑂 y
radio de
longitud 𝑟.
❑ Arco: 𝐴𝐵 𝑚𝐴𝐵 = 𝜃
❑ Cuerda: 𝐴𝐵 𝐴𝐵 = 𝑎
❑ Diámetro: 𝐶𝐷 𝐶𝐷 = 2𝑟
❑ Flecha o sagita: 𝐹𝐺 𝐹 𝑦 𝐺 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠
❑ Recta Secante: 𝐿𝑠 𝐿𝑠 ∩ 𝒞 = 𝐽; 𝑆
❑ Recta Tangente: 𝐿𝑇 𝐿𝑇 ∩ 𝒞 = 𝑇
❑ Punto de tangencia o punto de contacto: 𝑇
❑ Recta Exterior: ി𝐿 ി𝐿 ∩ 𝒞 = ∅
𝒙 = 𝟗𝟎°
“Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado por el punto de tangencia”
Importante:
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Teoremas en la Circunferencia
Teorema 𝟏:
En una circunferencia, los arcos comprendidos entre cuerdas
paralelas son congruentes.
Teorema 𝟐:
En una circunferencia o en circunferencias congruentes las
cuerdas de igual longitud subtienden arcos de igual medida y
viceversa.
En el gráfico
Si: 𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷
↔ 𝛼 = 𝛽
En el gráfico
Si: 𝑎 = 𝑏
↔ 𝛼 = 𝛽
Observación:
En una circunferencia, los arcos comprendidos entre una cuerda
y una recta tangente paralelas son congruentes.
Observación:
En una circunferencia las cuerdas de igual longitud equidistan de
su centro.
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Teorema 𝟑:
Los segmentos tangentes (cuyos extremos son un punto exterior
y el punto de tangencia) a una misma circunferencia trazados
desde un punto exterior son congruentes.
En el gráfico
Si: 𝐴 y 𝐵 son
puntos de
tangencia
𝑥 = 𝑦
En el gráfico
Si: 𝐴 y 𝐵 son
puntos de
tangencia
𝛼 = 𝛽
Se cumple:
Teorema adicional:
Se cumple:
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POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS COPLANARES
1) Circunferencias Exteriores:
Son dos circunferencias en el cual la distancia entre
sus centros es mayor que la suma de sus radios.
En el gráfico 𝒞1 y 𝒞2 son circunferencias exteriores
Entonces: 𝑶𝟏𝑶𝟐 > 𝑹 + 𝒓
Observación: Las circunferencias exteriores no se intersectan
Teoremas: En el gráfico:
𝐿1 y 𝐿2: tangentes comunes exteriores
𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 son puntos de tangencia
𝐿3 tang. común interior
Se cumple: 𝑨𝑩 = 𝑪𝑫 = 𝑷𝑸 𝑨𝑷 = 𝑸𝑫 𝑨𝑪 ∥ 𝑩𝑫
𝑶𝟏𝑶𝟐: 𝒆𝒋𝒆 𝒅𝒆 𝒔𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓í𝒂
𝐹 y 𝐺 son puntos de tangencia
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2) Circunferencias Tangentes Exteriores:
Son dos circunferencias tal que la distancia entre sus centros
es igual a la suma de sus radios.
En el gráfico 𝒞1 y
𝒞2 son
circunferencias
tangentes
exteriores
entonces:
𝑶𝟏𝑶𝟐 = 𝑹 + 𝒓
Observación:
• 𝒞1 y 𝒞2 se intersectan en 𝑇 𝒞1 ∩ 𝒞2 = 𝑇
• 𝑇 es punto de tangencia entre las circunferencias.
Teoremas:
En el gráfico:
𝒞1 y 𝒞2 son
tangentes en 𝑇
siendo:
ി𝐿 ⊥ 𝑂1𝑂2
ി𝐿: tangente
común interior
se cumple: 𝜶 = 𝜷
𝑙𝑎 "𝑆"
Si 𝑇, 𝑃 y 𝑄
son puntos
de
tangencia:
𝒙 = 𝟗𝟎°
Importante:
Los centros y el punto de tangencia son colineales
𝑶𝟏 − 𝑻 − 𝑶𝟐
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4) Circunferencias Ortogonales:
3) Circunferencias Secantes:
Son dos circunferencias tal que la distancia entre
sus centros es mayor que la diferencia y menor
que la suma de sus radios.
