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Geometría Hiperobólica Espacios de Minkowski José Joaquín Domínguez Sánchez Universidad Auntónoma de Baja California November 26, 2018 1 / 16 Postulados de Euclides Euclides 300 a.C. [2] 1. Dados dos puntos distintos se puede trazar una única recta que los contiene. 2. Toda recta se puede prolongar indefinidamente en ambas direcciones. 3. Dados dos puntos O y A se puede trazar un círculo con centro en O que pasa por A. 4. Todos los ángulos rectos son iguales. 5. Si dos rectas a y b cortan una recta c de tal forma que la suma de los ángulos interiores ∠a, c y ∠b, c del mismo lados de c es menor que dos rectos, entonces a y b se intersectan. El punto de intersección está del mismo lado que los angulos. 2 / 16 Equivalencias del quinto postulado de Euclides ◮ Existe un par de rectas equidistates en todos sus puntos (Proculos, ). ◮ Existe al menos un par de triángulo semejantes no congruentes (John Wallis, 1616-1703) ◮ Si tres de los ángulos de un cuadrilátero son rectos, el cuarto también es un ángulo recto ◮ Dado una recta y un punto exterior, existe una única recta que pasa por ese punto y es paralea a la recta. 3 / 16 Negación del quinto pustulado Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Nikolăı Ivanovich Lobachevskĭı (1793-1856), and János (or Johann) Bolyai (1802-1860). ◮ (Elliptic Geometry) Dado una recta y un punto exterior, no hay alguna recta que pasa por ese punto y sea paralela a la recta (No existen rectas paralelas). ◮ (Hyperbolic Geometry)(5’) Dado una recta y un punto exterior, existe más de una recta que pasa por ese punto y es paralea a la recta (Existe más de una recta paralela). 4 / 16 Modelos del plano hiperbólico H 2 [1] Figure: Disco de Poicaré, D2 ds2 = 4 dx2 + dy2 (1 − r2)2 Figure: Semiplano superior, H2 ds2 = dx2 + dy2 y2 5 / 16 Modelos del espacio Hiperbólico de dimensión n Disco de Poincaré D n := {x ∈ R n | ||x || < 1} ds2 = dx2 (1 − r2)2 . Plano superior H n := {x ∈ R n | xn > 0} ds2 = dx2 x2 n . 6 / 16 Geodésicas Sea γ un camino en H 2, la longitud de γ es l(γ) = ∫ γ ds. La distancia dD o dH entre dos puntos P y Q se define como el inf{l(γ)}, donde γ es cualquier camino que une a P con Q. Geodésicas Un camino γ en H 2 es una geodésica si localmente minimiza distancias. 7 / 16 Modelo Hiperboloide Consideremos R3 con la métrica Lorentziana ds2 = dx2 0 + dx2 1 − dx2 2 asociado a la forma cuadrática Q((x0, x1, x2)) = x2 0 + x2 1 − x2 2 . La longitud de un vextor x es √ Q(x). La esfera de radio i H 2 = {x ∈ R 3 | Q(x) = −1} ds2 restringido a H 2 es una métrica remaniana positiva: cualquier vector tangente a H tiene longitud positiva 8 / 16 Figure: Semiplano superior, H2 x2 + y2 − z2 = −1 9 / 16 Espacios de Minkowski [5] ∗ : Rn+1 × Rn+1 → R x ∗ y = n ∑ i=1 xiyi − xn+1yn+1 Esfera de radio imaginario i H n := {x ∈ R n+1 | x ∗ x = −1} ds2 = dx2 1 + · · · + dx2 n − dx2 n+1 10 / 16 Transformaciones de Lorentz [3] ct ′ = γ ( ct − v c x ) , x ′ = γ(x − vt). o bien ct = γ ( ct ′ − v c x ′ ) , x ′ = γ(x ′ − vt ′). Donde γ = 1√ 1−v2/c2 es el factor de Lorentz. 11 / 16 El espacio-tiempo: diagramas de Minkowski (1908) [4] Definimos R 3,1 := R 3+1 Figure: Espacio de Minkowski [2] 12 / 16 Observador en reposo Figure: Diagrama espacio-tiempo para un observador O 13 / 16 Observador en reposo Figure: Diagrama espacio-tiempo para un observador O 14 / 16 Observador en movimiento relativo: transformaciones de Lorentz Figure: Diagrama para un observador móvil O′ 15 / 16 Referencias [1] S. Caroline. Hyperbolic Geometry. 2013. [2] W. James. Hyperbolic Geometry. 1997. [3] R. Miles. Geometry and Topology. 2005. [4] R. Scott. Applications of Hyperbolic Geometry in Physics. 1996. [5] P. William. The Geometry and Topology of Three-Manifolds. 2002. 16 / 16
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