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Geometría Hiperobólica
Espacios de Minkowski
José Joaquín Domínguez Sánchez
Universidad Auntónoma de Baja California
November 26, 2018
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Postulados de Euclides
Euclides 300 a.C. [2]
1. Dados dos puntos distintos se puede trazar una única recta que los
contiene.
2. Toda recta se puede prolongar indefinidamente en ambas direcciones.
3. Dados dos puntos O y A se puede trazar un círculo con centro en O
que pasa por A.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si dos rectas a y b cortan una recta c de tal forma que la suma de los
ángulos interiores ∠a, c y ∠b, c del mismo lados de c es menor que
dos rectos, entonces a y b se intersectan. El punto de intersección
está del mismo lado que los angulos.
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Equivalencias del quinto postulado de Euclides
◮ Existe un par de rectas equidistates en todos sus puntos (Proculos, ).
◮ Existe al menos un par de triángulo semejantes no congruentes (John
Wallis, 1616-1703)
◮ Si tres de los ángulos de un cuadrilátero son rectos, el cuarto también
es un ángulo recto
◮ Dado una recta y un punto exterior, existe una única recta que pasa
por ese punto y es paralea a la recta.
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Negación del quinto pustulado
Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Nikolăı Ivanovich Lobachevskĭı
(1793-1856), and János (or Johann) Bolyai (1802-1860).
◮ (Elliptic Geometry) Dado una recta y un punto exterior, no hay
alguna recta que pasa por ese punto y sea paralela a la recta (No
existen rectas paralelas).
◮ (Hyperbolic Geometry)(5’) Dado una recta y un punto exterior, existe
más de una recta que pasa por ese punto y es paralea a la recta
(Existe más de una recta paralela).
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Modelos del plano hiperbólico H
2 [1]
Figure: Disco de Poicaré, D2
ds2 = 4
dx2 + dy2
(1 − r2)2
Figure: Semiplano superior, H2
ds2 =
dx2 + dy2
y2
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Modelos del espacio Hiperbólico de dimensión n
Disco de Poincaré
D
n := {x ∈ R
n | ||x || < 1}
ds2 =
dx2
(1 − r2)2
.
Plano superior
H
n := {x ∈ R
n | xn > 0}
ds2 =
dx2
x2
n
.
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Geodésicas
Sea γ un camino en H
2, la longitud de γ es
l(γ) =
∫
γ
ds.
La distancia dD o dH entre dos puntos P y Q se define como el inf{l(γ)},
donde γ es cualquier camino que une a P con Q.
Geodésicas
Un camino γ en H
2 es una geodésica si localmente minimiza distancias.
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Modelo Hiperboloide
Consideremos R3 con la métrica Lorentziana
ds2 = dx2
0 + dx2
1 − dx2
2
asociado a la forma cuadrática Q((x0, x1, x2)) = x2
0 + x2
1 − x2
2 . La longitud
de un vextor x es
√
Q(x).
La esfera de radio i
H
2 = {x ∈ R
3 | Q(x) = −1}
ds2 restringido a H
2 es una métrica remaniana positiva: cualquier vector
tangente a H tiene longitud positiva
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Figure: Semiplano superior, H2
x2 + y2 − z2 = −1
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Espacios de Minkowski [5]
∗ : Rn+1 × Rn+1 → R
x ∗ y =
n
∑
i=1
xiyi − xn+1yn+1
Esfera de radio imaginario i
H
n := {x ∈ R
n+1 | x ∗ x = −1}
ds2 = dx2
1 + · · · + dx2
n
− dx2
n+1
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Transformaciones de Lorentz [3]
ct ′ = γ
(
ct − v
c
x
)
,
x ′ = γ(x − vt).
o bien
ct = γ
(
ct ′ − v
c
x ′
)
,
x ′ = γ(x ′ − vt ′).
Donde γ = 1√
1−v2/c2
es el factor de Lorentz.
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El espacio-tiempo: diagramas de Minkowski (1908)
[4]
Definimos R
3,1 := R
3+1
Figure: Espacio de Minkowski [2]
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Observador en reposo
Figure: Diagrama espacio-tiempo para un observador O
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Observador en reposo
Figure: Diagrama espacio-tiempo para un observador O
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Observador en movimiento relativo:
transformaciones de Lorentz
Figure: Diagrama para un observador móvil O′
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Referencias
[1] S. Caroline. Hyperbolic Geometry. 2013.
[2] W. James. Hyperbolic Geometry. 1997.
[3] R. Miles. Geometry and Topology. 2005.
[4] R. Scott. Applications of Hyperbolic Geometry in Physics. 1996.
[5] P. William. The Geometry and Topology of Three-Manifolds. 2002.
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