𝒞1 y 𝒞2: circunferencias secantes
Entonces: 𝑹 − 𝒓 < 𝑶𝟏𝑶𝟐 < 𝑹 + 𝒓
Nota:
𝒞1 ∩ 𝒞2 = 𝑃;𝑄
• 𝑃𝑄: cuerda común 𝑃𝑄 ⊥ 𝑂1𝑂2, se cumple:
Ángulo entre circunferencias secantes:
Sean 𝒞1 y 𝒞2 secantes en 𝑃 y 𝑄
• 𝑚: tangente a 𝒞1
• ി𝑛: tangente a 𝒞2
𝑥:𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝒞1 y 𝒞2
Son 2 circunferencias en el
cual la distancia entre sus
centros es igual a la raíz
cuadrada de la suma de
cuadrados de sus radios.
Si: 𝑥 = 90°→ 𝒞1 y 𝒞2 son ortogonales
𝒞1 y 𝒞2: ortogonales
𝑶𝟏𝑶𝟐 = 𝑹
𝟐 + 𝒓𝟐
se cumple:
𝑃𝑄 = 2𝑅𝑟 𝛼 + 𝛽 = 180°
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5) Circunferencias Tangentes Interiores:
Son dos circunferencias tal que la distancia entre sus centros
es igual a la diferencia de sus radios.
En el gráfico 𝒞1 y
𝒞2 son
circunferencias
tangentes
interiores
entonces:
𝑶𝟏𝑶𝟐 = 𝑹 − 𝒓
Observación:
• 𝒞1 y 𝒞2 se intersectan en 𝑇 𝒞1 ∩ 𝒞2 = 𝑇
• 𝑇 es punto de tangencia entre las circunferencias.
Importante:
Los centros y el punto de tangencia son colineales
𝑻 − 𝑶𝟏 − 𝑶𝟐
Teoremas:
En el gráfico:
𝒞1 y 𝒞2 son tangentes en 𝑇
siendo:
ി𝐿 ⊥ 𝑂1𝑂2
ി𝐿: tangente
común exterior
se cumple: 𝜶 = 𝜷
Si 𝑇 y 𝑄
son puntos
de
tangencia:
𝜽 = 𝝎
se cumple:
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6) Circunferencias Interiores:
Son dos circunferencia en el cual la distancia
entre sus centros es menor que la diferencia de
sus radios
En el gráfico 𝒞1
y 𝒞2 son
circunferencias
interiores
Entonces:
𝑶𝟏𝑶𝟐 < 𝑹− 𝒓
Observación:
Las circunferencias interiores no se intersectan
𝒞1 ∩ 𝒞2 = {∅}
7) Circunferencias Concéntricas:
Son dos circunferencia en el cual la distancia entre
sus centros es cero.
En el gráfico 𝒞1 y 𝒞2 son circunferencias
concéntricas
𝐴𝐹 = 𝐵𝐺Se cumple:
Si 𝑇: punto de tangencia 𝑃𝑇 = 𝑇𝑄 = 𝑅2 − 𝑟2
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POLÍGONO CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA
Definición: Un polígono está circunscrito a una circunferencia, si todos sus lados son
tangentes a dicha circunferencia.
entonces:
El polígono 𝐴1𝐴2𝐴3…𝐴𝑛 esta
circunscrito a 𝒞.
Notas:
• A la circunferencia 𝒞 se le llama circunferencia inscrita en el polígono.
• 𝑂 es el incentro del polígono. • 𝑅 es el inradio del polígono.
Sea 𝒞 una circunferencia de
centro 𝑂 y radio 𝑅
Si 𝐴1𝐴2, 𝐴2𝐴3, 𝐴3𝐴4, …,
𝐴𝑛𝐴1 son tangentes a 𝒞
Teoremas:
• El centro de la circunferencia inscrita
equidista de todos los lados del polígono
circunscrito a 𝒞.
• Las bisectrices interiores trazadas desde
los vértices de un polígono circunscrito a
una circunferencia concurren en el
centro de dicha circunferencia.
