Geometria ejercicios

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Geometŕıa Conceptos básicos Ejercicios resueltos
1. En un paralelógramo ABCD, los ángulos contiguos ∠A y ∠B miden 2x + 30 y 8x
grados respectivamente. Hallar las medidas en grados de los ángulos ∠A, ∠B, ∠C
y ∠D.
Solución:
como dos ángulos contiguos de un paralelógramo son suplementarios, tenemos:
∠A + ∠B = 180◦ =⇒
2x + 30 + 8x = 180 =⇒
10x = 150 =⇒
x = 15◦
Luego los ángulos ∠A = 60◦ y ∠B = 120◦. Como los ángulos ∠A y ∠C y también
los ángulos ∠B y ∠D son opuestos en un paralelógramo se tiene que los ángulos
∠C = 60◦ y ∠D = 120◦.
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2. AC es la diagonal del rombo ABCD. Si el ángulo ∠B = 130◦ hallar la medida del
∠x.
Solución:
En el rombo ABCD se tiene que AB = BC, luego el triángulo ABC es isósceles y
se cumple que ∠x = ∠y, de donde se obtiene.
∠B + ∠x + ∠y = 180◦ =⇒
130 + x + y = 180 =⇒
2x = 50 =⇒
x = 25
Luego ∠x = 25◦.
3. Un lado de un rectángulo es 4 cm más largo que el otro; el lado mayor es el triple
del menor. Determinar el peŕımetro del rectángulo.
Solución:
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Sea x la medida del lado menor y x + 4 la medida del lado mayor, luego
x + 4 = 3x =⇒
x = 2
Por lo tanto la medida del lado menor es de 2 cm, la del mayor 6 cm y el peŕımetro
del rectángulo es de 16 cm.
4. Si en un determinado instante del d́ıa una estaca de un metro produce una sombra
de 70 cm de longitud. ¿Cuál será la altura de un árbol que en ese mismo instante
produce una sombra de 3.4m de longitud?
Solución:
Asumiendo que los rayos del sol pueden ser considerados como paralelos. Se deter-
minan tringulos rectngulos con ngulos agudos congruentes. Por el criterio anterior
de semejanza, estos tringulos son semejantes, de donde se concluye que sus lados
correspondientes son proporcionales.
1m
70cm
=
h
3.4m
Realizando las conversiones de unidades, todo en cent́ımetros, se tiene:
100cm
70cm
=
h
340cm
de donde h = 486cm. Luego el árbol tiene una altura aproximada de 4.9 m.
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5. En la siguiente figura se tiene que AC = 10 cm , CD = 8 cm , EC = 12 cm y
DE ‖ AB. Hallar la medida de BC.
Solución:
Como DE ‖ AB se tiene que los triángulos 4CDE y 4ABC son semejantes, por
lo tanto, se puede establecer las siguientes proporciones entre sus lados:
AC
DC
=
BC
EC
=⇒ 10
8
=
BC
12
=⇒ BC = 10 · 12
8
de donde se obtiene BC = 15 cm.
6. Hallar las medidas de a, b y c de la figura siguiente.
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Solución:
De la figura es inmediato que 54 = a+48 de donde se tiene que a = 6. Como cada
cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de este cateto
sobre la hipotenusa se tiene,
54
b
=
b
a
=⇒ 54
b
=
b
6
=⇒ b2 = 324 =⇒ b = 18.
El lado AB = c es un cateto del triángulo rectángulo CAB en el cual se conoce la
hipotenusa BC = 54 y el otro cateto AC = b = 18. Luego aplicando el Teorema
de Pitágoras se tiene
542 = b2 + c2 =⇒
542 = 182 + c2 =⇒
c2 = 542 − 182 =⇒
c2 = 2916− 324 =⇒
c =
√
2592 ≈ 50.9.
Luego a = 9, b = 18 y c =
√
2592 ≈ 50.9.
7. En el trapecio isósceles de la figura DB ⊥ AD, DB = 24 cm, AD = 10 cm. Hallar
el área del trapecio ABCD.
Solución:
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La base AB la calculamos aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo
rectángulo ADB.
AB
2
= AD
2
+ DB
2
=⇒
AB
2
= 102 + 242 =⇒
AB =
√
676 = 26.
La altura del trapecio es el segmento DM que también es altura del triángulo
rectángulo ADB, luego se tiene
área del 4ADB = 10 · 24
2
= 120
área del 4ADB = AB ·DM
2
= 13 ·DM
igualando se obtiene
13 ·DM = 120 =⇒
DM =
120
13
≈ 9.23
Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo AMD, se tiene
AM
2
= AD
2 −DM 2
AM
2
= 102 − 9.232
AM =
√
14.8 ≈ 3.84
Además AM = NB y DC = MN , de donde se obtiene
DC = MN = AB − AM −NB
DC = AB − 2AM
DC = 26− 2(3.84)
DC = 18.32
Luego el área del trapecio es
Area trapecio =
(
AB + DC
2
)
·DM
Area trapecio = 204.53cm2
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8. Sean ABC un triángulo isósceles con un ángulo en el vértice A igual a 36o. Sea
BD la bisectriz del ángulo ABC. Si BC = 2, calcular AB = x.