𝑂 equidista de los lados 𝐴1𝐴2, 𝐴2𝐴3,
𝐴3𝐴4, …, 𝐴𝑛𝐴1
𝐴1𝑂, 𝐴2𝑂, 𝐴3𝑂, …, 𝐴𝑛𝑂 determinan
las bisectrices de los ángulos internos
• El polígono circunscrito siempre es
convexo.
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TRIÁNGULO CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA:
Teorema:
En el gráfico
si 𝑃, 𝑄 y 𝑇
son
puntos de
tangencia
Se cumple:
𝒙 = 𝒑 − 𝒂
𝒚 = 𝒑 − 𝒄
𝒛 = 𝒑 − 𝒃
𝑝 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
Siendo:
Prueba: • Por diferencia: 𝐶𝑇 = 𝑏 − 𝑥
• Por tangentes: 𝐶𝑄 = 𝑏 − 𝑥𝐴𝑃 = 𝑥 y
• Se observa: 𝑏 − 𝑥 + 𝑐 − 𝑥 = 𝑎
𝑏 + 𝑐 − 𝑎 = 2𝑥
𝑏 + 𝑐 + 𝑎 − 2𝑎 = 2𝑥 ∴ 𝑝 − 𝑎 = 𝑥∎
Teorema de Poncelet:
En el gráfico:
𝒞: circunferencia
inscrita
𝑟: inradio
Se cumple: 𝒂 + 𝒄 = 𝒃 + 𝟐𝒓𝒄𝒐𝒕 Τ𝜷 𝟐
Prueba:
rcot Τ𝛽 2
• Del teorema anterior:
=
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
− 𝑏
• Por resolución de triángulos
rectángulos:
BT = rcot Τ𝛽 2
2rcot Τ𝛽 2 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 2𝑏
∴ 2rcot Τ𝛽 2 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑐∎
Caso particular del Teorema de Poncelet:
En todo triángulo
rectángulo, la suma
de las longitudes de
los catetos es igual a
la suma de la longitud
de su hipotenusa y
dos veces el inradio.
En el gráfico:
Si: 𝑚∢𝐴𝐵𝐶= 90°
𝒂 + 𝒄 = 𝒃 + 𝟐𝒓
𝑟: inradio
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CUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA:
Teorema de Pithot:
En el gráfico
si 𝑃, 𝑄, 𝑇 y 𝑆
son puntos
de tangencia
Se cumple: 𝒂 + 𝒄 = 𝒃 + 𝒅
Prueba:
Generalización del Teorema de Pithot:
En todo polígono circunscrito cuyo número de lados es par, se cumple
que la suma de las longitudes de los lados no adyacentes tomados
consecutivamente, es igual a la suma de las longitudes de los lados
restantes.
En el gráfico:
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹: Hexágono circunscrito
se cumple:
𝒂 + 𝒄 + 𝒆 = 𝒃 + 𝒅 + 𝒇
En general:
𝒊=𝟏
𝒊=
𝒏
𝟐
ℓ 𝟐𝒊 − 𝟏 =
𝒋=𝟏
𝒋=
𝒏
𝟐
ℓ 𝟐𝒋
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POLÍGONO EXINSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA:
Es aquel polígono convexo, en la cual las prolongaciones de sus lados son tangentes a una misma circunferencia ubicada en el exterior a
dicho polígono
PARA UN CUADRILÁTERO:
Siendo 𝑃, 𝑄, 𝑇 y 𝑆 puntos
de tangencia
𝐴𝐵𝐶𝐷: cuadrilátero exinscrito
a la circunferencia 𝒞
𝑎 − 𝑐 = 𝑑 − 𝑏
Teorema de Steiner:
Prueba:
𝒞 • Por tangentes iguales:
𝐶𝑇 = 𝐶𝑄 = ℓ
𝐵𝑄 = 𝐵𝑃 = 𝑏 + ℓ
𝐷𝑆 = 𝐷𝑇 = 𝑐 + ℓ
𝐴𝑃 = 𝐴𝑆
→ 𝑎 + 𝑏 + ℓ = 𝑑 + 𝑐 + ℓ