Solución:
Los ángulos del triángulo isósceles ABC miden 36o, 72o y 72o. Se sigue que el
ángulo BDA es 108o y el ángulo BDC = 72o. El triángulo BCD es isósceles y por
lo tanto semejante al triángulo ABC. Aśı
AB
BC
=
BC
CD
Por otra parte, puesto que, el triángulo BDA es isósceles se tiene
AB = AC = CD + DA = CD + BD = CD + BC
Como AB = x y BC = 2 se obtiene de estas ecuaciones la igualdad.
x
2
=
2
x− 2
x2 − 2x− 4 = 0
Resolviendo esta ecuación para x se obtiene que AB = x = 1 +
√
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9. Probar que en un triángulo equilátero la suma de las distancias desde un punto
en el interior a los lados del triángulo es una constante que no depende del punto
elegido.
Solución:
Sea P un punto arbitrario en el triángulo ABC y E, F , G los pies de las perpen-
diculares a los lados BC, CA, AB, respectivamente. Aplicando la fórmula de área
a los triángulos determinados por P se tiene:
Area del triángulo BCP =
1
2
BC · PE
Area del triángulo CAP =
1
2
CA · PF
Area del triángulo ABP =
1
2
AB · PG
Sumando estas áreas y usando el hecho de que el triángulo es equilatero se obtiene
Area del triángulo ABC =
1
2
BC · (PE + PF + PG)
Si a denota el lado del triángulo equilátero, esta fórmula se escribe:
√
3
4
a2 =
1
2
a(PE + PF + PG)
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Luego
PE + PF + PG =
√
3
2
a
10. Considerar el conjunto de todos los triángulos de igual área. ¿Cuál es el triángulo
de menor peŕımetro?
Solución:
Recordemos que el promedio geométrico de dos números positivos es menor o igual
al promedio aritmético, es decir,
a + b
2
≥
√
ab
con igualdad si y sólo si a = b. Tal resultado se obtiene al elevar al cuadrado ambos
miembros. De manera similar, se obtiene el resultado
a + b + c
3
≥ 3
√
abc
con igualdad si y sólo si a = b = c. Aplicando esta desigualdad a (S − a), (S − b)
y (S − c), donde S es el semipeŕımetro de un triángulo, se obtiene
(S − a) + (S − b) + (S − c)
3
≥ 3
√
(S − a)(S − b)(S − c)
con igualdad si y sólo si a = b = c. Recordando la fórmula de Herón para el área
de un triángulo, se tiene
S
3
≥ A
2/3
S1/3
S4/3 ≥ 3A2/3
S ≥ 4
√
27
√
A
Si el área A es una cantidad fija, el peŕımetro es mayor o igual a 2 4
√
27
√
A y
alcanza ese valor si a = b = c, es decir si el triángulo es equilátero.
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11. En la figura se conoce AB = 2, 5 y BC = AE = 1, calcular el área del triángulo
rectángulo ACD.
Solución:
De la figura se tiene que los triángulos DEF y FBC son semejantes, de donde
se obtiene
DE
EF
=
FB
BC
DE
2, 5
= 1
De donde
AB = DE = 2, 5
Luego DA = AC = 3, 5, por lo tanto el área del triángulo ACD es 12(3, 5)(3, 5) =
6, 125.
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12. Calcular el peŕımetro y el área del cuadrado inscrito en un semićırculo de 20 cm
de radio.
Solución:
Llamando 2a al lado del cuadrado y usando Pitágoras se tiene
a2 + 4a2 = 400
5a2 = 400
a2 = 80
a =
√
80 = 4
√
5 (sólo sirve la ráız positiva)
Luego el peŕımetro del cuadrado es de 16
√
5 cm y el área es de 80 cm2.
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13. En una circunferencia de 15 cm de radio se prolonga un diámetro hasta cierto punto
de modo que la tangente trazada desde este punto sea el doble de la prolongación.
Calcular el área del triángulo formado por la prolongación, la tangente y la cuerda
comprendida entre ellos.
Solución:
Sea la prolongación AP = x , luego del triángulo rectángulo OPT se tiene
(15 + x)2 = 152 + 4x2
152 + 30x + x2 = 152 + 4x2
3x2 − 30x = 0
3x(x− 10) = 0
x = 10 (sólo el valor de x = 10 sirve)
Para calcular el área del triángulo APT basta calcular la altura h. Los triángulos
OHT y OPT son semejantes (dos ángulos iguales), por lo tanto se obtiene lo
siguiente:
TH
OT
=
TP
OP
h
15
=
20
25
h = 12
Luego el área del triágulo ATP es
1
2
xh = 60 cm2.
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